曾志紅, 洪 勇， 張然然, 田德路

(1. 廣東第二師范學(xué)院學(xué)報編輯部， 廣州 510303； 2. 廣州華商學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系， 廣州 511300；3. 廣東第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院， 廣州 510303)

則稱不等式

為Hilbert型積分不等式. 由于此類不等式與積分算子T：

有密切的聯(lián)系，故而Hilbert型積分不等式對于研究算子T的有界性與算子范數(shù)有重要意義.

1991年，XU和GAO[1]首次提出了研究Hilbert型不等式的權(quán)系數(shù)方法. 該方法的核心是：引入2個搭配參數(shù)a、b，利用H?lder不等式，可得到如下形式的不等式：

(1)

若選取的搭配參數(shù)a、b能夠使式(1)的常數(shù)因子最佳，則稱其為適配參數(shù)或適配數(shù). 文獻(xiàn)[14]曾討論了齊次核的Hilbert型級數(shù)不等式的適配參數(shù)問題，本文將對擬齊次核的Hilbert型積分不等式討論搭配參數(shù)a、b成為適配數(shù)的充分必要條件，并討論其應(yīng)用.

1 預(yù)備知識

設(shè)G(u,v)是λ階齊次函數(shù)，λ1λ2>0，則稱K(x,y)=G(xλ1,yλ2)為擬齊次函數(shù). 顯然K(x,y)為擬齊次函數(shù)等價于：對?t>0，有

K(tx,y)=tλ1λK(x,t-λ1/λ2y)，

K(x,ty)=tλ2λK(t-λ2/λ1x,y).

下面給出本文證明過程中所需的引理.

引理1設(shè)1/p+1/q=1(p>1)，a,b,λ，λ1λ2>0，G(u,v)是λ階齊次非負(fù)函數(shù)，K(x,y)=G(xλ1,yλ2)，aq/λ1+bp/λ2=1/λ1+1/λ2+λ，記

則W1(b,p)/λ1=W2(a,q)/λ2，且

證明由aq/λ1+bp/λ2=1/λ1+1/λ2+λ，可得-λ1λ+λ1bp/λ2-λ1/λ2-1=-aq. 則有

故W1(b,p)/λ1=W2(a,q)/λ2.

作變換y=xλ1/λ2t，有

xλ1(λ-bp/λ2+1/λ2)W1(b,p).

同理可證ω2(a,q,y)=yλ2(λ-aq/λ1+1/λ1)W2(a,q).證畢.

2 適配參數(shù)的充分必要條件

定理1設(shè)1/p+1/q=1(p>1)，a,b,λ，λ1λ2>0，G(u,v)是λ階齊次非負(fù)可測函數(shù)，K(x,y)=G(xλ1,yλ2)，W1(b,p)與W2(a,q)如引理1所定義. 那么

(2)

其中,f(x)(0,+∞)，g(y)(0,+∞).

(3)

其中,W0=|λ1|W2(a,q)=|λ2|W1(b,p).

證明(i)選擇a、b為搭配參數(shù). 根據(jù)H?lder不等式和引理1，利用權(quán)系數(shù)方法，有

故式(2)成立.

(ii)充分性：設(shè)aq/λ1+bp/λ2=1/λ1+1/λ2+λ，W1(b,p)和W2(a,q)收斂. 由引理1，有W1(b,p)/λ1=W2(a,q)/λ2，故

且α=apq-1，β=bpq-1，于是式(2)可化為式(3).

設(shè)式(3)的最佳常數(shù)因子為M0，則M0≤W0/(|λ1|1/q|λ2|1/p)，且用M0取代式(3)中的常數(shù)因子后，式(3)仍然成立.

取充分小的ε>0及δ>0，令

則

‖f‖p,apq-1‖g‖q,bpq-1=

于是

先令ε→0+，再令δ→0+，得

再根據(jù)引理1，可得到W0/(|λ1|1/q|λ2|1/p)≤M0.所以式(3)的最佳常數(shù)因子M0=W0/(|λ1|1/q|λ2|1/p).

于是可知式(2)等價于

又經(jīng)計算有a1q/λ1+b1p/λ2=1/λ1+1/λ2+λ，α1=a1pq-1，β1=b1pq-1，故式(2)進(jìn)一步等價于

‖f‖p,a1pq-1‖g‖q,b1pq-1.

(4)

于是得到

(5)

對于1和tλ2c/q，應(yīng)用H?lder不等式，有

(6)

根據(jù)式(5)，可知式(6)取等號. 又根據(jù)H?lder不等式取等號的條件，可得tλ2c/q=常數(shù)，故c=0，即aq/λ1+bp/λ2=1/λ1+1/λ2+λ.證畢.

注1定理1表明:當(dāng)且僅當(dāng)aq/λ1+bp/λ2=1/λ1+1/λ2+λ時，搭配參數(shù)a、b是適配參數(shù). 因此，只要選取a、b滿足aq/λ1+bp/λ2=1/λ1+1/λ2+λ，就可以得到各種各樣的具有最佳常數(shù)因子的Hilbert型積分不等式.

推論1設(shè)1/p+1/q=1(p>1)，λ1λ2>0，λ>0，1/r+1/s=1(r>1)，α=p(1-λλ1/r)-1，β=q(1-λλ2/s)-1，則

(7)

其中的常數(shù)因子是最佳的，f(x)(0,+∞)，g(y)(0,+∞).

故a、b是適配參數(shù). 又因為apq-1=p(1-λλ1/r)-1=α，bpq-1=q(1-λλ2/s)-1=β，且

根據(jù)定理1，式(7)成立，且其常數(shù)因子是最佳的. 證畢.

3 在求積分算子范數(shù)中的應(yīng)用

根據(jù)Hilbert型不等式與相應(yīng)積分算子的關(guān)系理論，由定理1可得如下定理.

定理2設(shè)1/p+1/q=1(p>1)，a,b,λ，λ1λ2>0，α=apq-1，β=bpq-1，G(u,v)是λ階齊次非負(fù)可測函數(shù)，K(x,y)=G(xλ1,yλ2)，且

則當(dāng)aq/λ1+bp/λ2=1/λ1+1/λ2+λ時，積分算子T：

推論2設(shè)1/p+1/q=1(p>1)，λ1λ2>0，-1<λ

根據(jù)定理2，知推論2成立. 證畢.

推論3設(shè)1/p+1/q=1(p>1)，1/r+1/s=1(r>1)，λ1λ2>0，α=p(1-λ1/r)-1，β=q(1-λ2/s)-1. 則積分算子T：

其中ζ(t,a)是Riemann函數(shù).

證明記

則G(u,v)是-1階齊次非負(fù)函數(shù).

故a、b是適配參數(shù). 又apq-1=p(1-λ1/r)-1=α，bpq-1=q(1-λ2/s)-1=β，且

根據(jù)定理2，知推論3成立. 證畢.