張 昆， 張乃達(dá)

(1.淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 安徽 淮北 235000；2.揚(yáng)州中學(xué)， 江蘇 揚(yáng)州 225000)

1 問題的提出

為了探討是什么促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識的發(fā)生與積累，并伴隨數(shù)學(xué)知識發(fā)生過程，學(xué)習(xí)主體生成數(shù)學(xué)方法，最終形成數(shù)學(xué)思維方式，從而為借助數(shù)學(xué)資源提升學(xué)生主體的素養(yǎng)或素質(zhì)作出貢獻(xiàn).這里，從最簡單的數(shù)學(xué)計算問題出發(fā)，展開本研究的討論：

問題1：小明昨天借了小芳5元，今天還了她2元，小明還欠小芳幾元？

解：5-2=3(元).

其實，這個問題的本真意義，小明欠小芳的就是5元減去2元.人們養(yǎng)成的習(xí)慣是回答的答案為經(jīng)過數(shù)學(xué)計算后的結(jié)果3元，就是說，在實際生活與生產(chǎn)實踐中，已經(jīng)形成了數(shù)學(xué)求簡觀念；從生活中追求問題最簡結(jié)果的傾向而言，又形成了數(shù)學(xué)目標(biāo)觀念.由于這兩種數(shù)學(xué)觀念都是自生活中大量的實踐背景產(chǎn)生，因而，一般在學(xué)生接受數(shù)學(xué)啟蒙教育之前就已經(jīng)掌握了，對于學(xué)校教育而言，這些可以看作是主體的一種先天的直覺觀念.當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)之后，又產(chǎn)生了下面的新問題：

由于這種解法是借助了人民幣幣值基本單位的換算關(guān)系，具有強(qiáng)烈的生活背景，而非形式化的數(shù)學(xué)運(yùn)算，很難遷移到新的數(shù)學(xué)問題情境中去，因此，我們需要對這種解法進(jìn)行分析，從中抽象出某個主體可以實際操作數(shù)學(xué)計算過程的一般性程序因素——某種形式化運(yùn)算法則，從而為分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算奠定基礎(chǔ).

教師通過教學(xué)設(shè)計及其課堂實施，啟發(fā)學(xué)生對他們開拓出的“公度”單位進(jìn)行“通分”并再次抽象，產(chǎn)生這種數(shù)學(xué)抽象觀念的過程又是一種確定幾個量的基底問題(盡管目前筆者難以選擇合適的文字將其表達(dá)出來，這也具有典型的數(shù)學(xué)觀念特點之一，即有的數(shù)學(xué)觀念可以使用語言很好地表達(dá)，從而形成共同體的數(shù)學(xué)觀念，有的數(shù)學(xué)觀念只能個性化，思維者意識到但卻很難傳達(dá)于其他人)，或者是基本量問題，到后來的學(xué)習(xí)中，我們會看到向量基底(或基本量)的重要作用.

從整數(shù)加減法過渡到分?jǐn)?shù)加減法計算的實現(xiàn)，開拓合并同類項、合并同類二次根式、復(fù)數(shù)的加減法等，奠基向量空間知識的基礎(chǔ)觀念，其實已經(jīng)蘊(yùn)含于小學(xué)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算里了，即已經(jīng)具有這樣具體的數(shù)學(xué)觀念萌芽，由此，我們也清楚地看到數(shù)學(xué)觀念的全息性(需要說明的是，數(shù)學(xué)知識的進(jìn)展呈現(xiàn)的是環(huán)節(jié)及其聯(lián)結(jié)中介的特性，前期獲得的基礎(chǔ)知識沒有生成，就很難發(fā)生新的數(shù)學(xué)知識，但是，數(shù)學(xué)觀念不一樣，萌生高一層次的數(shù)學(xué)知識所需要的數(shù)學(xué)觀念，就已經(jīng)隱含在基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識所攜帶的數(shù)學(xué)觀念當(dāng)中了)及其價值[1].

從發(fā)生解答簡單加減法問題的認(rèn)識與方法中，可以認(rèn)識到，形成數(shù)學(xué)知識、方法、思想等都離不開數(shù)學(xué)觀念的作用.可以說，數(shù)學(xué)教學(xué)過程就是借助于數(shù)學(xué)知識所營造出數(shù)學(xué)共同體的場域(數(shù)學(xué)語言環(huán)境)形成的具體問題，首先萌生數(shù)學(xué)觀念，再經(jīng)由教師的教學(xué)設(shè)計將這些數(shù)學(xué)觀念轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學(xué)思想、方法、知識等.由于智囊中已經(jīng)存在的數(shù)學(xué)觀念提示著新的數(shù)學(xué)觀念的萌生，這樣就會產(chǎn)生諸多數(shù)學(xué)觀念，它們組成數(shù)學(xué)觀念系統(tǒng)，主體總是利用自己的數(shù)學(xué)觀念系統(tǒng)操作外在數(shù)學(xué)信息解決問題、發(fā)生認(rèn)識，從而獲得許多數(shù)學(xué)結(jié)果.那么，數(shù)學(xué)觀念具有怎樣的內(nèi)涵與特性呢？

2 數(shù)學(xué)觀念的內(nèi)涵

就前面的具體加減法計算的例子而言，一直在運(yùn)用“數(shù)學(xué)觀念”這個名詞.那么，這個詞究竟具有怎樣的內(nèi)涵呢？在《現(xiàn)代漢語詞典》(商務(wù)印書館，第五版)中，觀念被釋義為“思想意識或客觀事物在人腦中留下的概括的形象(有時指表象)”.這與本文所使用的“數(shù)學(xué)觀念”概念具有較大區(qū)別.其實，觀念涉及了主客觀之間的關(guān)系與關(guān)聯(lián)，具有某種程度上表示主體通過萌生思想指令，從而主動地賦予客觀信息以某種意義的過程，而不完全是被動內(nèi)涵，因此，其詞義偏向于動詞，而不是名詞.由此，首先探討數(shù)學(xué)觀念的內(nèi)涵.

數(shù)學(xué)觀念是人們對數(shù)學(xué)的基本看法和概括認(rèn)識，它是在面對問題信息時所萌生的心理內(nèi)驅(qū)力的活水源頭.數(shù)學(xué)觀念以系統(tǒng)性的方式作用于問題，數(shù)學(xué)觀念系統(tǒng)可以看成是由數(shù)學(xué)精神(理性探索精神)，數(shù)學(xué)傳統(tǒng)(數(shù)學(xué)文化對個體的“濡化”與數(shù)學(xué)共同體設(shè)定的約束個體的行為規(guī)范)和數(shù)學(xué)基本思想(包括由此形成的數(shù)學(xué)基本方法與主體對數(shù)學(xué)的基本態(tài)度的定勢)所構(gòu)成動態(tài)的認(rèn)知系統(tǒng).這種認(rèn)知系統(tǒng)最終形成了精神本體結(jié)構(gòu)的能動性及其邏輯思維，即主體用數(shù)學(xué)的思維方式去發(fā)現(xiàn)問題、表述問題、考慮問題、處理問題的自覺意識和思維習(xí)慣[1].

數(shù)學(xué)觀念既指針對某對象、過程、問題等的特定單一認(rèn)識的層面，又指諸多系統(tǒng)性的認(rèn)識，亦即數(shù)學(xué)觀念本身必然具有一定系統(tǒng)性的層面，本研究只使用數(shù)學(xué)觀念統(tǒng)一表述這兩個層面的意義，因此后文不再稱數(shù)學(xué)觀念系統(tǒng)這個概念了.數(shù)學(xué)觀念是由數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)思維能力的結(jié)晶核式的中介，把大量有助于萌生與發(fā)展數(shù)學(xué)觀念的素材吸引在它的周圍，大大地加速數(shù)學(xué)概括的進(jìn)程，并增進(jìn)了主體對數(shù)學(xué)材料的理解.因此，一方面，可以把數(shù)學(xué)觀念看成是對數(shù)學(xué)材料具有巨大吸引力的“洞”；另一方面，在數(shù)學(xué)觀念的指導(dǎo)下，主體會積極開展新的探究活動，發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造出使用數(shù)學(xué)觀念的新例證、新方法產(chǎn)生廣泛的遷移；因此，數(shù)學(xué)觀念又可以看成是一個“源”，大量的課題、方法和技巧，都可以從這個“源”中噴涌出來[2].為了更好地刻畫數(shù)學(xué)觀念的內(nèi)涵，需要闡釋數(shù)學(xué)觀念的幾個具體特性.

3 數(shù)學(xué)觀念的特性

一方面，從知識特點而言，《現(xiàn)代漢語字典》(商務(wù)印書館，第五版)對“知識”詞條的解釋是，“人們在社會實踐中獲得的認(rèn)識和經(jīng)驗的總和”.發(fā)生數(shù)學(xué)知識認(rèn)識過程的途徑在于，人們首先接觸的只能是信息，要從信息中意識到合適的問題，在探究解決問題中，將信息中的某些要素遴選出來，發(fā)現(xiàn)聯(lián)系信息要素的某些線索，從而將這些信息要素組成結(jié)構(gòu)，對這種結(jié)構(gòu)加以檢驗，從而形成數(shù)學(xué)知識.這種遴選信息要素、發(fā)現(xiàn)信息要素之間的聯(lián)系線索的途徑，問題信息與知識本身都不能直接告訴探究認(rèn)識的主體，這就需要主體智力的介入，數(shù)學(xué)觀念在介入中起著首當(dāng)其沖的作用.

另一方面，就數(shù)學(xué)解題而言，首先討論一個問題，到底是知識解決了問題，還是主體解決了問題？因為，知識是作為解題圖式，構(gòu)成了解題過程中的物質(zhì)基礎(chǔ)——范疇性框架，而解題合適的知識圖式的發(fā)現(xiàn)與安排，是解題主體.解題主體從問題信息中選擇出某些要素，探究要素之間的聯(lián)系線索，從而形成某個擬似于具體知識結(jié)構(gòu)的信息輪廓，以這種輪廓與某個具體知識結(jié)構(gòu)輪廓比較，從而選擇具體知識，再次對信息輪廓與知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行比較，如果兩者之間還不能完全擬合，就需要再次審視問題信息，補(bǔ)齊兩者之間所缺的線索.如此認(rèn)識到，數(shù)學(xué)解題過程是主體選擇知識，通過知識作用于信息、解決問題的.因此，在形成信息輪廓選擇具體知識及其所需要的線索中，離不開數(shù)學(xué)觀念的介入.

從上述這兩項分析結(jié)果中認(rèn)識到，不論是發(fā)生數(shù)學(xué)新知識認(rèn)識，還是使用具體數(shù)學(xué)知識解決面臨的數(shù)學(xué)問題，都離不開主體數(shù)學(xué)觀念的主動介入.那么，數(shù)學(xué)觀念具有怎樣的特性呢？

3.1 數(shù)學(xué)觀念的全息性

數(shù)學(xué)觀念與數(shù)學(xué)知識不一樣，數(shù)學(xué)知識需要透過主體心理成熟(皮亞杰在《發(fā)生認(rèn)識論原理》中將兒童心理發(fā)展分成了“四水平”“六階段”[3]，每一個階段適應(yīng)于學(xué)生某些特點的數(shù)學(xué)知識，例如，處于初中階段的學(xué)生不可能學(xué)習(xí)微積分.但是，數(shù)學(xué)觀念不同于數(shù)學(xué)知識，它具有全息性特點，即為了發(fā)生低層次數(shù)學(xué)知識認(rèn)識，或解決低層次的數(shù)學(xué)問題，都會幫助學(xué)生萌生學(xué)習(xí)高層次數(shù)學(xué)知識或解決高層次數(shù)學(xué)問題所必需的數(shù)學(xué)觀念，因此，數(shù)學(xué)教師必須要意識到，在低年級學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識中，滲透基本的數(shù)學(xué)觀念效率會更高，此時，借助于具體數(shù)學(xué)知識突出具體數(shù)學(xué)觀念，學(xué)生更容易理解與掌握[4].例如，上文中的“基本量”數(shù)學(xué)觀念，通過整數(shù)加法與分?jǐn)?shù)加法就突出地體現(xiàn)了這種數(shù)學(xué)觀念，隨著數(shù)系的擴(kuò)充，每一次這種數(shù)學(xué)觀念都能輔助學(xué)習(xí)主體更直接地進(jìn)入擴(kuò)充數(shù)系后的學(xué)習(xí)內(nèi)容.

3.2 數(shù)學(xué)觀念的二重性

一方面，根據(jù)數(shù)學(xué)觀念是學(xué)習(xí)主體心理內(nèi)驅(qū)力的根源，數(shù)學(xué)觀念顯然不同于數(shù)學(xué)知識，其特點是輔助學(xué)習(xí)主體從數(shù)學(xué)信息過渡到數(shù)學(xué)知識，或者輔助選擇適合于具體問題特點的數(shù)學(xué)知識解決問題的能動性要素，因此，數(shù)學(xué)觀念對發(fā)生數(shù)學(xué)知識認(rèn)識，或者用以選擇數(shù)學(xué)知識解決問題的思維之間具有啟動與定向(例如目標(biāo)觀念)、調(diào)節(jié)與控制(例如化歸觀念)作用.數(shù)學(xué)觀念的這種特點表現(xiàn)為心理動力性的一面，它具有主觀性、認(rèn)知性與動態(tài)性的一面，正是由于它具有心理層次上的特征，又具有模糊性與個體性的一面.

另一方面，從發(fā)生數(shù)學(xué)知識認(rèn)識與使用合適的數(shù)學(xué)知識解決問題中，有時萌生的數(shù)學(xué)觀念具有共性，這種共性可以使用合適的語言符號表達(dá)，從而外化為學(xué)習(xí)共同體可以理解的數(shù)學(xué)觀念，例如，數(shù)學(xué)目標(biāo)觀念，數(shù)學(xué)化簡觀念等.由此認(rèn)識到，數(shù)學(xué)觀念又具有客觀性的一面，這種客觀性使數(shù)學(xué)觀念像具體的知識一樣，可以利用合適的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料，例如幫助學(xué)生發(fā)生某些合適數(shù)學(xué)知識認(rèn)識,或者解決具體數(shù)學(xué)問題，可以啟發(fā)或鼓勵學(xué)習(xí)主體萌生相應(yīng)的數(shù)學(xué)觀念，但要注意的是應(yīng)該采用滲透的途徑，有時教師無須說明使用的具體數(shù)學(xué)觀念.就是說，數(shù)學(xué)觀念像數(shù)學(xué)知識一樣，具有知識性及可傳授性、靜態(tài)性的一面.

綜上所述，可以認(rèn)識到，數(shù)學(xué)觀念具有二重性.可以使用語言符號外化的數(shù)學(xué)觀念既具有知識性質(zhì)，可以傳授，為學(xué)習(xí)共同體所接受一面，又可以促進(jìn)認(rèn)知活動的發(fā)生與展開，輔助主體選擇合適知識解決問題的一面；另外，對于那些目前不能使用語言符號外化的數(shù)學(xué)觀念還具有模糊性與個體性特點.

3.3 數(shù)學(xué)觀念的系統(tǒng)性

個體數(shù)學(xué)觀念的不斷累積、自調(diào)整與整合，必然要形成結(jié)構(gòu)化，從而構(gòu)建成了數(shù)學(xué)觀念系統(tǒng)，在這一系統(tǒng)中，數(shù)學(xué)觀念管轄的范圍與可遷移的程度會大相徑庭，它是由從對數(shù)學(xué)系統(tǒng)以內(nèi)與數(shù)學(xué)系統(tǒng)以外的情境都適用的公共意識中的數(shù)學(xué)觀念過渡到受過數(shù)學(xué)訓(xùn)練的具體解決實際數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)觀念.通過前述“通分”方法來源(即由求簡觀念、目標(biāo)觀念等產(chǎn)生的心理內(nèi)驅(qū)力，而這種求簡觀念與目標(biāo)觀念并不是數(shù)學(xué)活動所特有的)與建立教學(xué)活動，可以認(rèn)識到，數(shù)學(xué)觀念只有在數(shù)學(xué)中所特有的應(yīng)用了，因此，“通分”方法所形成的數(shù)學(xué)觀念只有在極其特殊的情況下，才能遷移到數(shù)學(xué)學(xué)科以外的其他領(lǐng)域.

數(shù)學(xué)觀念是數(shù)學(xué)知識發(fā)生的精神資質(zhì)中某些綜合機(jī)能的展開，從靜態(tài)上看，數(shù)學(xué)觀念隱含在數(shù)學(xué)知識之中，數(shù)學(xué)觀念是意識機(jī)能操作外在于意識的問題信息形成數(shù)學(xué)知識，并使用數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)方法描摹某些領(lǐng)域中客體的特性，而開拓出人的內(nèi)在觀念的結(jié)晶.某些個體的觀念外化所形成的符號系統(tǒng)，得到了數(shù)學(xué)共同體的承認(rèn)，這種數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)才能成為真正的數(shù)學(xué)知識.觀念集之中的這么多的觀念必然要組成一個動態(tài)的系統(tǒng)，形成數(shù)學(xué)觀念的等級層次.這就是數(shù)學(xué)觀念的系統(tǒng)性.

在數(shù)學(xué)觀念系統(tǒng)中，可以分析出層次性.例如，如圖1，關(guān)于發(fā)生“異分母分?jǐn)?shù)加減法則”認(rèn)識所建立的數(shù)學(xué)觀念系統(tǒng)的途徑：(1)一般性數(shù)學(xué)觀念(如求簡觀念)；(2)功能性數(shù)學(xué)觀念(協(xié)調(diào)單位，使分?jǐn)?shù)變成為整數(shù)的化歸觀念)；(3)特殊性數(shù)學(xué)觀念(通分方法中所蘊(yùn)含的模糊數(shù)學(xué)觀念).數(shù)學(xué)觀念越具有一般性，越是對主體的生活經(jīng)驗依賴性高，對數(shù)學(xué)經(jīng)驗依賴性低，也就是說，一般性的數(shù)學(xué)觀念可以統(tǒng)帥、指導(dǎo)學(xué)生意識結(jié)構(gòu)中的功能性數(shù)學(xué)觀念與特殊性數(shù)學(xué)觀念.再由數(shù)學(xué)觀念的全息性特點，這就為早期滲透數(shù)學(xué)觀念，達(dá)到發(fā)展學(xué)生的觀念系統(tǒng)，提供了理論依據(jù).

圖1 數(shù)學(xué)觀念系統(tǒng)的層次

在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計及其課堂實施中，從數(shù)學(xué)觀念所具有這些特性出發(fā)，可以幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的主觀基礎(chǔ)，因為，數(shù)學(xué)觀念作為中介性平臺，配置著內(nèi)在思維材料(表現(xiàn)為靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識)與外在思維材料(表現(xiàn)為主體面臨的數(shù)學(xué)問題系統(tǒng)中的未解決的數(shù)學(xué)問題所提供的信息)，并使這兩者組合起來，形成問題空間，在探究解決問題過程中，推動了一系列數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn).

4 滲透數(shù)學(xué)觀念的教學(xué)設(shè)計示例

上述分析得到的數(shù)學(xué)觀念內(nèi)涵與特性，對于滲透數(shù)學(xué)觀念的教學(xué)設(shè)計具有重要的指導(dǎo)作用：其一，啟發(fā)學(xué)生萌生數(shù)學(xué)觀念離不開合適的數(shù)學(xué)知識，因此，教師一定要分析具體數(shù)學(xué)知識特點，數(shù)學(xué)知識是形，數(shù)學(xué)觀念為影，兩者之間就是如影隨形的關(guān)系，沒有了形則影也不復(fù)存在；其中的優(yōu)勢在于，數(shù)學(xué)觀念的全息性，低層次的數(shù)學(xué)知識中所負(fù)載的數(shù)學(xué)觀念對于高層次的數(shù)學(xué)知識依然起作用，這就是早期滲透數(shù)學(xué)觀念的重要意義所在.其二，可以使用語言表達(dá)的清晰數(shù)學(xué)觀念與目前還難以使用語言表達(dá)的模糊數(shù)學(xué)觀念同等重要，教師需要特別注意的是，幫助學(xué)生意識到模糊數(shù)學(xué)觀念.其三，幫助學(xué)生體驗數(shù)學(xué)觀念的二重性.其四，注意發(fā)生數(shù)學(xué)知識認(rèn)識或解決問題中啟發(fā)萌生觀念的系統(tǒng)性.看一個解題教學(xué)中的例子：

師：如何求算式①的結(jié)果？

生：……(省略號表示學(xué)生思維活動的暫時中斷)

師：為了解決問題，首先大家想一想進(jìn)行加法計算需要什么條件？

生1：進(jìn)行加法計算的最主要的條件就是其中的每一項的單位相同，就是說，單位相同的數(shù)能夠合并或相加.

注：通過將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，刺激學(xué)生萌生數(shù)學(xué)化歸觀念.

注：

注：這一步再一次滲透數(shù)學(xué)求簡觀念.

生5：不需要了.我們只要運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，將這兩個分?jǐn)?shù)的分母化為相同的分母，然后分母不變，分子相加就行了(余下步驟略).

筆者設(shè)計的這種建立異分母分?jǐn)?shù)加法法則的教學(xué)活動過程，通過滲透數(shù)學(xué)化歸觀念，協(xié)調(diào)分?jǐn)?shù)單位，滲透數(shù)學(xué)基本量觀念與數(shù)學(xué)求簡觀念，在探究解決這道題的思路中，這些觀念構(gòu)成了觀念系統(tǒng)，它促進(jìn)學(xué)生理解異分母分?jǐn)?shù)“通分法則”的來源.這是當(dāng)代優(yōu)勢數(shù)學(xué)教育教學(xué)理念的內(nèi)在訴求，也說明了任何一個新數(shù)學(xué)知識認(rèn)識的發(fā)生，數(shù)學(xué)觀念總是啟動、定向、調(diào)節(jié)與控制著認(rèn)識的進(jìn)程，這就為在數(shù)學(xué)知識或數(shù)學(xué)解題教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)觀念奠定了基礎(chǔ).

5 結(jié)語

數(shù)學(xué)教學(xué)活動過程，應(yīng)該是幫助學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識認(rèn)識或解決數(shù)學(xué)問題的過程，在這個過程中形成數(shù)學(xué)方法，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗，養(yǎng)成核心素養(yǎng)；同時，也是滲透數(shù)學(xué)觀念的過程，隨著數(shù)學(xué)觀念的積累、調(diào)整與自調(diào)整，組成完善的數(shù)學(xué)觀念系統(tǒng).數(shù)學(xué)觀念系統(tǒng)不同于數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)，數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)具有層次性，產(chǎn)生了對于學(xué)生心理成熟的時段要求，而數(shù)學(xué)觀念系統(tǒng)具有全息性特性，亦即在低層次的數(shù)學(xué)知識中生成的數(shù)學(xué)觀念對于高層次的數(shù)學(xué)知識依然有效.此外，數(shù)學(xué)觀念具有二重性與系統(tǒng)性特點.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計及其課堂實施中，隨著數(shù)學(xué)知識認(rèn)識發(fā)生滲透數(shù)學(xué)觀念是一項非常重要的教學(xué)目標(biāo).