高倩 楊雪斌
摘 要:可轉(zhuǎn)換債券是一種較為復(fù)雜的金融衍生產(chǎn)品,其定價具有重要的理論和實際意義。通過借鑒國內(nèi)外研究成果,使用隨機(jī)波動率的Hull-White期權(quán)定價模型,用擬蒙特卡羅方法對可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行定價,數(shù)值實驗表明:與蒙特卡羅方法相比,擬蒙特卡羅模擬的價格與真實價格更接近、收斂速度更快,這也能夠證明隨機(jī)波動率的Hull-White期權(quán)定價模型可以為可轉(zhuǎn)換債券的期權(quán)部分進(jìn)行定價。
關(guān)鍵詞:Hull-White模型;可轉(zhuǎn)換債券;擬蒙特卡羅模擬;低差異序列
中圖分類號:F830.91? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A? ? ? 文章編號:1673-291X(2021)27-0063-04
引言
金融市場中的統(tǒng)計模型一直是學(xué)術(shù)界研究的重點[1~2]。張梅琳和周義榮(2009)運用股價及利率特性推導(dǎo)出了雙因素可轉(zhuǎn)債定價模型[3]。王明雷(2012)在Hull-White模型的基礎(chǔ)上,建立了受外界干擾因子影響的隨機(jī)波動率模型,對可轉(zhuǎn)債中的期權(quán)部分進(jìn)行了定價研究[4]。Shen Y.和Siu T.K.(2013)對Hull-White模型下的債券期權(quán)進(jìn)行了估值[5]。董微(2015)研究認(rèn)為,TF98和LSM模型能夠較準(zhǔn)確地擬合可轉(zhuǎn)債價格[6]。潘堅和肖慶憲(2016)在Hull-White模型下,開發(fā)了以隨機(jī)障礙為主要特征的障礙期權(quán)估值模型[7]。O.Samimi等人(2017)對隨機(jī)波動率和隨機(jī)利率模型(Heston-Hull-White)進(jìn)行美式期權(quán)定價[8]。林鴻熙和江良(2018)給出了一種有效的正則化方法,對Hull-White模型進(jìn)行穩(wěn)定的參數(shù)估計[9]。
蒙特卡羅模擬方法在金融計算中被廣泛使用[10],蒙特卡羅方法和擬蒙特卡羅方法的應(yīng)用已有較多成果。羅付巖和徐海云(2008)對擬蒙特卡羅模擬方法中使用的Halton、Faure、Sobol序列進(jìn)行了定價分析,結(jié)果表明低維數(shù)條件下,三種序列比蒙特卡羅模擬的結(jié)果好,高維數(shù)條件下,F(xiàn)aure、Sobol序列比蒙特卡羅模擬的結(jié)果好,Halton序列則比較敏感[11]。張麗虹(2015)對美式期權(quán)進(jìn)行定價,將蒙特卡洛方法得到的數(shù)值結(jié)果與用有限差分法得到的準(zhǔn)確解進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn)蒙特卡洛方法仿真結(jié)果不太精確,波動較大,尤其是在模擬次數(shù)較小的時候,而增加模擬次數(shù)可提高精度[12]。白薇(2015)選擇看漲期權(quán),使用Euler離散化方法和Milstein離散化方法對擬蒙特卡羅方法下Hestom模型的離散化數(shù)值解做了研究,發(fā)現(xiàn)擬蒙特卡羅比傳統(tǒng)的蒙特卡羅方法更能夠提高模擬的效率[13]。楊首樟和任燕燕(2017)分別使用蒙特卡羅和擬蒙特卡羅模擬對歐式期權(quán)進(jìn)行定價對比,結(jié)果表明在低維度情況下擬蒙特卡羅模擬方法定價更加精確,收斂速度也更快;在高維情況下通過修正也可以達(dá)到同樣的效果[14]。
本文在已有工作的基礎(chǔ)上,使用隨機(jī)波動率的Hull-White模型為可轉(zhuǎn)債的期權(quán)部分價值進(jìn)行定價,運用擬蒙特卡羅方法模擬價格路徑,與傳統(tǒng)的蒙特卡羅方法進(jìn)行比較,對可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行比較準(zhǔn)確的定價。
一、模型闡述
(一)純債券部分價值
我們認(rèn)為,可轉(zhuǎn)債由純債券和期權(quán)兩部分價值組成。純債券部分價值為債券所有者在債券有效期內(nèi)獲得的現(xiàn)金流的貼現(xiàn)值,可用下式表示:
式中,I為債券每年票面利率,M為債券初始發(fā)行價,t為債券持有年限,r為市場無風(fēng)險利率,n表示從現(xiàn)在起至最后期限的時間(年),h表示從現(xiàn)在起至下一次除息日的小數(shù)年數(shù),n+h表示從現(xiàn)在起至最后期限的時間。
(二)Hull-White模型下的期權(quán)部分價值
很多研究使用波動率為常數(shù)的B-S期權(quán)定價公式為可轉(zhuǎn)債期權(quán)價值定價,但是股票收益率序列具有長記憶性和自相似性等特征,因此將波動率的隨機(jī)性考慮在期權(quán)定價中與真實的市場情況更加接近。隨機(jī)波動率更能刻畫新信息對未來的預(yù)測能力。John Hull與Alan White首先假設(shè)波動率的平方和股票價格分別滿足下列隨機(jī)微分方程:
Hull-White得出了符合上述方程的近似解,但沒有得出解析解。此后學(xué)者又在Hull-White模型的基礎(chǔ)上對期權(quán)定價進(jìn)行了進(jìn)一步的研究,但他們都沒有給出期權(quán)隨時變化的解析解,而且沒有考慮兩個方程之間的相關(guān)性。
我們在Hull-White模型的基礎(chǔ)上,考慮了更多外部沖擊因素的影響,引入如下隨機(jī)波動率模型,假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格和波動率分別滿足下列隨機(jī)方程:
定理1:假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格和波動率分別滿足上述式(3)、式(4)兩個隨機(jī)方程,則標(biāo)的資產(chǎn)期權(quán)B滿足的方程為:
證明:
風(fēng)險中性無套利條件下可以形成投資組合,即:
?駐是原生資產(chǎn)份額,假設(shè)∏是在t時刻的投資組合,選擇恰當(dāng)?shù)??駐,使得在(t,t+dt)時間段內(nèi),∏無風(fēng)險。且在該時間段內(nèi),?駐不變,那么在時刻t+dt,投資組合的回報是:
這里沒有給出模型的解析解,在模型所滿足的方程下,我們使用數(shù)值方法為期權(quán)部分定價。
(三)可轉(zhuǎn)換債券定價模型
綜上,可轉(zhuǎn)債定價模型可表示為:
A為純債券部分價值,B為滿足定理1的期權(quán)價值。
二、可轉(zhuǎn)換債券定價模型的擬蒙特卡羅模擬
傳統(tǒng)的蒙特卡羅模擬方法被廣泛應(yīng)用于期權(quán)定價模型中。它的基本原理是大數(shù)定理和中心極限定理,通過建立一個統(tǒng)計模型或者隨機(jī)過程,使參數(shù)等于所求問題的解,再通過反復(fù)的隨機(jī)取樣,計算參數(shù)的估計值和統(tǒng)計量,從而得到所求問題的近似解,抽樣次數(shù)越多,近似解越接近于真實值。蒙特卡羅模擬采用的隨機(jī)數(shù)存在偏差大、分布不均勻等特點,且蒙特卡羅模擬的收斂速度為O(n-1/2),此速度很慢。擬蒙特卡羅模擬改善了蒙特卡羅模擬的這些缺點,它與擬蒙特卡羅方法相同,但是用具有低偏差特征的低差異序列代替了偽隨機(jī)數(shù)序列。Halton序列、Sobol序列、Faure序列等都是常見的低差異序列。