王傳宇，聶慧鋒，王 林，胡異煒，趙榮崎

(中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第七二三研究所，江蘇 揚(yáng)州 225101)

0 引 言

多信號(hào)分類(MUISC)算法[1]的主要原理就是通過(guò)信號(hào)子空間與噪聲子空間的正交性實(shí)現(xiàn)到達(dá)方向(DOA)估計(jì)，但是傳統(tǒng)的MUISC算法需要通過(guò)特征分解獲得信號(hào)子空間和噪聲子空間、再通過(guò)譜峰搜索估計(jì)出信號(hào)的入射角度。其中的特征分解較為復(fù)雜，譜峰搜索運(yùn)算量較大，因此不利于現(xiàn)場(chǎng)可編程門陣列(FPGA)的工程實(shí)現(xiàn)。眾多學(xué)者針對(duì)子空間類算法的快速DOA估計(jì)進(jìn)行了研究，Zoltowski等人通過(guò)維納濾波器的遞推算法,找到一個(gè)與信號(hào)子空間正交的投影矩陣，從而進(jìn)行DOA估計(jì)。文獻(xiàn)[2]～[3]中Goldstein等人提出了多級(jí)維納濾波(MSWF)，該算法不需要進(jìn)行特征分解，具有很強(qiáng)的降維能力且收斂速度更快。文獻(xiàn)[4]中艾名舜、馬紅光等人利用均勻線陣導(dǎo)向矢量的Vandermonde結(jié)構(gòu)，推導(dǎo)出了噪聲子空間的解析形式，該算法不需要計(jì)算接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣，也不需要進(jìn)行矩陣分解。文獻(xiàn)[5]中于智龍、沈峰利用傳播算子和空間平滑相結(jié)合的方式實(shí)現(xiàn)了快速解相干的DOA估計(jì)。文獻(xiàn)[6]中閆鋒剛提出了壓縮譜理論，能夠有效降低譜峰搜索的運(yùn)算量。本文對(duì)傳播算子和壓縮譜算法進(jìn)行了研究，通過(guò)傳播算子和壓縮譜相結(jié)合的方式進(jìn)行快速DOA估計(jì)，經(jīng)過(guò)仿真驗(yàn)證，具有良好的估計(jì)性能且能夠有效降低子空間算法的高復(fù)雜度和高運(yùn)算量的問(wèn)題。

1 MUSIC算法原理

如圖1所示，M個(gè)窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)入射到由N個(gè)天線組成的陣列。

圖1 陣列入射模型

其陣列接收模型為：

X(t)=A(θ)S(t)+N(t)

(1)

求解陣列數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣:

R=E[XXH]=

AE[SSH]AH+σ2I=

ARsAH+RN

(2)

由于信號(hào)與噪聲相互獨(dú)立，對(duì)協(xié)方差矩陣R進(jìn)行特征分解，可以得到下式:

R=UsΛsUs+UNΛNUN

(3)

式中:Us為信號(hào)子空間；UN為噪聲子空間。

由于信號(hào)子空間與噪聲子空間的正交性且可以使用式(4)進(jìn)行譜估計(jì)，譜函數(shù)中的最小值位置即為信號(hào)的真實(shí)入射角度:

(4)

2 傳播算子(PM)算法

在實(shí)際工程應(yīng)用中，MUSIC算法由于特征分解的復(fù)雜度和運(yùn)算量較高，不利于工程實(shí)現(xiàn)，使用傳播算子(PM)算法可以通過(guò)一種線性運(yùn)算快速得到子空間，在求得噪聲子空間及其投影算子時(shí)無(wú)需進(jìn)行特征分解?，F(xiàn)將式(1)中的陣列流型陣A(θ)進(jìn)行分塊：

(5)

式中:A1(θ)為M×M維的矩陣；A2(θ)為(N-M)×M維的矩陣。

若A1(θ)為非奇異矩陣，那么A1(θ)和A2(θ)之間存在一個(gè)唯一的矩陣P，滿足線性關(guān)系：

A2(θ)=PHA1(θ)

(6)

矩陣P被稱為傳播算子。

QHA=0

(7)

式(7)表明矩陣Q與噪聲子空間具有正交性，即span{Q}=span{UN}，可以通過(guò)協(xié)方差矩陣直接求解矩陣P。

首先對(duì)協(xié)方差矩陣R進(jìn)行分塊：

(8)

(9)

根據(jù)得到的傳播算子P即可構(gòu)造矩陣Q，通過(guò)公式(10)進(jìn)行譜峰搜索即可得到信號(hào)的入射角度:

θMUSIC=argmin{aH(θ)QQHa(θ)}

(10)

3 基于PM算法的壓縮譜估計(jì)

導(dǎo)向矢量a(ω)可以寫為如下形式：

(11)

式中：f為信號(hào)頻率；d為陣元間距；c為光速。

對(duì)式(11)兩邊同時(shí)取共軛：

(12)

由于正弦函數(shù)是奇函數(shù)，故有：

(13)

因此可以得到：

aH(θ)Q=aT(-θ)Q=aH(-θ)Q*

(14)

根據(jù)公式(14)可以看出噪聲子空間的共軛與信號(hào)的對(duì)稱角度成正交性，即aH(-θ)Q*=O?？梢愿鶕?jù)PM算法重新構(gòu)造公式(4)中的譜估計(jì)函數(shù)：

θMUSIC=argmin{aH(θ)QQHQ*QTa(θ)}

(15)

譜函數(shù)估計(jì)會(huì)在θ和-θ的位置同時(shí)出現(xiàn)極小值，在將θ和-θ代入公式(10)即可求出正確的入射角度，通過(guò)壓縮譜的算法可以將譜峰搜索的范圍減半，有效地減少了算法運(yùn)算量。

算法步驟：

(1) 通過(guò)公式(8)對(duì)協(xié)方差矩陣R進(jìn)行分塊處理，得到子矩陣R1和R2。

(2) 通過(guò)公式(10)使用矩陣R1和R2求出傳播算子P。

(3) 使用傳播矩陣P構(gòu)造與信號(hào)子空間正交的矩陣Q。

(4) 通過(guò)公式(15)構(gòu)造壓縮譜函數(shù),進(jìn)行譜峰搜索，求出峰值。

(5) 對(duì)峰值進(jìn)行解模糊即可求出正確的信號(hào)入射角度。

4 算法仿真

陣列設(shè)為陣元數(shù)為12個(gè)的均勻線陣，陣元間距為半波長(zhǎng)，陣元擺放如圖1所示。入射信號(hào)為遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)，并且信號(hào)之間相互獨(dú)立，噪聲為相互獨(dú)立的零均值加性高斯白噪聲，信號(hào)與噪聲之間相互獨(dú)立。

4.1 信噪比對(duì)算法精度的影響

為了測(cè)量信噪比對(duì)算法的影響，設(shè)入射信號(hào)數(shù)目為1，信號(hào)的入射角度為陣列法線的近軸方向，在[-5°～+5°]內(nèi)隨機(jī)入射。噪聲為加性高斯白噪聲，信噪比范圍為-10～20 dB，每間隔2 dB進(jìn)行遞增，信號(hào)的快拍數(shù)為100，每個(gè)信噪比下進(jìn)行1 000次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果求其均方根誤差。

圖2為信號(hào)的DOA測(cè)量誤差，根據(jù)仿真結(jié)果可以看出2種算法的DOA估計(jì)精度隨著信噪比增大而提高。當(dāng)信噪比低于0 dB時(shí)，MUSIC算法的測(cè)角精度優(yōu)于PM算法與壓縮譜相結(jié)合的測(cè)向方式；當(dāng)信噪比高于0 dB時(shí)，2種算法的估計(jì)性能相近，DOA估計(jì)具有較高的精度。

圖2 DOA估計(jì)精度

4.2 算法分辨率仿真分析

為了測(cè)量算法的分辨力，入射信號(hào)的數(shù)目設(shè)為2個(gè)，通過(guò)改變2個(gè)信號(hào)與陣列法線方向的夾角，使2個(gè)信號(hào)之間的入射角度不同。信噪比為20 dB，快拍數(shù)為100，進(jìn)行1 000次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)其測(cè)角精度和正確分辨信號(hào)的成功率。

圖3 為雙信號(hào)隨著入射角度不同其入射角的估計(jì)精度。圖4為雙信號(hào)隨著入射角度不同其成功分辨的概率。根據(jù)圖3可以看出，在雙信號(hào)入射情況下，MUSIC算法的測(cè)角精度略優(yōu)于PM算法與壓縮譜相結(jié)合的測(cè)向方式。根據(jù)圖4可以看出MUSIC算法的分辨力為2°，PM算法與壓縮譜結(jié)合的測(cè)向分辨力為3°。因此，MUSIC算法的分辨力略優(yōu)于PM算法與壓縮譜，2種算法的分辨力性能接近。

圖3 雙信號(hào)測(cè)角精度

圖4 雙信號(hào)分辨成功概率

5 結(jié)束語(yǔ)

在信噪比較高的情況下，PM算法與壓縮譜相結(jié)合的測(cè)向方式擁有與傳統(tǒng)MUSIC算法相近的估計(jì)性能，具有較高的估計(jì)精度和較好的分辨力。同時(shí)PM算法與壓縮譜相結(jié)合的測(cè)向方式的算法不需要進(jìn)行特征分解，有效降低了算法的復(fù)雜度；將譜函數(shù)的搜索范圍壓縮了一半，有效降低了算法的運(yùn)算量。該算法具有低復(fù)雜度、低運(yùn)算量的優(yōu)點(diǎn)，在工程應(yīng)用中能夠更好地節(jié)省硬件成本，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。