鄭 金
(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)
科里奧利加速度和科里奧利力是理論力學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn),有關(guān)科氏加速度和科氏力的疑難問題較多,本文將選擇其難度較大而且比較有趣的3個(gè)方面進(jìn)行答疑解惑,通過具體問題進(jìn)行分析說明.
在圖1中,動(dòng)點(diǎn)沿直桿AB運(yùn)動(dòng),而桿又繞A軸勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)直桿勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω,動(dòng)系固結(jié)在桿AB上.在瞬時(shí)t,動(dòng)點(diǎn)在M處,它的相對(duì)速度和牽連速度分別為vr和ve.經(jīng)過時(shí)間間隔Δt后,桿轉(zhuǎn)到位置AB′,動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)到M3,這時(shí)它的相對(duì)速度為v′r,牽連速度為v′e.設(shè)動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)加速度和牽連加速度分別為ar和ae.試證明下面兩個(gè)等式[1]:
圖1 動(dòng)系做圓周運(yùn)動(dòng)
可利用加速度定義、極限知識(shí)以及矢量的叉積知識(shí)來證明.
首先證明第一個(gè)等式.由圖1可知,若不考慮相對(duì)速度方向變化,則質(zhì)點(diǎn)沿桿方向的相對(duì)加速度為
在圖2中,相對(duì)速度大小滿足vr2=v′r,將相對(duì)速度矢量vr2與v′r進(jìn)行平移,始端重合于O點(diǎn),如圖2所示,可知相對(duì)速度矢量三角形為等腰三角形,其中底邊的長(zhǎng)度Δvr表示相對(duì)速度變化量的大小.
圖2 相對(duì)速度矢量三角形
在很短時(shí)間內(nèi),等腰三角形可視為由勻速圓周運(yùn)動(dòng)形成的扇形,底邊長(zhǎng)度近似等于圓弧長(zhǎng)度,而當(dāng)Δt→0時(shí),有vr2→vr,可知因方向變化而產(chǎn)生的相對(duì)速度變化量的大小為Δvr≈vr2Δφ≈vrωΔt.
由此可得相對(duì)速度變化率的大小為
在很短時(shí)間內(nèi),圓心角Δφ很小,由圖2可知相對(duì)速度變化量的方向幾乎垂直于相對(duì)速度的方向,即垂直于約束軌道.由于矢量ω與vr垂直,利用右手螺旋定則可知叉積ω×vr的方向也垂直于約束軌道,即與相對(duì)速度變化量的方向一致,由此可知,因相對(duì)速度方向變化而產(chǎn)生的加速度的矢量式為
由圖1可知,相對(duì)速度矢量的總變化率為
考慮到數(shù)學(xué)公式[2]
lim[f(x)+g(x)]=limf(x)+limg(x)
可得
即
這表明,相對(duì)速度矢量的變化率等于相對(duì)加速度與科氏加速度一半的矢量和.
下面證明第二個(gè)等式.牽連速度矢量的總變化率為
所以
這表明,牽連速度矢量的變化率等于牽連加速度與科氏加速度一半的矢量和.
由于絕對(duì)速度等于相對(duì)速度與牽連速度的矢量和,即v=vr+ve,可知
即
a=ar+ae+2ω×vr
這表明,絕對(duì)加速度等于相對(duì)加速度、牽連加速度與科氏加速度的矢量和[3].
所以科氏加速度公式的矢量式為aC=2ω×vr.
相對(duì)運(yùn)動(dòng)(質(zhì)點(diǎn)沿桿運(yùn)動(dòng))改變了牽連速度ωr的大小,產(chǎn)生了橫向加速度ωvr;同時(shí),牽連運(yùn)動(dòng)(直桿轉(zhuǎn)動(dòng))改變了相對(duì)速度vr的方向,由此產(chǎn)生橫向加速度ωvr,二者之和為科氏加速度2ωvr.
如圖3所示,有一水平圓盤以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng),圓盤表面光滑,一質(zhì)點(diǎn)在沿半徑方向相對(duì)于地面以速度v做勻速離心運(yùn)動(dòng),若開始位置到圓心的距離為r0,求質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于圓盤運(yùn)動(dòng)的科氏加速度隨時(shí)間變化的關(guān)系式.
圖3 質(zhì)點(diǎn)在水平轉(zhuǎn)盤上運(yùn)動(dòng)
在地面參考系中,質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng).在圓盤參考系中,質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng),由此可知,在非慣性系中,質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生了加速度,而且受到慣性力的作用.
對(duì)于沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤,若假設(shè)圓盤靜止不動(dòng),則質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于圓盤向逆時(shí)針方向偏轉(zhuǎn),如圖4所示.質(zhì)點(diǎn)在沿半徑方向做勻速直線運(yùn)動(dòng),速度為v∥=v,在垂直于半徑方向的速度為v⊥=ω(r0+vt),相對(duì)于圓盤的合速度為
圖4 質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于轉(zhuǎn)盤偏轉(zhuǎn)
可知在垂直于相對(duì)速度方向的科氏加速度為
值得注意的是,在垂直于半徑方向的科氏加速度aC⊥=2ωv∥=2ωv只是一個(gè)分量,但在一般情況下所說的科氏力和科氏加速度,都是針對(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的合速度而言.在無約束的情況下,在非慣性系中的科氏加速度與科氏力的方向相同,由圖3和圖4已知圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度、相對(duì)速度以及科氏加速度三者的方向,為了遵循右手螺旋定則,科氏加速度公式的矢量式需帶負(fù)號(hào),即為aC=-2ω×vr.其中的負(fù)號(hào)只用來表示方向相反.
在實(shí)際問題中,勻速轉(zhuǎn)動(dòng)物體不一定是直桿或圓盤,相對(duì)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的初速度不一定沿半徑方向,相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度不一定保持不變,但科氏加速度公式和科氏力公式普遍適用.
【例題】[3]如圖5所示,一個(gè)用金屬絲做成的半徑為R的光滑圓圈,繞豎直直徑按逆時(shí)針方向(俯視)以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng),圓圈上套著一個(gè)質(zhì)量為m的小環(huán),剛開始小環(huán)從圓圈的最高點(diǎn)無初速下滑,試求當(dāng)小環(huán)與圓心的連線跟豎直方向的直徑夾角為θ時(shí),小環(huán)的科氏加速度的大小和方向.
圖5 例題情境圖
對(duì)各項(xiàng)取積分可得
所以小環(huán)在地面參考系中的科氏加速度的大小為
應(yīng)用右手螺旋定則可知科氏加速度的方向垂直于圈面向里.
還有一種非常簡(jiǎn)單的解法:以圓圈為參考系,利用離心勢(shì)能公式[4],由機(jī)械能守恒定律列方程
解題關(guān)鍵是求解相對(duì)速度,由于小環(huán)在圓圈的切線方向不受圓圈的彈力,因此可在切線方向應(yīng)用牛頓第二定律列方程;由于小環(huán)在水平方向受到圓圈的側(cè)向彈力對(duì)其做功,因此不能在慣性系中應(yīng)用機(jī)械能守恒定律列方程.而科氏加速度正是由側(cè)向彈力產(chǎn)生,這個(gè)彈力屬于非保守力,即是水平方向的約束反力,因此與科氏力大小相等,方向相反.求出科氏加速度的意義在于可用來求側(cè)向彈力.
總之,在圓周運(yùn)動(dòng)與相對(duì)運(yùn)動(dòng)相互影響的情況下,質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng),由此產(chǎn)生科氏加速度.在慣性系中產(chǎn)生科氏加速度的力是約束反力,在非慣性系中產(chǎn)生科氏加速度的力是科氏力.科氏力只存在于非慣性系中,并且與洛倫茲力有相似之處.在對(duì)叉積中的角速度與相對(duì)速度確定先后次序的條件下,對(duì)于有無約束的兩種情況,科氏加速度共有兩個(gè)公式,即分別帶正負(fù)號(hào),而科氏力只有一個(gè)公式,帶負(fù)號(hào).