四川 李 迪 李 剛

文章以一道機(jī)車啟動(dòng)的題目為例，通過(guò)積分計(jì)算，給出了機(jī)車啟動(dòng)過(guò)程中瞬時(shí)速度和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，論證了不論機(jī)車是以恒定功率啟動(dòng)，還是以恒定加速度啟動(dòng)，都無(wú)法真正達(dá)到最大速度，只能無(wú)限趨近于最大速度。

筆者在教學(xué)過(guò)程中遇到了這樣一道關(guān)于汽車啟動(dòng)的題目，原文如下：

2020年2月22日，河北省第九批支援湖北的醫(yī)療隊(duì)在石家莊火車站乘坐高鐵列車到達(dá)武漢，開(kāi)展新冠肺炎醫(yī)療救治工作。已知該高鐵列車的總質(zhì)量為m=5×105kg，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的阻力恒為列車重力的0.02倍，已知該高鐵列車沿直線由靜止啟動(dòng)的過(guò)程中，其輸出功率P與速度v的關(guān)系圖像如圖1所示，該高鐵列車從靜止開(kāi)始啟動(dòng)至達(dá)到最大速度所用的時(shí)間t=300 s，g=10 m/s2，下列說(shuō)法正確的是

圖1

( )

A.該高鐵列車的最大速度為30 m/s

B.該高鐵列車的最大速度為90 m/s

C.該高鐵列車做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為225 s

D.該高鐵列車由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)至達(dá)到最大速度的位移為3 375 m

【解析】A、B.由圖1知該高鐵列車的額定功率P額=9×106W，該高鐵列車受到的阻力

f=kmg=0.02×5×105×10 N=1×105N

牽引力與阻力大小相等時(shí)，高鐵列車的速度最大，則

B項(xiàng)正確，A項(xiàng)錯(cuò)誤

C.在勻加速階段，由圖1可知，牽引力

根據(jù)牛頓第二定律有

F-f=ma和v=at1

解之可得

a=0.4 m/s2，t1=75 s

C項(xiàng)錯(cuò)誤

D.勻加速運(yùn)動(dòng)的位移

該高鐵列車從達(dá)到額定功率至最大速度的過(guò)程中，設(shè)該高鐵列車的位移為x2，根據(jù)動(dòng)能定理可得：

解得x2=2 250 m

因此該高鐵列車從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到最大速度的總位移為

x=x1+x2=3 375 m

D項(xiàng)正確。

然而，如果我們畫出該列車啟動(dòng)的v-t圖像(圖2)，不難發(fā)現(xiàn)，由圖像與t軸所圍成的面積為直線運(yùn)動(dòng)的位移可知，變加速階段的位移必將大于梯形面積

圖2

這一結(jié)果遠(yuǎn)大于我們?cè)诮馕鲋型ㄟ^(guò)動(dòng)能定理(1)式計(jì)算得到的x=2 250 m。

兩種解答過(guò)程看似都沒(méi)有問(wèn)題，但為什么會(huì)出現(xiàn)截然不同的結(jié)果呢？這涉及我們?cè)凇皺C(jī)車啟動(dòng)”教學(xué)過(guò)程中的一個(gè)常見(jiàn)誤區(qū)，接下來(lái)進(jìn)行詳細(xì)分析。

在日常教學(xué)過(guò)程中，常見(jiàn)講授方式為，把“機(jī)車啟動(dòng)”類問(wèn)題分為兩種：1.以恒定功率啟動(dòng)；2.以恒定加速度啟動(dòng)。

我們先討論以恒定功率啟動(dòng)的方式，設(shè)機(jī)車的額定功率為P0，質(zhì)量為m，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到恒定的阻力f，根據(jù)牛頓第二定律和功率的表達(dá)式，有

P0=F·v(2)

F-f=ma(3)

隨著速度v的增加，機(jī)車牽引力F逐漸減小，由(3)式可知加速度a逐漸減小，機(jī)車做加速度減小的變加速運(yùn)動(dòng)，v-t圖像的形狀大致如圖3所示，在某一時(shí)刻t1，當(dāng)F減小至等于f時(shí)，加速度a為零，機(jī)車速度到達(dá)最大速度vm，由(2)、(3)式可知

圖3

上述的分析過(guò)程只是一個(gè)定性的分析，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)恒定功率啟動(dòng)過(guò)程中，瞬時(shí)速度v是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)，但是僅靠高中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)還得不到精確的v與t函數(shù)表達(dá)式，現(xiàn)在我們用微積分對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行求解，為了使表達(dá)式更具普遍性，我們求解機(jī)車在恒定功率P0下，在t時(shí)間內(nèi)，速度從某一瞬時(shí)速度v1變加速至v的表達(dá)式：

由(2)、(3)式得微分表達(dá)式

變形可得

兩邊積分

兩邊積分得

變形為

當(dāng)v1=0時(shí)，(5)式將變換為

(5)式為從v1開(kāi)始、(6)式為從靜止開(kāi)始以恒定功率啟動(dòng)過(guò)程中，瞬時(shí)速度v與啟動(dòng)時(shí)間t所滿足的表達(dá)式。

現(xiàn)對(duì)它們進(jìn)行簡(jiǎn)單討論：由(5)式、(6)式可知，當(dāng)P0-fv=0，即P0=fv，v=vm時(shí)，ln函數(shù)無(wú)意義，t不存在，也就意味著P0不能等于fv，即機(jī)車的速度無(wú)法達(dá)到滿足(4)式的最大速度vm，當(dāng)P0-fv2→0時(shí)，即v→vm時(shí)，t→∞。也可以理解為機(jī)車速度要達(dá)到vm，需要用無(wú)窮多的時(shí)間，需要走無(wú)窮多的位移。以上特點(diǎn)可由(5)式、(6)式的函數(shù)圖像直觀看出，如圖4、圖5所示。(這里以上述例題中的數(shù)據(jù)代入計(jì)算，即(5)式、(6)式中的P0=9×106W，f=1×105N，m=5×105kg，v1=30 m/s)

圖4

圖5

由圖4、圖5第一象限中的圖像可以看出，不論初速度是否為零，機(jī)車只要是恒定功率的變加速，就都無(wú)法真正達(dá)到最大速度vm，只能無(wú)限趨近于最大速度vm，在v-t圖像中，vm可表示為函數(shù)圖像的一條漸近線。

由圖可以直觀看出，當(dāng)t=300 s時(shí)，速度v<90 m/s，帶入(5)式可計(jì)算得到，t=300 s-75 s=225 s時(shí)，v≈65.45 m/s。所以題目中所給的“該高鐵列車從靜止開(kāi)始啟動(dòng)至到達(dá)最大速度所用的時(shí)間t=300 s”與實(shí)際情況存在著較大的偏差，這就是例題中存在矛盾的原因。若我們以實(shí)際情況v≈65.45 m/s來(lái)對(duì)兩種解題方法進(jìn)行對(duì)比，則：

代入表達(dá)式(1)中得：

x≈11 791 m>10 738 m，

矛盾消除。

同時(shí)，我們也可以由(2)式、(3)式得到，當(dāng)機(jī)車以恒定加速度啟動(dòng)時(shí)，機(jī)車的運(yùn)動(dòng)可以分為兩個(gè)階段，第一階段為勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在該階段，牽引力F恒定，機(jī)車功率隨著v線性增加(與t成正比)，當(dāng)機(jī)車功率P=P0后，牽引力F隨著v的增加而減小，機(jī)車進(jìn)入以P0為恒定功率的變加速階段，之后運(yùn)動(dòng)情況和(5)式、圖4描述的運(yùn)動(dòng)情況相同，即機(jī)車依然無(wú)法真正達(dá)到最大速度vm，只能無(wú)限接近vm。同樣也不存在到達(dá)最大速度的時(shí)間和位移。

其中(5)式中的v1可以由(2)式、(3)式結(jié)合給定的加速度a計(jì)算得到，當(dāng)a=a0時(shí)有

綜合看來(lái)，無(wú)論機(jī)車以何種方式啟動(dòng)，我們都可以由(5)式和(7)式進(jìn)行某一瞬時(shí)速度的計(jì)算。

1.以恒定功率啟動(dòng)時(shí)，用

2.以恒定加速度a0啟動(dòng)時(shí)，用

v=at1(當(dāng)v≤v1時(shí)) (8)

(當(dāng)v>v1時(shí))