沈 維， 姚佳佳

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)學(xué)系， 甘肅 蘭州 730070)

0 引言

在生物數(shù)學(xué)中食餌-捕食模型作為重要的動(dòng)力系統(tǒng)，近年來(lái)引起了許多研究者的廣泛關(guān)注.在動(dòng)力學(xué)研究中，穩(wěn)定性與分支現(xiàn)象一直都是一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，從最初模型的建立到后來(lái)的廣泛研究，數(shù)學(xué)家和生物學(xué)家致力于更準(zhǔn)確地描述捕食者-食餌系統(tǒng)中存在的動(dòng)態(tài)行為.為了體現(xiàn)捕食系統(tǒng)的復(fù)雜性與現(xiàn)實(shí)性，學(xué)者們還將功能反應(yīng)函數(shù)引入系統(tǒng)中去.

2017年，Hu和Li[1]基于捕食模型

(1)

提出了以下具有時(shí)滯和Holling-Ⅱ型功能反應(yīng)函數(shù)的捕食系統(tǒng)

(2)

其中變量和參數(shù)的實(shí)際意義見(jiàn)文獻(xiàn)[1].他們主要研究了τj(j=1,2)的不同取值對(duì)正平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的影響.張宏民等[2]研究了以下具有收獲率的Holling-Ⅱ類功能反應(yīng)系統(tǒng)

(3)

其中F,G分別表示人們對(duì)食餌和捕食者的捕撈程度.他們主要對(duì)該常微系統(tǒng)進(jìn)行了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析.

2021年，Wang等[3]討論了具有時(shí)滯和Holling-Ⅲ型功能反應(yīng)的食餌-捕食系統(tǒng)

(4)

基于系統(tǒng)(2)和(3)，本文將研究以下具有收獲率的Holling-Ⅱ型功能反應(yīng)的時(shí)滯食餌-捕食系統(tǒng)

(5)

通過(guò)詳細(xì)分析系統(tǒng)(5)在正平衡點(diǎn)E*(u*,v*)線性化系統(tǒng)的特征方程來(lái)探究系統(tǒng)正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性與Hopf分支.u,v分別表示食餌與捕食者的種群數(shù)量，參量意義參考文獻(xiàn)[1，3].τ表示食餌的生產(chǎn)時(shí)滯.

1 無(wú)時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性和Hopf分支

在τ=0時(shí)，系統(tǒng)(5)變?yōu)?/p>

(6)

由文獻(xiàn)[1，4-5]可得以下結(jié)論:

引理1系統(tǒng)(6)的所有解都是非負(fù)的.

從而有

于是

與假設(shè)矛盾，因此系統(tǒng)(6)的所有解都是非負(fù)的.

假設(shè)條件(B)1-F>0,βα>s+G且s+G

下面討論常微系統(tǒng)(6)在平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.在條件(B)成立下，系統(tǒng)(6)在某平衡點(diǎn)E(u,v)的線性化系統(tǒng)為

(7)

對(duì)應(yīng)的系數(shù)行列式為

(8)

將E0(0,0),E1(K(1-F),0)分別代入系統(tǒng)(8)可得

由條件(B)和文獻(xiàn)[3]知，系統(tǒng)(6)平衡點(diǎn)E0和E1是鞍點(diǎn).

現(xiàn)將正平衡點(diǎn)E*(u*,v*)代入系統(tǒng)(7)得

(9)

線性系統(tǒng)(9)的特征方程為

其中

定理1(1)若Δ0<0,則當(dāng)a11<0時(shí)，E*(u*,v*)為系統(tǒng)(6)穩(wěn)定的焦點(diǎn)；當(dāng)a11>0時(shí)，E*(u*,v*)為系統(tǒng)(6)不穩(wěn)定的焦點(diǎn)；

(2)若Δ0>0,則當(dāng)a11<0時(shí)，E*(u*,v*)為系統(tǒng)(6)穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)；當(dāng)a11>0時(shí)，E*(u*,v*)為系統(tǒng)(6)不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn).

2 時(shí)滯微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性

(10)

在正平衡點(diǎn)E*(u*,v*)處對(duì)系統(tǒng)(10)線性化，得

(11)

其中

方程(11)的特征方程為

|λI-Γ1-Γ2e-λτ|=0,

(12)

通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算，方程(12)改寫為

λ2-(M+Ne-λτ)λ-PQ=0,

(13)

其中

假設(shè)當(dāng)τ>0時(shí)，方程(13)有一對(duì)純虛根λ=±iω(ω>0),那么令λ=iω,則方程(13)變?yōu)?/p>

-ω2-iωM-iNωcosωτ-Nωsinωτ-PQ=0,

(14)

分離方程(14)的實(shí)部和虛部可得

(15)

于是，ω滿足以下方程

ω4+(M2-N2+2PQ)ω2+(PQ)2=0.

(16)

令z=ω2,則方程(16)變?yōu)?/p>

h(z)=z2+(M2-N2+2PQ)z+(PQ)2=0.

(17)

可得二次函數(shù)h(z)的判別式

Δ=(M2-N2+2PQ)2-4(PQ)2,

于是可得下面的結(jié)論:

引理2(1)如果Δ<0,那么方程(17)無(wú)正的實(shí)根；

(2)如果Δ=0,那么當(dāng)M2-N2+2PQ>0時(shí)，方程(17)無(wú)正的實(shí)根；當(dāng)M2-N2+2PQ<0時(shí)，方程(17)只有一個(gè)正實(shí)根；

(3)如果Δ>0,那么當(dāng)M2-N2+2PQ>0時(shí)，方程(17)無(wú)正的實(shí)根；當(dāng)M2-N2+2PQ<0時(shí)，方程(17)有兩個(gè)正實(shí)根.

由文獻(xiàn)[7-9]可知以下橫截條件成立:

引理3假設(shè)z=ω2是方程h(z)=0的一個(gè)正根，則

假設(shè)λ(τ)=η(τ)±iω(τ)是方程(13)在τ=τj附近的一對(duì)共軛復(fù)根，那么對(duì)任意的j∈0,都有η(τj)=0,ω(τj)=ω+.因?yàn)閔′(z+)=0,于是由引理3，以下橫截條件

成立.于是，特征方程(13)的根沒(méi)有正實(shí)部，由文獻(xiàn)[10-11]知，此時(shí)系統(tǒng)(5)對(duì)任意的τ≥0,正平衡點(diǎn)E*都是局部漸近穩(wěn)定的.

由引理2可得下面的結(jié)論:

(i)Δ≤0；

(ii)Δ>0且M2-N2+2PQ>0,

則對(duì)所有的τ≥0,系統(tǒng)(5)的正平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的.

現(xiàn)假設(shè)條件(H)

M2-N2+2PQ<0

成立，那么方程(17)存在兩個(gè)正實(shí)根

則特征方程(16)也有兩個(gè)正根

(18)

由方程(15)可得相應(yīng)于ωk的τ的值為

(19)

由引理3可得

由文獻(xiàn)[7]可得以下結(jié)論:

綜上可得以下結(jié)論:

定理3假設(shè)引理4的條件成立，則

3 數(shù)值模擬

這一節(jié)主要借助于Matlab軟件包進(jìn)一步驗(yàn)證以上所獲得的理論結(jié)果.

圖1 系統(tǒng)(6)的相圖

(a)τ=1.1 (b)τ=1.5圖2 系統(tǒng)(5)的軌跡.

例2在時(shí)滯系統(tǒng)(5)中:取s=1,G=1,F=0.05,β=2,α=3,K=1,則a11<0,Δ>0且j0=1,于是可得:

即

0<1.2070<2.2135<7.1969<

13.1868<13.1982.