馮 倩， 張 睿

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 甘肅 蘭州 730070)

0 引言

十九世紀(jì)二十年代，美國生態(tài)學(xué)家Lotka[1]和意大利數(shù)學(xué)家Volterra[2]提出了捕食者-食餌模型(Lotka-Volterra模型)，其形式為：

(1)

其中，x(t)和y(t)表示食餌和捕食者的種群密度，a表示食餌的內(nèi)稟增長(zhǎng)率，b表示捕食者掠食食餌的能力，c表示食餌對(duì)捕食者的供養(yǎng)能力，k表示捕食者的死亡率.

此后，國內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)系統(tǒng)(1)進(jìn)行改進(jìn)并作出了更加廣泛的研究，其中收獲率是影響種群系統(tǒng)的一個(gè)重要因素，學(xué)者們不但要考慮如何使生物資源盡可能大的滿足人類生活需求，還要考慮怎么讓生物種群保持可持續(xù)發(fā)展.因此，對(duì)具有收獲率的捕食系統(tǒng)的研究是極其重要的.1981年Brauer等[3]研究了一類帶有常數(shù)收獲率的捕食者-食餌模型，討論了平衡點(diǎn)和極限環(huán)的存在性.1986年，梁肇軍[4]討論了食餌種群具有常數(shù)收獲率的Volterra模型：

(2)

其中，a10表示食餌的內(nèi)稟增長(zhǎng)率，a12表示捕食者掠食食餌的能力，a21表示食餌對(duì)捕食者的供養(yǎng)能力，a20表示捕食者的死亡率，a11和a22分別表示x和y的種內(nèi)作用系數(shù)，h表示食餌的常數(shù)收獲率.a10，a11，a12，a20，a21，a22均為正常數(shù).文獻(xiàn)[4]討論了系統(tǒng)(2)平衡點(diǎn)的類型、平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和極限環(huán)的存在性.

具有線性收獲率的捕食系統(tǒng)也被學(xué)者們廣泛關(guān)注，并作出進(jìn)一步的研究[5-7].敬石心等[8]討論了具有線性收獲率和擴(kuò)散因素的捕食者-食餌模型：

(3)

其中，b，b1，b2，a21，a12均大于零，E為捕獲努力量，種群x1，x2在同一斑塊Ⅰ中，y1種群限制在斑塊Ⅱ中，x1種群可以在兩個(gè)斑塊間擴(kuò)散，擴(kuò)散率為D1，D2.文獻(xiàn)[8]討論了收獲和擴(kuò)散因素對(duì)系統(tǒng)(3)平衡點(diǎn)的影響，證明了此系統(tǒng)正平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性.

由于人類對(duì)食物的捕獲率是不斷變化的，常數(shù)收獲率顯然不符合實(shí)際情況.而在某種情況下，線性收獲率過大可能導(dǎo)致生態(tài)失衡，反之則不能促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，因此，具有非線性收獲率的捕食系統(tǒng)引起越來越多的學(xué)者關(guān)注[9-10].文獻(xiàn)[10]研究了帶有非線性收獲率和功能性反應(yīng)的捕食者-食餌模型：

(4)

x(t)與y(t)分別表示食餌和捕食者的種群密度，r表示內(nèi)稟增長(zhǎng)率，K表示食餌種群環(huán)境容納量，p表示被捕食率，q表示捕食者將捕獲的食餌轉(zhuǎn)化為自身增長(zhǎng)的轉(zhuǎn)化率,a1和a2表示捕撈能力，d表示捕食者種群的死亡率.M和N表示可以捕獲的最大量,

為食餌和捕食者的非線性收獲率.文獻(xiàn)[10]討論了具有非線性收獲率時(shí)，系統(tǒng)(4)平衡點(diǎn)存在的條件、平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性.

本文將文獻(xiàn)[10]中的非線性收獲率

引入模型(1)中，再考慮兩種群的密度制約因素，討論如下食餌種群具有非線性收獲率的捕食者-食餌系統(tǒng)：

(5)

1 平衡點(diǎn)的存在性

可得到模型(5)的平衡點(diǎn)：

(1)平凡平衡點(diǎn)P1(0,0);

2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)(5)在任意平衡點(diǎn)(x,y)處的Jacobian矩陣為

證明(1)將P1(0,0)代入J(x,y)中得到系統(tǒng)(5)在P1處的Jacobian矩陣為

其特征方程為

(λ-a1+h)(λ+a2)=0,

故特征根為

λ1=a1-h>0，λ2=-a2<0，

所以，P1(0,0)是鞍點(diǎn).

其特征方程為

故特征根為

接下來考慮系統(tǒng)(5)的正平衡點(diǎn)P3(x*,y*)的穩(wěn)定性.將P3(x*,y*)代入J(x,y)中得到系統(tǒng)(5)在P3處的Jacobian矩陣為

其特征方程為

即

其中

令

T=b2x*-a2-s1x*-s2,

則特征方程可表示為

λ2+Tλ+D=0,

令

Δ=T2-4D,

由文獻(xiàn)[10-13]可知下面的結(jié)論.

定理2(1)若D>0且Δ<0，則當(dāng)T>0時(shí)，P3(x*,y*)為系統(tǒng)(5)穩(wěn)定的焦點(diǎn)；當(dāng)T<0時(shí)，P3(x*,y*)為系統(tǒng)(5)不穩(wěn)定的焦點(diǎn)；

(2)若D>0且Δ>0，則當(dāng)T>0時(shí)，P3(x*,y*)為系統(tǒng)(5)穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)；當(dāng)T<0時(shí)，P3(x*,y*)為系統(tǒng)(5)不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)；

(3)若D<0，則P3(x*,y*)為系統(tǒng)(5)的鞍點(diǎn).

定理3若D>0，則當(dāng)T>0時(shí)，平衡點(diǎn)P3全局漸近穩(wěn)定.

證明取Dulac函數(shù)B(x,y)=xmyn，由于

g(x,y)=-a2y+b2xy-c2y2,

則

令

可得

根據(jù)定理2和Dulac判據(jù)[14]得平衡點(diǎn)P3是全局漸近穩(wěn)定的.證畢.

3 收獲的調(diào)控作用

兩個(gè)種群的平衡密度表達(dá)式為

由

可以看出當(dāng)食餌種群的捕獲最大量M增加時(shí)，食餌種群的平衡密度隨之減小，當(dāng)食餌種群的捕獲最大量M減小時(shí)，食餌種群的平衡密度則隨之增大.由

可以看出當(dāng)食餌種群的捕獲最大量M增加時(shí)，捕食者種群的平衡密度隨之減小，當(dāng)食餌種群的捕獲最大量M減小時(shí)，捕食者種群的平衡密度則隨之增大.

也就是說，由于人們的捕撈行為，食餌種群的捕獲最大量M增加時(shí)，食餌種群密度隨之減小，捕食種群所掠食的食物逐漸匱乏，其種群密度也隨之減小.食餌種群的捕獲最大量M減少時(shí)，食餌種群密度隨之增大，捕食種群就有了充足的食物來源，其種群密度也隨之增大.

4 數(shù)值模擬

這一部分主要運(yùn)用MATLAB軟件包對(duì)系統(tǒng)(5)正平衡點(diǎn)穩(wěn)定的結(jié)(焦)點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證.對(duì)于系統(tǒng)(5)：

(1)如果a1=0.8，b1=0.05，c1=0.04，a2=0.03，b2=0.03，c2=0.07，M=2，則D=0.3959>0，Δ=-0.6405<0，T=0.9712>0.因此，由定理2(1)可知系統(tǒng)(5)的平衡點(diǎn)(18.2034，7.3729)是穩(wěn)定的焦點(diǎn)，參看圖1.

圖1 系統(tǒng)(5)穩(wěn)定的焦點(diǎn)

(2)如果a1=0.8，b1=0.05，c1=0.04，a2=0.01，b2=0.01，c2=0.07，M=2，則D=0.1784>0，Δ=0.0109>0，T=0.8512>0.因此，由定理2(2)可知系統(tǒng)(5)的平衡點(diǎn)(24.6047，3.3721)是穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)，參看圖2.

圖2 系統(tǒng)(5)穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)

5 結(jié)論

本文考慮一類食餌具有非線性收獲率的捕食者-食餌模型，得到了系統(tǒng)平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定和全局穩(wěn)定的充分條件，說明了非線性收獲率對(duì)這個(gè)系統(tǒng)的調(diào)控作用，并利用MATLAB軟件對(duì)系統(tǒng)(5)正平衡點(diǎn)穩(wěn)定的結(jié)(焦)點(diǎn)進(jìn)行了數(shù)值模擬.