胡 巧 玲

(電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 四川 成都 611731)

0 引言

趨化是生物領(lǐng)域中的常見現(xiàn)象，常見于種群入侵，物種繁殖，癌細(xì)胞的發(fā)現(xiàn)等.趨化模型主要用于描述細(xì)胞聚合現(xiàn)象，即在化學(xué)物質(zhì)的吸引下，細(xì)胞會在有限時間內(nèi)發(fā)生聚集或是細(xì)胞的數(shù)量在某一時刻會趨于穩(wěn)定.早在20世紀(jì)70年代，Keller和Segel就提出細(xì)胞遷移的趨化模型，即Keller-Segel模型，他們發(fā)現(xiàn)除了細(xì)胞的隨機(jī)擴(kuò)散運(yùn)動，細(xì)胞會朝向化學(xué)物質(zhì)濃度高的地方,由此得到如下的趨化模型[1]

一般地，對于結(jié)構(gòu)更為簡單的有機(jī)物也會朝著消耗營養(yǎng)物的方向進(jìn)行遷徙，故得到如下趨化模型

Fuest[9]運(yùn)用Schauder估計得到了如下帶諾依曼邊值條件趨化模型解的正則性結(jié)果以及解的長時間行為

(1)

這里，Ω是一個有界的光滑凸區(qū)域，δ>0是一個給定的參數(shù)，(u0,v0,w0)是給定的初值并且滿足

(2)

基于以上結(jié)果，本文研究在三維情況下帶間接信號消耗的趨化系統(tǒng)(1)的正則化模型

(3)

本文的主要結(jié)果是利用Banach不動點(diǎn)定理證明了系統(tǒng)(1)古典解的整體存在性以及系統(tǒng)(1)的正則化系統(tǒng)(3)的弱解存在性. 具體表述如下：

定理1若系統(tǒng)(3)的初值(u0,v0,w0)滿足(2)式，則對任意的ε∈(0,1),系統(tǒng)(3)存在唯一的整體古典非負(fù)解(uε,vε,wε) ,并且存在序列(εj)j∈Ν?(0,1),εj→0,滿足

uε→u;vε→v;wε→w,

1 預(yù)備知識

定義1稱(u,v,w)是系統(tǒng)(1)的弱解是指函數(shù)(u,v,w)滿足

2 主要結(jié)果

定理2若系統(tǒng)(3)的初值(u0,v0,w0)滿足(2)式，則對任意的ε∈(0,1),系統(tǒng)(3)存在唯一的整體古典非負(fù)解(uε,vε,wε).

證明存在性

取定R>0是一個常數(shù)以及T∈(0,1),考慮Banach空間

其中q>3.考慮閉集

S:={(uε,vε)∈X|‖uε(·,t)‖L∞(Ω)+‖vε(·,t)‖W1,q(Ω)≤R,t∈(0,T)}

.

令Φ=(Φ1,Φ2)作用在S上，并且定義

(4)

(5)

其中，C4,C5,C6(R),C7(R)都為大于0的常數(shù).結(jié)合(4-5)式就可以得到只要R>0充分大以及T>0充分小，Φ=(Φ1,Φ2)則為S到S上的映射.

下證：Φ=(Φ1,Φ2)實(shí)際上是S上的壓縮映射.

對任意的(uε1,vε1),(uε2,vε2),有

同樣地，

唯一性

若(uε1,vε1,wε1), (uε2,vε2,wε2)是系統(tǒng)(3)在Ω×(0,T)上的兩個解，固定T0∈(0,T),由uε1,uε2所滿足的微分方程做差可得

對上式做分部積分可得

(6)

由于T00使得

‖uε1‖L∞(Ω)+‖uε2‖L∞(Ω)+‖?vε1‖Lq(Ω)+‖?vε2‖Lq(Ω)≤C10,t∈(0,T0).

將I1,I2,I3代入(6)式可以得到，存在C16>0使得

同樣地，存在正常數(shù)C17,C18,C19使得

以及

最后，通過分部積分可以得到存在正常數(shù)C20,C21滿足

綜上有，存在正常數(shù)C22,C23使得

定理3存在序列(εj)j∈Ν?(0,1),εj→0,滿足

uε→u;vε→v;wε→w,

證明關(guān)于模型(1)弱解的存在性以及正則性結(jié)果可以參看文獻(xiàn)[6].