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        有關(guān)科氏加速度的疑難問題探究

        2021-11-06 03:59:50
        物理通報 2021年11期
        關(guān)鍵詞:科氏質(zhì)點圓盤

        鄭 金

        (凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

        科里奧利加速度和科里奧利力是理論力學(xué)教學(xué)中的重點和難點,有關(guān)科氏加速度和科氏力的疑難問題較多,本文將選擇其難度較大而且比較有趣的3個方面進行答疑解惑,通過具體問題進行分析說明.

        1 推導(dǎo)科氏加速度公式的矢量式

        在圖1中,動點沿直桿AB運動,而桿又繞A軸勻速運動.設(shè)直桿勻速轉(zhuǎn)動的角速度為ω,動系固結(jié)在桿AB上.在瞬時t,動點在M處,它的相對速度和牽連速度分別為vr和ve.經(jīng)過時間間隔Δt后,桿轉(zhuǎn)到位置AB′,動點移動到M3,這時它的相對速度為v′r,牽連速度為v′e.設(shè)動點的相對加速度和牽連加速度分別為ar和ae.試證明下面兩個等式[1]:

        圖1 動系做圓周運動

        可利用加速度定義、極限知識以及矢量的叉積知識來證明.

        首先證明第一個等式.由圖1可知,若不考慮相對速度方向變化,則質(zhì)點沿桿方向的相對加速度為

        在圖2中,相對速度大小滿足vr2=v′r,將相對速度矢量vr2與v′r進行平移,始端重合于O點,如圖2所示,可知相對速度矢量三角形為等腰三角形,其中底邊的長度Δvr表示相對速度變化量的大小.

        圖2 相對速度矢量三角形

        在很短時間內(nèi),等腰三角形可視為由勻速圓周運動形成的扇形,底邊長度近似等于圓弧長度,而當Δt→0時,有vr2→vr,可知因方向變化而產(chǎn)生的相對速度變化量的大小為Δvr≈vr2Δφ≈vrωΔt.

        由此可得相對速度變化率的大小為

        在很短時間內(nèi),圓心角Δφ很小,由圖2可知相對速度變化量的方向幾乎垂直于相對速度的方向,即垂直于約束軌道.由于矢量ω與vr垂直,利用右手螺旋定則可知叉積ω×vr的方向也垂直于約束軌道,即與相對速度變化量的方向一致,由此可知,因相對速度方向變化而產(chǎn)生的加速度的矢量式為

        由圖1可知,相對速度矢量的總變化率為

        考慮到數(shù)學(xué)公式[2]

        lim[f(x)+g(x)]=limf(x)+limg(x)

        可得

        這表明,相對速度矢量的變化率等于相對加速度與科氏加速度一半的矢量和.

        下面證明第二個等式.牽連速度矢量的總變化率為

        所以

        這表明,牽連速度矢量的變化率等于牽連加速度與科氏加速度一半的矢量和.

        由于絕對速度等于相對速度與牽連速度的矢量和,即v=vr+ve,可知

        a=ar+ae+2ω×vr

        這表明,絕對加速度等于相對加速度、牽連加速度與科氏加速度的矢量和[3].

        所以科氏加速度公式的矢量式為aC=2ω×vr.

        相對運動(質(zhì)點沿桿運動)改變了牽連速度ωr的大小,產(chǎn)生了橫向加速度ωvr;同時,牽連運動(直桿轉(zhuǎn)動)改變了相對速度vr的方向,由此產(chǎn)生橫向加速度ωvr,二者之和為科氏加速度2ωvr.

        2 在無剛性約束情況下的科氏加速度公式

        如圖3所示,有一水平圓盤以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動,圓盤表面光滑,一質(zhì)點在沿半徑方向相對于地面以速度v做勻速離心運動,若開始位置到圓心的距離為r0,求質(zhì)點相對于圓盤運動的科氏加速度隨時間變化的關(guān)系式.

        圖3 質(zhì)點在水平轉(zhuǎn)盤上運動

        在地面參考系中,質(zhì)點做勻速直線運動.在圓盤參考系中,質(zhì)點做曲線運動,由此可知,在非慣性系中,質(zhì)點產(chǎn)生了加速度,而且受到慣性力的作用.

        對于沿順時針方向轉(zhuǎn)動的圓盤,若假設(shè)圓盤靜止不動,則質(zhì)點相對于圓盤向逆時針方向偏轉(zhuǎn),如圖4所示.質(zhì)點在沿半徑方向做勻速直線運動,速度為v∥=v,在垂直于半徑方向的速度為v⊥=ω(r0+vt),相對于圓盤的合速度為

        圖4 質(zhì)點相對于轉(zhuǎn)盤偏轉(zhuǎn)

        可知在垂直于相對速度方向的科氏加速度為

        值得注意的是,在垂直于半徑方向的科氏加速度aC⊥=2ωv∥=2ωv只是一個分量,但在一般情況下所說的科氏力和科氏加速度,都是針對相對運動的合速度而言.在無約束的情況下,在非慣性系中的科氏加速度與科氏力的方向相同,由圖3和圖4已知圓盤轉(zhuǎn)動的角速度、相對速度以及科氏加速度三者的方向,為了遵循右手螺旋定則,科氏加速度公式的矢量式需帶負號,即為aC=-2ω×vr.其中的負號只用來表示方向相反.

        在實際問題中,勻速轉(zhuǎn)動物體不一定是直桿或圓盤,相對運動質(zhì)點的初速度不一定沿半徑方向,相對運動速度不一定保持不變,但科氏加速度公式和科氏力公式普遍適用.

        3 利用科氏加速度公式解答實際問題

        【例題】[3]如圖5所示,一個用金屬絲做成的半徑為R的光滑圓圈,繞豎直直徑按逆時針方向(俯視)以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動,圓圈上套著一個質(zhì)量為m的小環(huán),剛開始小環(huán)從圓圈的最高點無初速下滑,試求當小環(huán)與圓心的連線跟豎直方向的直徑夾角為θ時,小環(huán)的科氏加速度的大小和方向.

        圖5 例題情境圖

        對各項取積分可得

        所以小環(huán)在地面參考系中的科氏加速度的大小為

        應(yīng)用右手螺旋定則可知科氏加速度的方向垂直于圈面向里.

        還有一種非常簡單的解法:以圓圈為參考系,利用離心勢能公式[4],由機械能守恒定律列方程

        解題關(guān)鍵是求解相對速度,由于小環(huán)在圓圈的切線方向不受圓圈的彈力,因此可在切線方向應(yīng)用牛頓第二定律列方程;由于小環(huán)在水平方向受到圓圈的側(cè)向彈力對其做功,因此不能在慣性系中應(yīng)用機械能守恒定律列方程.而科氏加速度正是由側(cè)向彈力產(chǎn)生,這個彈力屬于非保守力,即是水平方向的約束反力,因此與科氏力大小相等,方向相反.求出科氏加速度的意義在于可用來求側(cè)向彈力.

        總之,在圓周運動與相對運動相互影響的情況下,質(zhì)點做曲線運動,由此產(chǎn)生科氏加速度.在慣性系中產(chǎn)生科氏加速度的力是約束反力,在非慣性系中產(chǎn)生科氏加速度的力是科氏力.科氏力只存在于非慣性系中,并且與洛倫茲力有相似之處.在對叉積中的角速度與相對速度確定先后次序的條件下,對于有無約束的兩種情況,科氏加速度共有兩個公式,即分別帶正負號,而科氏力只有一個公式,帶負號.

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