付全紅，鄭建邦，樊元成，張富利

(西北工業(yè)大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心，陜西 西安 710129)

導(dǎo)體與靜電場(chǎng)的相互作用，即導(dǎo)體的靜電感應(yīng)，是大學(xué)物理電磁學(xué)部分的重要內(nèi)容. 深刻理解導(dǎo)體的靜電感應(yīng)規(guī)律需要用到靜電場(chǎng)邊值問題的唯一性定理，但是該定理在大學(xué)物理中并未涉及，一般在物理類專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課“電磁學(xué)”或“電動(dòng)力學(xué)”中才會(huì)涉及，因此，導(dǎo)體的靜電感應(yīng)問題是大學(xué)物理教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn). 在大學(xué)物理電磁學(xué)部分的教學(xué)中，通常以空腔導(dǎo)體和無限大導(dǎo)體平板的靜電感應(yīng)問題作為導(dǎo)體靜電感應(yīng)問題的教學(xué)案例. 空腔導(dǎo)體的靜電感應(yīng)問題相對(duì)簡(jiǎn)單，而無限大導(dǎo)體平板的靜電感應(yīng)問題相對(duì)復(fù)雜. 盡管無限大接地導(dǎo)體平板的靜電感應(yīng)問題是“電動(dòng)力學(xué)”教材中利用電像法求解靜電場(chǎng)邊值問題的經(jīng)典案例[1]，而且相關(guān)問題被廣泛討論[2-10]，但是無限大非接地導(dǎo)體平板的靜電感應(yīng)問題討論較少[11]，而且缺乏嚴(yán)格的論證，甚至存在錯(cuò)誤. 本文利用靜電場(chǎng)邊值問題的唯一性定理，嚴(yán)格分析無限大非接地導(dǎo)體平板的靜電感應(yīng)問題，利用COMSOL多物理場(chǎng)仿真軟件對(duì)理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，以糾正對(duì)無限大非接地導(dǎo)體平板的靜電感應(yīng)問題的誤解.

1 無限大接地導(dǎo)體平板的靜電感應(yīng)

在分析無限大非接地導(dǎo)體平板的靜電感應(yīng)問題之前，先回顧一下“電動(dòng)力學(xué)”教材中無限大接地導(dǎo)體平板的靜電感應(yīng)問題. 如圖1所示，有一個(gè)厚度為d無限大接地導(dǎo)體平板，在導(dǎo)體平板一側(cè)距離為a處放置一個(gè)點(diǎn)電荷q，求空間的電場(chǎng)分布. 該問題是“電動(dòng)力學(xué)”教材中利用電像法求解靜電場(chǎng)邊值問題的經(jīng)典案例，其結(jié)果已為大家所熟知. 無限大導(dǎo)體平板將整個(gè)空間分為上、下兩部分，假設(shè)上半空間(z>0) 的電勢(shì)為φ1，下半空間(z<-d)的電勢(shì)為φ2，則電勢(shì)分布的定解問題為：

圖1 無限大接地導(dǎo)體平板的靜電感應(yīng)

(1)

(2)

根據(jù)電像法，像電荷位于 (0, 0, -a) ，電荷量為-q，定解問題 (1) 的解為

(3)

(4)

(5)

導(dǎo)體平板上表面的感應(yīng)電荷總量為

(6)

顯然，定解問題 (2) 的解為

φ2=0

(7)

(8)

根據(jù)電場(chǎng)疊加原理，點(diǎn)電荷q和導(dǎo)體平板上表面的感應(yīng)電荷σ0(x,y) 在導(dǎo)體平板中和下半空間，即z< 0區(qū)域，產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度之和為0.

2 無限大非接地導(dǎo)體平板的靜電感應(yīng)

若無限大導(dǎo)體平板未接地，如圖2所示，則不能直接利用電像法來求解. 假設(shè)導(dǎo)體平板帶電荷總量為Q，面積為S，電勢(shì)為φx(Q和φx并不相互獨(dú)立，若Q給定，則φx隨之確定)，上半空間 (z> 0) 的電勢(shì)為φ1，下半空間 (z< -d) 的電勢(shì)為φ2(在本問題中，雖然電荷分布在無限大區(qū)域，但是由于不涉及具體的電勢(shì)數(shù)值，所以仍然可以選擇無窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，并不會(huì)造成電勢(shì)發(fā)散困難)，則電勢(shì)分布的定解問題為

圖2 無限大非接地導(dǎo)體平板的靜電感應(yīng)

(9)

(10)

(11)

(12)

定解問題 (11) 與定解問題 (1) 相同，因此，它們的解也相同，即

(13)

定解問題 (12) 的解為

(14)

式中，b1和c1為待定常量.

因此，定解問題 (9) 的解為

(15)

(16)

(17)

導(dǎo)體平板上表面的感應(yīng)電荷總量為

(18)

定解問題 (10) 的解為

φ2=b2z+c2

(19)

(20)

式中，b2和c2為待定常量.

σ下(x,y)=ε0b2

(21)

導(dǎo)體平板下表面的感應(yīng)電荷總量為

(22)

b2=-b1

(23)

其值可由導(dǎo)體平板帶電荷總量來確定.

導(dǎo)體平板帶電荷總量為

(24)

因此

(25)

(26)

將式 (25) 和式(26)分別代入式 (16)—(18)和式(20)—(22) , 得

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

由此可見，無限大導(dǎo)體平板不接地時(shí)電場(chǎng)可以分為兩部分，一部分是導(dǎo)體平板接地時(shí)的電場(chǎng)，即

(33)

E2,1=0

(34)

另一部分是將點(diǎn)電荷轉(zhuǎn)移到導(dǎo)體平板時(shí)的電場(chǎng)，即

(35)

(36)

同樣，無限大導(dǎo)體平板不接地時(shí)的電荷分布也可以分為兩部分，一部分是導(dǎo)體平板接地時(shí)的電荷分布，即

(37)

Q上,1=-q

(38)

σ下,1(x,y)=0

(39)

Q下,1=0

(40)

另一部分是將點(diǎn)電荷轉(zhuǎn)移到導(dǎo)體平板時(shí)的電荷分布，即

(41)

(42)

(43)

(44)

對(duì)于有限大小非接地導(dǎo)體平板，只要q和場(chǎng)點(diǎn)與導(dǎo)體平板的距離遠(yuǎn)小于導(dǎo)體平板的半徑，則電場(chǎng)和電荷分布的第一部分與無限大導(dǎo)體平板的情形相同，即式(33)、(34)、(37)—(40)仍然成立，由式(37)可知，距離無限大導(dǎo)體平板的中心越遠(yuǎn)，電荷密度越小，在距離平板中心足夠遠(yuǎn)的地方，感應(yīng)電荷可以忽略；但是，電場(chǎng)和電荷分布的第二部分與無限大導(dǎo)體平板的情形差異較大，即式(35)、(36)、(41)、(43)不再成立，因?yàn)橥N電荷相互排斥，電荷分布不均勻，距離有限大小導(dǎo)體平板的中心越遠(yuǎn)，電荷密度越大，平板中心附近的電荷密度小于平均電荷密度；根據(jù)對(duì)稱性，E1,2和E2,2關(guān)于平板的中心面鏡像對(duì)稱，即切向分量相等，法向分量互為負(fù)矢量，式(42)、(44)、(29)、(32)仍然成立.

3 COMSOL仿真驗(yàn)證

為了證明上述分析和結(jié)果正確，我們利用COMSOL多物理場(chǎng)仿真軟件分別從電場(chǎng)和電荷的角度對(duì)理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證. 由于在COMSOL軟件中，不能仿真無限大導(dǎo)體平板，所以我們只驗(yàn)證有限大小非接地導(dǎo)體平板的情形. 為了更加充分地表明理論計(jì)算結(jié)果的正確性，我們采用不同的模型參數(shù)(不同的Q)分別對(duì)電場(chǎng)分布和電荷進(jìn)行驗(yàn)證，以避免出現(xiàn)“大數(shù)吃小數(shù)”的情況.

1) 驗(yàn)證電場(chǎng)分布

幾何模型：點(diǎn)電荷用半徑為0.01 mm的帶電導(dǎo)體球代替；導(dǎo)體平板的厚度為1 mm，半徑為1 000 mm；點(diǎn)電荷與導(dǎo)體平板的距離為100 mm；模型的外邊界是半徑為10 000 mm的球面.

邊界條件：帶電導(dǎo)體球的表面設(shè)置為懸浮電位，電荷量為q=1 C；導(dǎo)體平板的表面設(shè)置為懸浮電位，電荷量為Q=100 C；模型的外邊界接地.

如前所述，對(duì)于有限大小非接地導(dǎo)體平板，只要q和場(chǎng)點(diǎn)與導(dǎo)體平板的距離遠(yuǎn)小于導(dǎo)體平板的半徑，則E1,2和E2,2關(guān)于平板的中心面鏡像對(duì)稱. 因此，有限大小非接地導(dǎo)體平板上、下表面的電場(chǎng)之和為

(45)

圖3(a)表明有限大小非接地導(dǎo)體平板上、下表面的電場(chǎng)之和的仿真與理論結(jié)果完全一致；圖3(b)表明有限大小非接地導(dǎo)體平板下表面的電場(chǎng)分布不均勻，距離平板中心越遠(yuǎn)，電場(chǎng)強(qiáng)度越大，平板中心附近的電場(chǎng)強(qiáng)度小于平均電場(chǎng)強(qiáng)度，由導(dǎo)體表面的邊值關(guān)系可知，這與前述的電荷分布規(guī)律一致.

圖3 有限大小非接地導(dǎo)體平板的電場(chǎng)[(a) 上、下表面的電場(chǎng)之和;(b) 下表面的電場(chǎng). 上表面z=0,y=0；下表面z=-1 mm,y=0]

2) 驗(yàn)證電荷

幾何模型：點(diǎn)電荷用半徑為0.01 mm的帶電導(dǎo)體球代替；導(dǎo)體平板的厚度為1 mm，半徑為1 000 mm；點(diǎn)電荷與導(dǎo)體平板的距離為100 mm；模型的外邊界是半徑為10 000 mm的球面.

邊界條件：帶電導(dǎo)體球的表面設(shè)置為懸浮電位，電荷量為q=1 C；導(dǎo)體平板的表面設(shè)置為懸浮電位，電荷量為Q=1 C；模型的外邊界接地.

在COMSOL多物理場(chǎng)仿真軟件中，對(duì)面電荷密度作面積分，可求得導(dǎo)體平板上、下表面的電荷總量分別為0.019 5 C和0.925 1 C(側(cè)面電荷總量為0.035 4 C).

由式(29)和式(32)可知，導(dǎo)體平板上、下表面電荷總量的理論值分別為0和1 C. 在誤差允許范圍內(nèi)，仿真結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果一致.

電場(chǎng)分布和電荷的COMSOL仿真結(jié)果都表明前述分析和結(jié)果正確.

4 結(jié)論

利用靜電場(chǎng)邊值問題的唯一性定理，嚴(yán)格分析了無限大非接地導(dǎo)體平板的靜電感應(yīng)問題.無限大導(dǎo)體平板不接地時(shí)的電場(chǎng)可以分為兩部分，一部分是導(dǎo)體平板接地時(shí)的電場(chǎng)，另一部分是將點(diǎn)電荷轉(zhuǎn)移到導(dǎo)體平板時(shí)的電場(chǎng)；同樣，無限大導(dǎo)體平板不接地時(shí)的電荷分布也可以分為兩部分，一部分是導(dǎo)體平板接地時(shí)的電荷分布，另一部分是將點(diǎn)電荷轉(zhuǎn)移到導(dǎo)體平板時(shí)的電荷分布. COMSOL多物理場(chǎng)仿真結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果一致.