吳小明

摘? 要：“微專題”復(fù)習(xí)是以學(xué)生在高考中的某個熱點、難點、易錯點或數(shù)學(xué)解題思想的應(yīng)用等作為主題來研討，退回到該知識的“最原始”概念處復(fù)習(xí)的一種技法。通過三個具體的復(fù)習(xí)案例來展示“微專題”復(fù)習(xí)法的思維過程與建構(gòu)方法。

關(guān)鍵詞：專題;素養(yǎng);思維;設(shè)計;實踐

一、現(xiàn)狀剖析

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)是對中學(xué)數(shù)學(xué)知識的重建構(gòu)、再完善，是學(xué)生學(xué)習(xí)能力及核心素養(yǎng)再提升的過程。如果說一輪復(fù)習(xí)是高三復(fù)習(xí)的“形成期”，那么二輪復(fù)習(xí)是高三復(fù)習(xí)的“整合期”。這里的整合，既有各分支內(nèi)部的整合（大單元復(fù)習(xí)），又有各分支之間的整合（微專題復(fù)習(xí)），這與高考的命題策略是完全一致的，這一階段必須協(xié)調(diào)好專題訓(xùn)練與綜合訓(xùn)練的關(guān)系，力求做到兩者之間的有機結(jié)合。

隨著高考二輪復(fù)習(xí)的不斷深入，各地調(diào)研試題的新鮮出爐，綜合訓(xùn)練頻率的逐步增加，會導(dǎo)致學(xué)生備考心理失衡，出現(xiàn)焦慮不安、眼高手低、急于求成等現(xiàn)象，陷入常規(guī)題易做錯、難題做不出的困境，數(shù)學(xué)成績不升反降。課堂上學(xué)生出現(xiàn)興趣不濃、參與率不高的現(xiàn)象，課堂教學(xué)效果大打折扣。

面對這種現(xiàn)狀，在二輪復(fù)習(xí)中，有效地開展“微專題”復(fù)習(xí)教學(xué)研討與實踐，極大地調(diào)動了學(xué)生復(fù)習(xí)的積極性與主動性，提升了學(xué)生的基本知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經(jīng)驗積累，對學(xué)生數(shù)學(xué)能力與核心素養(yǎng)的培養(yǎng)頗有成效，深受學(xué)生的喜愛。

二、專題建構(gòu)

復(fù)習(xí)效果的好壞，關(guān)鍵因素是教師必須樹立良好的課程意識，即教學(xué)中選擇什么內(nèi)容或材料作為復(fù)習(xí)的重點，其有效性和針對性更強;其次才是怎么教的問題。

“微專題”復(fù)習(xí)是以學(xué)生在高考中的某個熱點、難點、易錯點或數(shù)學(xué)解題思想的應(yīng)用等作為主題來研討，回到該知識的“最原始”概念處復(fù)習(xí)的一種技法。再依托新穎的材料、寬泛的背景，通過設(shè)計一條清晰的主線串起這些問題，以適合不同層次的學(xué)生參與課堂復(fù)習(xí)活動，讓學(xué)生學(xué)會分析與聯(lián)想、比較與選擇等策略，在激活知識的同時提升學(xué)習(xí)能力與核心素養(yǎng)。

“微專題”復(fù)習(xí)建構(gòu)方法可概括如圖所示：

三、實踐案例

（一）基于數(shù)學(xué)方法應(yīng)用的“微專題”復(fù)習(xí)建構(gòu)

方法能指引學(xué)生激活知識、解決數(shù)學(xué)問題?？梢哉f不提煉一些固有的解題方法，學(xué)生學(xué)習(xí)及解題能力不可能得到質(zhì)的升華。在教學(xué)實踐中，教師應(yīng)結(jié)合相關(guān)熱點思維方法設(shè)計對應(yīng)的“微專題”，對思維方法的來源進行剖析挖掘，對相近的方法進行比較綜合，對基本的題型進行變式，有效地幫助學(xué)生形成必要的定勢思維，即所謂的“通法”，提高學(xué)生的實戰(zhàn)解題能力。

案例1.“三角形中的三角函數(shù)”的微專題復(fù)習(xí)設(shè)計片斷

（1）知識激活，回歸教材。

引例：如圖，在△ABC中，∠B=45°，點D在BC邊上，AD=5，AC=7，DC=3，則AB的長為______________.

分析：在△ABC中，多了條AD線后，形成了多個三角形。此時我們需要在圖中標(biāo)出已知條件，尋找可解三角形。注意到△ACD三邊都已知，這個三角形可解。再分析未知目標(biāo)，需要求解AB長，盡可能地放在條件比較多的△ABC中，已知一邊一對角，欲求另一邊，只需另一對角即可。

反思：通過上述分析過程，反思可以直接解三角形的條件有哪些？回歸到書本上解三角形的兩大工具——正弦、余弦定理及其適用條件，強化定理的選擇與優(yōu)化，提升學(xué)生發(fā)展的邏輯推理素養(yǎng)。

（2）題組比較，方法提煉。

變題1：

在△ABC中，AD為BC邊上的中線，且∠BAC=120°，BC=2? 21 ，AD=3，則AC的長為_______________.

變題2：

在△ABC中，AD為BC邊上的中線，且AB=4? 3，AC=2? ?3，

∠BAD=30°則BC的長為________________.

分析：在引例的基礎(chǔ)上，把AD線改為中線后，改變已知條件，使得沒有哪一個三角形可以直接求解，加大了題目的難度。學(xué)生在圖形中標(biāo)出已知條件后，感覺隨便哪個三角形都缺條件可解，也就下不了手。這時候我們需要在標(biāo)注未知的條件時，尋找關(guān)聯(lián)的條件并進行標(biāo)注。如變題1，△ABC中已知一角及一對邊，未知一條邊，關(guān)聯(lián)一角或一邊使得△ABC可解;△ADC中已知兩邊未知第三邊，關(guān)聯(lián)任一角使得△ADC可解;△ADB中也已知兩邊未知第三邊，關(guān)聯(lián)任一角使得△ADB可解;綜上，AB可以將三個三角形關(guān)聯(lián)起來，這時候引進AB新變量，建立關(guān)于AB和AC的方程組，通過解方程組法可以將問題迎刃而解。

反思：通過上述分析過程，反思兩個變題的聯(lián)系及其處理方法的異同？可以發(fā)現(xiàn)：兩個變題的處理方法完全一致，，都是列方程組法，且都是“知三求一”的過程，而區(qū)別僅在于已知量和未知量的位置交換。從特殊到一般再到特殊的邏輯思維，再次提升了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。再反思如何會想到引進新的變量建立方程組的想法？這是從無到有，由遠(yuǎn)及近的探究方法，從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)展開引導(dǎo)，歸納得到“通法”的同時，更重要的是實現(xiàn)了學(xué)生核心素養(yǎng)的提升。

（3）回歸本質(zhì)，素養(yǎng)升華。

反思：這兩個變題的背景都是三角形的中線，研究的問題其本質(zhì)是什么？

能不能有新的想法？教師引導(dǎo)學(xué)生探求問題的本質(zhì)，在解題的過程中意外地收獲了三角形中線長定理：三角形兩邊平方和的兩倍等于它第三邊的平方與第三邊中線長平方的四倍之和，這與平面向量中的極化恒等式是一致的。如果預(yù)料到了這一點，還可以簡化問題。這是教師引導(dǎo)學(xué)生的對數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展，也是對學(xué)生邏輯素養(yǎng)的深度升華。

（二）基于教材問題變式的“微專題”復(fù)習(xí)建構(gòu)

在復(fù)習(xí)中，師生往往過多關(guān)注題目，忽視了教材。教材應(yīng)是高考的源頭，更是復(fù)習(xí)必須回歸的原點，在復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)在源于教材又高于教材的基礎(chǔ)上，積極地“溯源登高”，既要重溫教材，追蹤其在知識結(jié)構(gòu)、編排體系、問題設(shè)計等方面存在的痕跡，更要挖掘教材問題，探索命題發(fā)展的趨向，并透視教材的基礎(chǔ)性，展現(xiàn)髙考的導(dǎo)向性。

（1）尋根溯源，挖掘“生長點”。

“微專題”復(fù)習(xí)應(yīng)體現(xiàn)知識的整合和聯(lián)系，探尋其本源，挖掘“生長點”，揭示所學(xué)知識的背景及內(nèi)在規(guī)律。在復(fù)習(xí)中找到一條主線將一些散落的知識點按照內(nèi)在邏輯將其系統(tǒng)地串聯(lián)起來，達到知識的融會貫通。

案例2.“隱形圓”的“微專題”復(fù)習(xí)設(shè)計片斷。

引例：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A為直線l：y=2x上在第一象限內(nèi)的點B（5，0），以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D，若AB·CD=0，則點A的橫坐標(biāo)為___________

分析：由2018江蘇數(shù)學(xué)高考12題引入，基礎(chǔ)較好的學(xué)生會從“△ADC是一特殊的等腰直角三角形”下手，利用幾何法分析得到AB直線方程，再聯(lián)立已知直線l方程便可得到點A的橫坐標(biāo);相對一般的學(xué)生也能通過代數(shù)法，聯(lián)立圓C的方程和直線l方程，先得到D點的坐標(biāo)，再利用向量垂直關(guān)系建立A點橫坐標(biāo)的方程進而得到A點的橫坐標(biāo)。

反思：兩種解法的區(qū)別在于：前一種是探求A點運動的軌跡，既在已知直線l上又在直線AB上（核心）;后一種是探求D點運動的軌跡，既在直線l上又在圓C上（核心）;線線交點算法優(yōu)于線圓交點。但究其本質(zhì)，都是在探求動點的軌跡，而探尋“隱形圓”又是一個難點。

聯(lián)想：

1.已知直線l：x-y+2=0 與x軸交于點A，點P在直線l上，圓C：（x-2）2+y2=2上有且僅有一個點B滿足AB⊥BP，則P點的橫坐標(biāo)為____________.

2.已知點A（1，0），B（4，0），若直線x-y+m=0上存在點P，使得2PA=PB， 則實數(shù)m的取值范圍為______________.

3.已知A（2，3），B（6，-3），點P在直線3x-4y+3=0上，若滿足等式AP·BP+2λ=0的點P有兩個，則實數(shù)λ的取值范圍是_____________.

4.已知圓C： x2+y2-4x=0及點A（-1，0） ， B（1，2） ， 圓C上是否存在點P，使得PA2+PB2=12？ 若存在，求出P點個數(shù)，若不存在，說明理由。

分析：通過探求動點的運動軌跡，歸納總結(jié)得到圓的一些隱含的說法，如：到定點的距離等于定值的隱形圓（定義圓）;到兩定點距離之比為一定值的隱形圓（阿波羅尼斯圓）;與兩定點的連線互相垂直的隱形圓（直徑圓）;到兩定點的距離平方和為定值的隱形圓等（平方圓）。將“隱形圓”巧現(xiàn)出來，形成對“圓”認(rèn)識的一般抽象，而這其中的難點應(yīng)在于抽象得到這樣的“隱形圓”模式。

應(yīng)用：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知A，B為圓C： （x+4）2+（x+4）2=16上兩個動點，且AB=2 11 . 若直線l：y=2x上存在唯一的一個點P ， 使得PA+PB=OC，則實數(shù)a的值為_______________________.

分析：學(xué)生由前面獲取的活動經(jīng)驗積累，取AB中點D，由CD=? 5 將D點運動軌跡的“隱形圓（定義圓）”顯現(xiàn)出來，進而得到P點的軌跡使得問題得以解決。學(xué)生運用知識原點，在由此及彼生成新知識的過程中，不僅鍛煉了思維能力，還學(xué)會舉一反三、觸類旁通，能有效提升核心素養(yǎng)。

（2）凸顯疑點，設(shè)計“問題串”。

針對學(xué)生的疑難點，有效幫助學(xué)生解決實際困惑。在復(fù)習(xí)教學(xué)時，可以依據(jù)教材借助學(xué)生的疑問創(chuàng)設(shè)問題情境，喚醒舊知識，引導(dǎo)學(xué)生主動建立復(fù)習(xí)目標(biāo)，并采用變式訓(xùn)練、題組策略、問題串設(shè)計來編制微專題。通過設(shè)置“問題情境一問題串設(shè)計一真題檢測”完成微專題復(fù)習(xí)。其中，問題情境必須提煉學(xué)生的問題所在，即提出一堂課的核心問題;問題串設(shè)計可以將學(xué)生的問題回到最簡單、最本質(zhì)的地方，通過變換問題背景，逐步深入問題的核心;最后的真題檢測，是檢驗所學(xué)知識、方法的應(yīng)用過程。

案例3.“函數(shù)的圖像與性質(zhì)”的“微專題”復(fù)習(xí)設(shè)計片斷。

習(xí)題：設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f（x）=2x2-x，則x>0時，f（x）=____________________

問題1：解決函數(shù)問題我們一般先考慮用什么方法？（圖像）

問題2：思考上題，如何求解？（利用奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱的性質(zhì)）

問題3：利用“對稱”解題很方便，有別的想法嗎？（利用奇函數(shù)的定義）

問題4：抓住“定義”解題，也是種常規(guī)方法?；仡檮倓傔@個問題，與函數(shù)的什么性質(zhì)有關(guān)？（奇函數(shù)的定義、對稱性）

問題5：若已知函數(shù)是奇函數(shù)，我們經(jīng)常會處理的題型？（f（0）=0）

問題6：也就是特殊值求法，比如怎么求f（1）？f（2）？

問題7：求出f（1），f（2）后，我們又可以用什么方法解決剛剛的習(xí)題？（二次函數(shù)：待定系數(shù)法）這樣我們可以解決一類“已知函數(shù)類型求解析式”的問題。

問題8：有句成語說：“窺一斑見全貌”，圖像對稱又有什么一般特點？（由奇函數(shù)的性質(zhì)知，圖像上任意一點（x，y）關(guān)于原點對稱的點（-x，-y）也在該圖像上，同樣可以解決剛剛的習(xí)題）這樣我們又可以解決一類“軌跡”問題。

問題9：那么用什么方法最簡單？（對稱）

分析：用反思的方式、問問題的結(jié)構(gòu)來推進教學(xué)：反思理解題意的過程，提高問題意識;反思數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，完善知識結(jié)構(gòu);反思基本解題規(guī)律，掌握基本解題方法;反思一題多解，強化解題能力;反思解題方法的優(yōu)劣，優(yōu)化解題體系。

四、結(jié)語

“微專題”復(fù)習(xí)教學(xué)能有效地幫助學(xué)生更好地清除盲點、強化重點、突破難點、糾正易錯點，課堂形式活潑多樣，學(xué)生能積極思考、主動配合、層層深入，小組討論高效有序，課堂充滿生機與活力。“微專題”在知識整合和優(yōu)化上具有得天獨厚的優(yōu)勢，教師應(yīng)系統(tǒng)地把握學(xué)情、考情、教材、考綱等，注重聯(lián)系與發(fā)展，注重?zé)狳c與難點，注重感悟與提煉，可引領(lǐng)學(xué)生進行高效的教與學(xué)，有助于學(xué)生深度參與、深度學(xué)習(xí)、深度反思。