蔣煒波

(清華大學附屬中學 北京 100084)

趙 堅

(昆明市五華區(qū)基礎教育發(fā)展研究院 云南 昆明 650031)

1 引言

與導體中的自由電子相關聯(lián)的一些物理問題，在高中物理中很常見，比如圖1所示，固定于水平面的導桿MN和PQ處于豎直向下的勻強磁場B中，金屬直導線ab在安培力的作用下向右運動.在這一情景中，導體中的自由電子會受到磁場、電場、金屬離子(晶格)等施加的各種作用力，這類問題往往涉及到宏觀和微觀之間的聯(lián)系，因此一直是學生學習理解和教師教學過程中的一大難點.但受限于中學階段的學習和教學要求，教材并未對這些作用力進行系統(tǒng)的分析闡述，同時從物理課程的新要求看，《普通高中物理課程標準(2017年版)》明確提出將“物理觀念、科學思維、科學探究、科學態(tài)度與責任”4個方面作為物理學科的核心素養(yǎng)要求.鑒于此，有必要對金屬導體中與自由電子相關聯(lián)的一些中學教學范疇內的問題，做出梳理探討，并提出相應的教學建議，供大家教學中參考.

圖1 通電導體在磁場中受力

2 自由電子

什么是金屬導體中的自由電子呢？按照經典原子核式結構理論和能級理論，原子核周圍存在著繞核運行的電子，這些電子分別位于不同的能級上，所處能級越高，電子越容易脫離原子核的束縛，但脫離的過程仍然需要克服原子核的束縛作用做功.對單個金屬原子而言，電子都處于束縛狀態(tài)，沒有自由電子的概念，但是對于由金屬原子構成的宏觀導體而言，情況則有所不同.

2.1 金屬鍵

在金屬導體中，大量的原子規(guī)則地排列在一起，對于單個原子，其能帶和能級精細結構如圖2所示，電子只能處于某一個能帶的某一精細能級上.那么金屬導體就相當于將這些能帶勢阱有規(guī)則地排列在一起，因此必然帶來能級的重疊，此時原子之間“共用”了較高的能級，而原本在這些能級上的電子便可以在這些金屬原子之間自由移動，如圖3所示，這些電子屬于整個金屬導體所共有.相比于分子內共用電子對的化學鍵而言，金屬導體中的共用電子數(shù)量異常龐大，它們最終將金屬導體中的所有金屬原子聯(lián)系在一起，形成了類似于化學鍵的龐大的金屬鍵網(wǎng)絡，所以金屬導體整體上就相當于一個超級龐大的分子.

圖2 原子能級

圖3 金屬鍵網(wǎng)絡示意圖

2.2 自由電子導電

原子之間共用能級形成金屬鍵網(wǎng)絡以后，原本處在這些被共用的能級上的電子，就可以在不同的原子之間轉移，這樣的電子就是自由電子.可見，自由電子并不是真的自由，它只是能夠在原子共用的能級軌道上移動，整體上看仍然受到原子的束縛作用，只不過由于可以在整個導體內部移動，因此自由電子能夠很好地參與導電.

一般而言，金屬導體中自由電子的數(shù)量越多，導電能力越強，但是通常情況下，金屬原子只能共用外層高能級形成金屬鍵，因而導電能力有限.如果能夠進一步重疊原子的能級，讓更多的次外層能級也在原子之間共用，那么就能夠形成更多的金屬鍵網(wǎng)絡，讓更多的電子參與導電，從而提高金屬的導電性能.

2.3 自由電子的運動

如果導體外界沒有任何電磁場或者其他原因(比如溫度不均勻、電子數(shù)密度差等)的干擾，那么這些自由電子將在導體中無規(guī)則地運動，自由電子之間，以及自由電子與金屬晶體的晶格之間，都在不停的碰撞，因此自由電子的運動特征與理想氣體分子的運動類似，故稱為自由電子氣體[1].自由電子無規(guī)則運動的速度非常快，其數(shù)量級在105m/s，但是由于不是定向移動，因此無法直接形成電流.

2.4 教學建議

目前的中學物理教學中，對于自由電子的闡述很少，新版高中物理教材在必修3中雖然闡述了金屬導體中自由電子定向移動形成電流的微觀情景，并給出了電子定向移動的數(shù)量級[2]，但是仍然沒有簡明扼要地解釋什么是自由電子.

在高中階段的原子物理部分，還將涉及到光電效應、康普頓散射等與電子相關的內容，學生經常困惑于一些問題，比如光電效應中逸出的電子來源于什么地方呢？是金屬中的自由電子還是更低能級的束縛電子？康普頓散射針對的是金屬導體中的自由電子嗎？想要幫助學生明確解答這些疑惑，教學過程中就需要教師一是做到心中有數(shù)，二是結合教學實際，適當幫助學生形成物理觀念和科學思維，初步建構起金屬中的電子運動模型，讓學生對導體中的自由電子、非自由電子和逸出導體外的真正自由電子能夠有所區(qū)分.

3 電流的形成

如果在導體兩端施加電壓，導體中就會建立起電場，自由電子在電場力的作用下，將會在無規(guī)則運動的同時(可以證明，從宏觀總體來看，自由電子的熱運動對電流的貢獻幾乎沒有)，向著電場的反方向定向移動，從而形成電流.

3.1 自由電子所受電場力

另一方面，導體中的自由電子數(shù)量很多，因此所有自由電子所受電場力的總和也非常大.仍以上述銅導線為例，其單位體積的自由電子數(shù)n=8.4×1028個/m3，故而自由電子的總數(shù)N=nSL=8.4×1021個，于是可計算出自由電子所受電場力之和達到了驚人的F=nSLEe=UnSe=1.34×104N.

對于這一電場力的計算公式，還可以從做功的角度進行分析.比如電流做功產生熱量，本質上是電場力推動自由電荷定向移動做功，再由自由電荷與晶格碰撞增加原子不規(guī)則運動的劇烈程度，從而讓導體的溫度升高，內能增大.我們知道電流做功表達式為W=UIt，而在t時間內，自由電子定向移動距離s=vt，于是利用電流微觀表達式I=neSv，能夠得到所有自由電子所受電場力為

可見，自由電子所受的如此大的電場力，與宏觀上電流做功是相吻合的.

3.2 晶格所受電場力

與自由電子相對應，金屬晶體的晶格帶正電，帶電總量與自由電子帶電總量相同.既然自由電子受到了很大的電場力，那么帶正電的晶格也不能例外.比如在上述銅導線例子中，顯然晶格受到的電場力也應該是F=1.34×104N.但是如此大的電場力作用在晶格上，我們?yōu)槭裁纯床坏浇饘巽~導線沿著電場方向直接移動呢？而且現(xiàn)實中也并不需要對金屬銅導線施加一個很大的力以抵消其所受的電場力，從而維持導線的靜止狀態(tài)，這又是為什么呢？

究其原因，乃是自由電子與晶格之間的碰撞所致.不考慮金屬銅導線受到的其他外界作用力，在上述電場作用下，金屬銅導線整體上動量守恒，如果自由電子與晶格之間不發(fā)生碰撞，那么自由電子的運動速度將會非常大，而金屬銅導線也會由于晶格所受的巨大的電場力作用難以保持靜止.正是由于金屬銅導線內部電子和晶格的不斷碰撞，使得自由電子定向移動的速度很小，僅僅為10-5m/s數(shù)量級，而金屬銅導線的晶格質量遠遠大于自由電子的質量，利用動量守恒不難算出金屬銅導線的定向移動速度僅僅為10-12m/s數(shù)量級，因此在宏觀上完全可以忽略不計.

所以在處理相關這類問題的時候，我們可以近似認為自由電子與晶格之間的平均碰撞內力作用與自由電子所受電場力一樣大，這樣晶格所受電場力和碰撞作用力相平衡，因此現(xiàn)實中不需要再給金屬導體施加一個力來維持其靜止狀態(tài).

3.3 電流的大小

自由電子在電場力作用下定向移動時，由于伴隨著電子的無規(guī)則熱運動，因此碰撞將非常頻繁.金屬銅原子的直徑數(shù)量級為10-10m，自由電子無規(guī)則運動時兩次碰撞的距離間隔必然小于銅原子的直徑，近似數(shù)量級取為10-11m，自由電子熱運動的速度數(shù)量級為105m/s，由此可計算出自由電子兩次碰撞之間的時間間隔數(shù)量級為10-16s，再借助上述分析過程求出的自由電子在電場力作用下的加速度數(shù)量級1012m/s2，不難得到在這段碰撞時間內，自由電子依靠電場力加速得到的定向移動的平均速度數(shù)量級僅為10-5m/s.

如果取碰撞時間間隔為T，電子加速度為a，導線長度為L，導線橫截面積為S，導線兩端電壓為U，電子質量為m，電子電荷量為e，單位體積自由電子數(shù)為n.于是得到電子運動的加速度為

電子定向移動的平均速度為

由電流I=neSv可得電流表達式為

這正是部分電路歐姆定律表達式.對于更一般的情形，可以將電阻R表示為

可見，這便是電阻定律表達式.

3.4 教學建議

在物理學習中，學生會對電流做功和力學中力做功產生困惑，其實二者從本質上看并沒有什么不同，教學中可以從微觀角度幫助學生建構電場力推動電荷做功的情境，從而將力學和電學中的做功銜接貫通，真正將功和能的物理觀念建立起來.

與此同時，通常的教學中只會考慮自由電子在電場中受力運動，很少會去思考帶正電的晶格所受的電場力，通常即使知道自由電子會與晶格反復碰撞，也不會過多去思考晶格被碰撞后會如何運動的問題.這都是因為教學中對電流的微觀過程涉及過少，沒有能夠真正建立起歐姆定律的微觀情境所導致的.

所以，教學中適當引導學生將宏觀和微觀聯(lián)系起來建構模型，從而有機地將歐姆定律、電阻定律、電場力、加速、碰撞等元素進行整合，這對學生科學思維的培養(yǎng)將是非常有益的.

4 安培力的產生機制

運動的電荷在磁場中受到洛倫茲力的作用，而導體中的電流是由自由電荷定向移動形成的，可是電流在磁場中受到的卻是安培力，安培力與洛倫茲力有什么關系呢？教學中部分教師通常解釋為“安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，每一個定向移動的自由電荷所受到的洛倫茲力的總和就是安培力”，但這種解釋比較宏觀和含糊，也容易產生疑議.比如當通電金屬導體在磁場中運動的時候，自由電子還會受到沿導體方向的洛倫茲力，顯然這時候自由電子所受洛倫茲力的總和并不是安培力.再者，金屬導體由自由電子和晶格組成，討論安培力的時候，只分析質量微乎其微的定向移動的電子，而不分析質量占絕大部分的晶格，這顯然也是不合適的.鑒于此，我們有必要從微觀角度對安培力的產生機制作出分析說明.

4.1 通電導體在磁場中運動時出現(xiàn)的霍爾場

如圖4所示，通電導體ab靜止在垂直于紙面向里的勻強磁場之中，ab的橫截面積為S，磁場中的長度為L，單位體積自由電荷數(shù)為n，此時內部定向移動的自由電子受到的洛倫茲力向右，于是導體的右表面聚集負電荷，左表面聚集起相對應的正電荷，從而建立起向右的電場(霍爾場)，向右的電場會對定向移動的電子施加向左的電場力.電子會不斷地在洛倫茲力的作用下向右聚集，從而不斷地增強內部的電場強度，直到導體內部自由電子所受的洛倫茲力和電場力相平衡為止，此現(xiàn)象稱為霍爾效應.此后，自由電子不再向右聚集，而是一直沿導體向上定向運動.

圖4 通電導體內的霍爾效應

可見，由于霍爾效應的出現(xiàn)，導體被分成了4部分：右側表面聚集的自由電子、左側表面與這部分自由電子相對應的晶格、導體內部的其他自由電子和以之相對應的導體內部的晶格，因此對通電導體在磁場中運動時所受安培力的探討分析，首先需要清楚和明確這4部分的受力以及它們之間所受力的彼此關系.

4.2 安培力的本質

為了分析的方便，不妨先將導體ab分為如圖5所示的兩大部分：第1部分是在導體內部形成霍爾電場后，導體內部定向移動的電子和與之相對應的靜止的晶格，第2部分則是處于導體右側表面聚集的在電源提供的電場力作用下做定向移動的電子和與其相對應的左側表面靜止的晶格.

圖5 導體劃分

對第1部分進行受力分析，如圖6所示，F(xiàn)洛1是外磁場對導體內部做定向移動的電子施加的洛倫茲力，F(xiàn)1是霍爾效應產生的電場對導體內部定向移動電子的電場力，F(xiàn)2是霍爾效應產生的電場對導體內部晶格的電場力.

圖6 第1部分受力

對第2部分進行受力分析，如圖7所示，F(xiàn)洛2是外磁場對聚集在導體右表面在電源提供的電場力作用下做定向移動的電子產生的洛倫茲力.而由于霍爾效應產生的電場對導體內部定向移動的電子存在電場力F1，因此這些定向移動的電子也會對第2部分整體產生一個反作用力，即F3.同時，霍爾效應產生的電場對導體內部的晶格存在電場力F2，因此晶格也會對第2部分產生一個反作用力，即F4.此外，由于導體右表面聚集了電子，金屬導體還會對這些電子有額外的束縛作用(否則電子會逸出導線)，因此第2部分還會受到一個束縛作用力F5.

圖7 第二部分整體受力

另外，在圖4中，作為金屬導體中的自由電子來說，在通電導體向右運動起來后，也將會隨通電導體參與其運動，因此自由電子也必然會受到外磁場對它施加的洛倫茲力作用，但由于此時這些電子所受的洛倫茲力并不垂直于導線，而是沿著導線從a指向b，其作用是阻礙電子在電場力作用下從b到a的定向移動(即電磁感應產生反電動勢)，故而對宏觀的安培力沒有貢獻，不用考慮.

所以，為了避免通電導體運動起來后，其所受到的安培力與它內部的自由電子受到的洛倫茲力在認識上帶來的誤區(qū)，我們不妨可以將“通電導體中定向移動的自由電荷(包括內部和表面)所受洛倫茲力沿垂直于導體方向的分力的總貢獻”稱為安培力.

那么作用在定向移動的自由電子上的安培力，又是如何讓導體整體受力運動的呢？這就要分析金屬導體中帶正電的晶格的受力了.

4.3 晶格的受力

目前對于晶格受力，有兩種主要的解釋.第一種是在導體內部定向移動的自由電子會受到外部磁場施加的洛倫茲力，如圖4所示，自由電子會向右側表面運動聚集，在運動聚集過程中將與晶格發(fā)生連續(xù)碰撞，從而對晶格產生作用力[1]，因而宏觀上看起來是金屬導體本身受到這個力.這一“碰撞傳遞沖量”觀點一直是學術界的主流觀點.第二種則認為由于定向移動的自由電子向右側表面聚集后，會建立起霍爾電場，霍爾電場對內部自由電子有作用力，自然也會對晶格產生作用力[3].

這兩種觀點在晶格的處理上是一致的，即認可安培力是洛倫茲力的一種宏觀體現(xiàn)，自由電子需要通過對晶格施加作用力從而帶動金屬導體受力運動，這里進一步從微觀角度進行闡述.如圖5所示，霍爾效應產生的電場，對導體內部晶格也有向右的電場力作用，假設電場強度為E，則這一作用力大小為F6=Eq內，而在霍爾電場穩(wěn)定后E=Bv，于是得到導體內部晶格受到的作用力F6=Bvq內.

進一步考慮到該電場對導體左表面正電晶格向右的電場力，由于電場是右表面負電荷和左表面正電荷共同作用形成的，因此左表面正電荷所處位置的電場強度應該為γE，γ<1，于是其受力F7=γEq表.可見，考慮到電場對左表面晶格的電場力作用后，金屬導體所有晶格所受的總電場力大小F電=F6+F7=Bv(q內+γq表) ，與安培力仍然相差(1-γ)Bvq表.

晶格受力所差的這(1-γ)Bvq表，正是金屬導體對右側表面自由電荷的束縛作用力F5的反作用力，如圖8所示，即F′5=F5=(1-γ)Bvq表.不妨再直接對右側表面的自由電子進行分析.

圖8 晶格整體受力

如圖9所示，右表面電子所受向右的洛倫茲力F洛2=Bvq表，而左表面晶格和右表面電子產生的電場，對右表面電子的向左作用力F8=γEq表=γBvq表，小于右表面電子所受向右的洛倫茲力F洛2，因此從右表面的電子受力平衡進行分析，可以得到金屬導體對右表面自由電子的束縛作用力F5=(1-γ)Bvq表，因而右側表面電子對金屬導體存在等大的反作用力F′5，即F′5=(1-γ)Bvq表.

圖9 右側表面電子受力

因此，金屬導體晶格所受的力，既包括霍爾效應產生的電場對所有正電晶格的作用力，又包括右側表面電子所受束縛作用力的反作用力，二者的總和與通電金屬導體中對定向移動的電子所受的垂直導線方向的洛倫茲力大小相等，這便是金屬導體所受的安培力.

4.4 關于導體表面電子的電荷量

在安培力的產生機制中，自由電子在導線表面聚集程度是否會過大導致電子逸出導線呢？

需要說明的是，雖然這一探討使用了無限大帶電平面，這于金屬導體(導線)而言并不太恰當，但對于數(shù)量級的估算是可取的.

4.5 教學建議

礙于中學階段的學習要求，教學中我們不可能如此細致地向學生闡述分析安培力的產生機制，但是作為教師應該要做到心中有數(shù)，對安培力的一些表述應該做到盡可能地科學規(guī)范.比如，將安培力稱為自由電子所受的洛倫茲力的合力并不可取，尤其在導體存在切割磁感線運動的時候，這一點已有不少文章進行了討論[4].教學中我們應該明確，只有沿垂直導體方向的洛倫茲力產生的總的貢獻所表現(xiàn)出的宏觀效果，才能稱為安培力.安培力是由于導體表面和內部的自由電子通過對晶格產生作用力，從而讓導體整體上表現(xiàn)為受到安培力的作用.另外，從能量角度來看，洛倫茲力的作用并不提供能量，而只是傳遞能量，它把來自電源的維持電流恒定的能量轉化為載流導體的動能.

5 結束語

宏觀和微觀之間的聯(lián)系，原本就是高中物理教學中培養(yǎng)學生物理觀念和科學思維的絕佳切入點，而對導體中自由電子受力的辨析，則是更進一步，將力學和電磁學融合在了一起，對學生提出了形成更加龐大的物理觀念、建構更加深刻的邏輯體系的要求，學生在這一學習過程中，不斷厘清自由電子、電流、安培力、洛倫茲力等物理概念的本質以及相互間的關系，完成物理核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

教師教學中還需要注意結合學生實際的認知水平和學習能力進行調整，在不失認知科學性的前提下，可以結合問題解決模式、項目學習模式、單元整體教學設計等教學手段，引導學生完成自由電子及其受力的相關問題的梳理，尤其是在復習課階段更應如此，以此促使學生物理概念規(guī)律體系的建構與形成.