韓 歡，王自強

(貴州民族大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

關(guān)于熱彈性拓撲優(yōu)化問題主要圍繞如何建立合理的優(yōu)化模型以及如何實現(xiàn)工程的應(yīng)用研究展開。文獻[1]研究了以柔順度為目標、體積為約束的熱載荷作用下，二維線性彈性體的拓撲優(yōu)化問題。文獻[2]針對熱彈性優(yōu)化問題的靈敏度求解，提出了一套統(tǒng)一有效的伴隨設(shè)計靈敏度分析方法，并推導(dǎo)出熱傳導(dǎo)系數(shù)和楊氏模量的設(shè)計靈敏度表達式。文獻[3]運用水平集法，對熱彈性結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化，獲得光滑清晰的結(jié)構(gòu)邊界。本文基于固體各向同性懲罰法，建立二維懸臂梁熱力耦合問題的拓撲優(yōu)化算法，并基于Freefem++軟件實現(xiàn)該算法。

1 熱力耦合問題的拓撲優(yōu)化模型構(gòu)造

圖1 懸臂梁熱力耦合問題的示意圖Fig.1 Schematic diagram of the cantilever beam thermo-mechanical coupling problem

在密度方法中，可以使用不同的材料插值和離散化方法解決結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題。固體各向同性懲罰法，將材料分布定義為連續(xù)函數(shù)。這樣設(shè)計的設(shè)備易于制造，因為設(shè)計變量決定了候選材料的分布，故得到廣泛的應(yīng)用。類似文獻[4]，假設(shè)：

(1)

其中C0，C1，E1，E0，γ0，γ1，κ0，κ1，φ，p，v分別表示孔洞區(qū)域的四階彈性張量，固體材料的四階彈性張量，固體材料的楊氏模量，孔洞區(qū)域的楊氏模量，孔洞區(qū)域的熱膨脹系數(shù)，固體材料的熱膨脹系數(shù)，孔洞區(qū)域的熱導(dǎo)率，固體材料的熱導(dǎo)率，設(shè)計變量，懲罰參數(shù)，泊松比。

類似文獻[2]、文獻[4]，本文研究熱力耦合最小化問題為：

滿足

(2)

其中，ω，τ，n，ε分別表示體積分數(shù)約束，Kronecker符號，邊界的法向量，應(yīng)變；|Ω|是設(shè)計域的面積，目標函數(shù)J是應(yīng)變能密度。應(yīng)變能越小，結(jié)構(gòu)的剛度就越大，因此，該問題相當于最大化剛度的設(shè)計。在(2)式的約束下，優(yōu)化問題必須遵循滿足邊界條件和體積分數(shù)約束的控制方程。

在未考慮體積約束的拉格朗日定義為：

=0

(4)

(5)

(6)

(7)

利用有限元方法，求解伴隨方程(7)式解得p，ξ代入目標函J(φ)=L(φ，u，T，p，ξ)中，對φ進行各項求導(dǎo)，得靈敏度分析：

(8)

類似文獻[5]，假設(shè)光滑靈敏度信息如下：

(9)

2 數(shù)值算法及結(jié)果

類似文獻[7]，設(shè)熱力耦合最小化問題的數(shù)值算法如下：

1)利用有限元求解方程(2)式得T和u;

2)利用有限元求解伴隨方程(7)式得p，ξ；

3)將T，u，p，ξ代入J(φ)中靈敏度分析得(8)式；

4)使用(9)式獲得光滑的靈敏度；

5)為求解目標函數(shù)J(φ)的最優(yōu)解：

b.取相對密度變化的最大步長m=0.1，用于更新設(shè)計變量:

6)利用(1)式更新各材料的設(shè)計變量，計算平均順應(yīng)性，體積分數(shù)和變量變化；

7)判斷優(yōu)化設(shè)計變量φ是否足夠小且迭代次數(shù)是否大于等于最大迭代次數(shù)，是則輸出結(jié)果，否則回到第1)步。

在不考慮g和Q的情況下，取長l1=4 m，寬l2=1 m的懸臂梁，x1=0，x2=100000，v=0.4，γ0=0.5×10-5m/℃，γ1=3×10-5m/℃，κ1=90 W/m℃，E0=10-9E1GPa，E1=3×109GPa，

ΓD={x=-2，y=t，t∈(-0.5，0.5)}上u0=0m，

ω=0.5 m3，κ0=45 W/m℃，

懸臂梁拓撲優(yōu)化過程如圖2-圖5。

圖2 初始材料結(jié)構(gòu)Fig.2 Initial material structure

圖3 第50次優(yōu)化結(jié)構(gòu)Fig.3 50th optimized structure

圖4 第100次優(yōu)化結(jié)構(gòu)Fig.4 100th optimized structure

圖5 第150次優(yōu)化結(jié)構(gòu)Fig.5 150th optimized structure

由圖4和圖5可以看出，結(jié)構(gòu)在迭代100次后變化不是很明顯，從而確定最終的材料結(jié)構(gòu)如圖5所示。