管佩磊

(深圳市南山區(qū)教育科學(xué)研究院 廣東 深圳 518052)

丁 龍

(深圳市育才中學(xué) 廣東 深圳 518067)

中國高考評價體系中，明確新高考以情境為載體考查學(xué)生能力.物理命題情境創(chuàng)設(shè)、學(xué)生情境分析模型遷移能力都是我們一線教學(xué)要研究的.圓在中學(xué)物理涉及的比較多，巧妙地應(yīng)用圓，有利于把抽象的過程直觀化，便于動態(tài)過程分析.應(yīng)用“矢量圓”解題可使問題變得十分簡單.

1 矢量圓及其本質(zhì)特征

矢量圓是研究對象有3個物理矢量，其中一個變化的矢量端始終落在一個圓周上，作出這個圓，便是“矢量圓”.矢量圓的典型特征是3個矢量構(gòu)成一個三角形，第一個矢量始終不變，第二個矢量大小不變、方向變化，第三個矢量大小、方向都變，且第二個和第三個矢量相互制約.

2 矢量圓在不同物理情境中的應(yīng)用

2.1 力矢量變化情境

情境示例1：如圖1所示，質(zhì)量為m的小球，用一細(xì)繩懸掛于O點，現(xiàn)作用于小球一個大小恒定、方向變化的外力F(F

圖1 力矢量情境示例題圖

分析：三力動態(tài)平衡，小球重力大小方向都不變，外力F大小不變、方向變化，細(xì)繩對小球的拉力大小、方向都變化，屬于矢量圓的模型.因此，如圖2所示，圖解思路如下.畫出力的圖示，OO′表示重力，箭頭代表方向，然后根據(jù)三力平衡的“矢量三角形”特點，以O(shè)′為圓心，以外力F大小不變的線段為半徑畫圓，則圓周上的部分點就是這個矢量三角形的一個端點，O到圓周上的點的有向線段就是細(xì)繩的拉力.從圖2可以看出細(xì)繩拉力與圓周相切時，細(xì)繩拉力與豎直夾角最大，可求.

圖2 力矢量情境分析圖

拓展1：如圖3所示，豎直平面內(nèi)的圓盤上固定著一個質(zhì)量為m的小球(可視作質(zhì)點)，小球與圓盤的圓心O距離為r.現(xiàn)使圓盤繞圓心的軸以ω的角速度勻速轉(zhuǎn)動，求圓盤對小球的作用力與豎直方向夾角的最大值.

圖3 力矢量拓展題圖

分析：小球受重力和圓盤對小球的作用力，重力是恒力，圓盤對小球的作用力是大小和方向都變化的力，由于做勻速圓周運(yùn)動，所以小球所受合力始終指向圓心，且大小恒為mω2r.如圖4解法思路，畫矢量圓.當(dāng)F2與圓相切時，圓盤對小球作用力方向與豎直方向夾角最大，可解.

圖4 力矢量拓展題分析圖

2.2 速度矢量變化情境

情境示例2：如圖5所示，小船過河問題，水速為v水，船在靜水中的航速為v船，河岸的寬度一定，當(dāng)v水>v船時，求小船過河的最短航線問題.

圖5 速度矢量情境示例題圖

分析：水速大小、方向不變，船速大小不變、方向變化，合速度方向和大小因船速的方向變化而變化.因此如圖6解思路如下，先畫出表示水速v水的有向線段OO′，然后以水速箭頭O′端為圓心，以船速v船的大小為半徑畫圓，則O到圓周上部分點的有向線段為合速度，也就是小船過河的航線方向.可以看出，當(dāng)連線與水速夾角最大時，航線最短.

圖6 速度矢量情境分析圖

拓展2：如圖7所示，在光滑水平面上的一小球以速度v1做勻速直線運(yùn)動，在同一水平面小球運(yùn)動路線的一側(cè)B點有個球洞.當(dāng)球運(yùn)動到A點時，給球一個最小速度v2使它能夠進(jìn)洞，求此最小速度v2的大小和方向.

圖7 速度矢量拓展題圖

分析：要使小球能夠進(jìn)洞，則需要小球能夠沿著AB方向有合速度，由于小球現(xiàn)有速度v1確定.所以如圖8根據(jù)矢量圓圖解，以v1末端為圓心畫圓，有的圓與AB相交，有的圓與AB相切，也有沒有交點的.當(dāng)與合速度方向(即AB方向)相切時，此時圓的半徑所在的有向線段即為v2的最小速度，速度方向與AB垂直.

圖8 速度矢量拓展題分析圖

2.3 位移矢量變化情境

情境示例3：如圖9所示，假設(shè)地球與金星都繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(天體均可看作質(zhì)點)，日地距離為r1，金星與太陽距離為r2，在天體運(yùn)行過程中，金星與地球連線與日地連線的最大張角是多少？

圖9 位移矢量情境示例題圖

分析：在這個模型情境中，分析張角變化時，由于金星周期小，可以將日地連線的位移r1看作不變，金星與太陽連線位移r2大小不變、方向變化，地球與金星的連線位移L大小、方向都在變化.因此如圖9解題思路為，先畫出地球與太陽連線位移，以太陽為圓心，以金星繞日連線位移r2為半徑畫圓，地球到金星運(yùn)動圓周上的部分點的有向線段為地球到金星的位移L，可以看出，當(dāng)L與圓周相切時，張角最大.

拓展3(2020年高考全國卷Ⅰ第18題)：如圖10所示，一勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所示，ab為半圓，ac和bd與直徑ab共線，a，c間距等于半圓半徑，一束質(zhì)量為m，電荷量為q的粒子，在紙面內(nèi)從c點垂直于ac射入磁場，這些粒子具有各種速率，不計粒子之間相互作用.求在磁場中粒子運(yùn)動的最長時間.

圖10 位移矢量拓展題圖

分析：顯然粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的軌跡對應(yīng)的圓心角越大，則α越大，粒子運(yùn)動時間越長.雖然三段位移沒有恒定的一段，但是粒子在磁場中運(yùn)動軌跡的圓心始終在cd這條直線上，依然可以用矢量圓，如圖11所示，要使α越大，則θ應(yīng)該越大(由幾何關(guān)系可知α=2θ).所以當(dāng)過c點位移與磁場邊界圓周相切時，θ最大，α也最大，可得時間最長.

圖11 位移矢量拓展題分析圖

綜上所述，物理學(xué)科核心素養(yǎng)的考查依托情境為載體，物理試題的情境創(chuàng)設(shè)則是依據(jù)物理規(guī)律、物理模型的本質(zhì)特征不斷變化.我們要能夠?qū)⒐潭ǖ膬?nèi)容靈活地轉(zhuǎn)化為不同情境，也能夠?qū)⒉煌那榫橙谌氲绞煜さ哪Ｐ椭?