陳增茂， 葛梁， 白永珍

(哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001)

空間信號到達(dá)方向估計(jì)(direction of arrival, DOA)是陣列信號處理研究的一個(gè)重要問題[1-4]。最早的DOA估計(jì)都是基于點(diǎn)信源理想模型的假設(shè)，然而實(shí)際陣列接收的信號往往具有一定的角度擴(kuò)展[5]，此時(shí)若采用傳統(tǒng)的點(diǎn)信源模型估計(jì)性能將嚴(yán)重惡化。因此，有學(xué)者提出了空間分布源的概念[6]并根據(jù)散射分量的特點(diǎn)將分布源分為相干分布源(coherently distributed,CD)和非相干分布源(incoherently distributed，ID)2種。非相干分布源的各散射分量不相關(guān)，其協(xié)方差矩陣大特征值的個(gè)數(shù)大于信源數(shù)，此時(shí)空間譜估計(jì)較為困難。文獻(xiàn)[6]通過對多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC)算法的陣列流形進(jìn)行改進(jìn)從而提出了針對分布式信源的分布源參數(shù)估計(jì)(distributed signal parameter estimator, DSPE)算法。文獻(xiàn)[7]中提出，雖然非相干信源存在秩多的情況，但大部分能量都集中于最大的少數(shù)特征值中并據(jù)此提出了偽子空間的概念。文獻(xiàn)[8]利用泰勒展開的GAM模型提出了一種基于旋轉(zhuǎn)不變子空間原理的非相干分布式信源空間譜估計(jì)方法(ESPRIT-ID)。然而這些方法并未消除多徑信號，只是采用空間重新劃分的方法盡量消除散射信號造成的影響。測向處理后的一個(gè)重要的目標(biāo)就是定位，最常用的方法就是單站定位或多站定位。單站定位一般要求測向站相對待測向目標(biāo)處于運(yùn)動當(dāng)中[9-10]。傳統(tǒng)多站定位一般為2步定位，對信號進(jìn)行角度解算[11-13]后利用相應(yīng)方法進(jìn)行目標(biāo)位置的估計(jì)。2步定位會引入額外誤差[14]，為了解決這個(gè)問題有學(xué)者提出了數(shù)據(jù)域直接定位算法[15-19]。但大部分的多站定位都要求測向站的數(shù)量大于信源數(shù)。此時(shí)會造成資源的浪費(fèi)。

針對非相干分布源，本文利用2個(gè)較遠(yuǎn)陣列之間接收信號的信號特性，利用主徑信號之間的強(qiáng)相關(guān)性和散射徑之間的不相關(guān)性，極大地消除散射徑信號對測向結(jié)果的影響。同時(shí)，利用陣列接收信號之間的角度關(guān)聯(lián)性，對信號子空間進(jìn)行重構(gòu)，完成2陣列測向角度之間的匹配，從而實(shí)現(xiàn)了利用2個(gè)陣列對多個(gè)信源進(jìn)行無模糊的交叉定位。

1 陣列信號模型

將2個(gè)完全相同的均勻線陣X和Y擺放成圖1所示，每個(gè)線陣均有M個(gè)陣元，陣列中陣元的間距為d，2個(gè)陣列位于同一水平線，陣列間的間距為x且有x?d。假設(shè)存在K個(gè)非相干分布式信號分別入射到2個(gè)陣列上，信號的波長為λ且λ≥2d，可以得到t時(shí)刻時(shí)2個(gè)陣列輸出的信號矢量分別為：

圖1 陣列空間Fig.1 Array space

(1)

(2)

(3)

式中：θxk對應(yīng)第k個(gè)信源對應(yīng)X陣列的中心DOA；φxk,l(t)為入射到X陣列的第l徑信號的隨機(jī)角度偏差，其均值為0，方差為待估計(jì)的角度擴(kuò)展。

(4)

式中α′(θxk)為α(θxk)的偏導(dǎo)數(shù)。由于角度擴(kuò)展通常比較小，因此省略泰勒展開中的余項(xiàng)，接收信號重新表示為：

(5)

2 多信源交叉定位算法

為了節(jié)約多信源情況下交叉定位方法的空間資源和陣列數(shù)量，本文通過利用2個(gè)相隔較遠(yuǎn)陣列之間非相干信源散射信號之間的不相關(guān)性，很大程度上消除了散射信號對主徑信號測向的影響，同時(shí)利用2個(gè)陣列間同一信號之間的相關(guān)性，利用左右奇異向量對應(yīng)的信號子空間來求解出每個(gè)信源對應(yīng)于2個(gè)陣列的分別的入射角，實(shí)現(xiàn)利用2個(gè)陣列來實(shí)現(xiàn)多信源(大于2個(gè))的交叉定位。

2.1 基于互相關(guān)測向方法

陣列X和Y接收信號的互相關(guān)矩陣為：

Rxy=E[X(t)·(Y(t))H]

(6)

由于發(fā)射信號、陣列路徑增益及2陣列角度擴(kuò)展之間全部互不相關(guān)，同時(shí)2個(gè)陣列的折射徑信號的增益互相之間也互不相關(guān)，因此可以得到：

(7)

(8)

式中：τk=τklx-τkly，代表2陣列接收的第k個(gè)信號主徑信號間的延時(shí)。

同時(shí)，由于2個(gè)陣列接收的噪聲均為高斯白噪聲，兩者之間相互獨(dú)立，因此接收信號互相關(guān)中不包含噪聲分量，避免了噪聲分量對于參數(shù)估計(jì)的影響。因此，兩陣列接收信號的互相關(guān)矩陣可以表示為：

Rxy=E{X(t)·Y(t)H}=

A(θx)RSBH(θy)

(9)

式中：

對接收信號互相關(guān)矩陣進(jìn)行奇異值分解可以得到：

(10)

式中：ΛK對應(yīng)奇異值分解得到的K個(gè)大奇異值組成的對角陣；U1和V1分別為K個(gè)大奇異值ΛK所對應(yīng)的M×K維的左右奇異向量矩陣。根據(jù)信號空間理論，U1和V1分別對應(yīng)陣列X和Y的信號子空間，因此可以得到：

(11)

由式(11)可知必定存在唯一的、非奇異的K×K維的滿秩矩陣T1、T2滿足：

(12)

由于均勻線陣具有的旋轉(zhuǎn)不變一致性，可以將信號子空間分解為2部分，為了盡可能提高測量的精度，將信號子空間U1分解為2個(gè)(M-1)×K維的矩陣:

(13)

式中：U11和U12分別為U1的第1～M-1行和第2～M行所組成的矩陣；A和Φ分別為：

(14)

由式(13)可以得到：

U12=U11T-1ΦT=U11Ψ

(15)

此時(shí)利用最小二乘準(zhǔn)則，即尋找一個(gè)矩陣：

(16)

使得

(17)

達(dá)到最小，并且滿足：

FHF=I

(18)

(19)

(20)

同理，對陣列Y對應(yīng)的信號子空間V1進(jìn)行同樣的處理即可得到相應(yīng)的陣列Y的DOA的估計(jì)值。

雖然通過對2個(gè)信號子空間直接進(jìn)行估計(jì)可以快速的得到2個(gè)陣列的入射角信息，但當(dāng)空間中的信源數(shù)大于1時(shí)，左右陣列的角度并不一一對應(yīng)，此時(shí)交叉定位在空間中會出現(xiàn)多個(gè)交匯點(diǎn)。當(dāng)信源數(shù)為K時(shí)，空間中會出現(xiàn)個(gè)K2交匯點(diǎn)，此時(shí)虛假點(diǎn)的個(gè)數(shù)為K2-K。傳統(tǒng)的交叉定位方法在解決虛假點(diǎn)問題時(shí)多采用多站定位的方法，即增加空間中觀測站的數(shù)量，通過相應(yīng)的算法剔除虛假點(diǎn)，還原信號的真實(shí)位置信息，此時(shí)計(jì)算的復(fù)雜度隨著信源數(shù)的增多而提高。

2.2 多信源角度匹配

由2.1節(jié)可知U1和V1分別對應(yīng)陣列X和Y的信號子空間。雖然空間相同，但對2個(gè)空間進(jìn)行處理后的角度并不能一一對應(yīng)，因此需要對U1和V1進(jìn)行一定的處理。

由前面的推導(dǎo)可知：

(21)

由式(12)可知，存在K×K維滿秩矩陣T使得：

U1=A(θx)·T

(22)

代入式(22)中可以得到：

(23)

將左右兩端分別進(jìn)行轉(zhuǎn)置可以得到：

B(θy)RS=V1ΛTH

(24)

式中：RS與Λ均為對角陣，因此其轉(zhuǎn)置不變；RS對角線上元素表示發(fā)射信號的功率；Λ對角線上元素表示接收信號的功率。

B(θy)為Y陣列的陣列流形，對其進(jìn)行處理時(shí)需要的是每一列元素相鄰兩元素之間的相位信息。RS對角線上元素為發(fā)射信號的功率，因此均為實(shí)數(shù)。兩者相乘的結(jié)果為：

B′(θy)=B(θy)RS=

[ρ1b(θ1)ρ2b(θ2)…ρKb(θK)]

(25)

式中ρK表示第K個(gè)信號的發(fā)射功率。

(26)

(27)

利用前面求得的2個(gè)陣列的角度信息即可以得到信源的空間位置，通過簡單推導(dǎo)即可得出第k個(gè)信源與兩陣列間的距離lkx和lky分別為：

(28)

算法步驟總結(jié)如下：

4)將U分解成K×K維的子矩陣：

3 仿真分析

定義均方根誤差(root mean square error, RMSE)作為衡量估計(jì)精度的指標(biāo)，RMSE的計(jì)算公式為：

(29)

仿真1 驗(yàn)證算法有效性。假設(shè)空間中存在5個(gè)非相干分布式信源，5個(gè)信源的入射角分別為(10°,-10°)、(20°,-20°)、(30°,-30°)、(40°,-40°)、(50°,-50°)；信噪比(signal to noise ratio，SNR)為15 dB。左右2個(gè)角度分別對應(yīng)陣列X和陣列Y的入射角，進(jìn)行100次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，測量結(jié)果如圖2所示。由圖2可以看出，本算法可以很好的將2個(gè)陣列的入射角相對應(yīng)，可以實(shí)現(xiàn)多個(gè)信源(大于2個(gè))同時(shí)入射時(shí)的交叉定位測向。

圖2 算法有效性仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of algorithm effectiveness

仿真2 算法性能對比。將所提算法與廣義ESPRIT算法[18]及DSPE算法[8]進(jìn)行性能對比。實(shí)驗(yàn)中均采用均勻線陣作為接收陣列，陣元間距為λ/2；信號拍數(shù)N=500；角度擴(kuò)展σ=2°；入射路徑數(shù)L=100；分布方式采用高斯分布。

圖3為信噪比對3種算法測向性能的影響，仿真時(shí)陣元數(shù)K=16；左右陣列入射角分別為(-10°,10°)。1 000次蒙特卡洛仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 RMSE隨信噪比SNR變化Fig.3 RMSE varies with SNR

圖4為陣元數(shù)對3種算法測向性能的影響，仿真時(shí)信號信噪比SNR=15 dB；左右陣列入射角分別為(-10°,10°)。1 000次蒙特卡洛仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 RMSE隨陣元數(shù)變化Fig.4 RMSE varies with the number of array elements

圖5為陣列入射角度變化對3種算法測向性能的影響。仿真時(shí)信號信噪比SNR=15 dB；陣元數(shù)K=16；圖5(a)為X陣列入射角度變化對測向性能的影響，此時(shí)Y陣列的入射角度固定為0°；圖5(b)為Y陣列入射角度變化對測向性能的影響，此時(shí)X陣列的入射角度固定為0°。1 000次蒙特卡洛仿真結(jié)果分別如圖5所示。

從圖5中可以看出，本文算法的測向精度與DSPE算法相當(dāng)，同時(shí)優(yōu)于廣義ESPRIT，這是因?yàn)楸疚乃惴ㄍㄟ^利用多徑信號之間的不相關(guān)性，通過取陣列的互相關(guān)從而減弱了多徑信號對測向的影響，同時(shí)由于不同陣列之間的噪聲互不相關(guān)。因此，互相關(guān)也削弱了高斯噪聲對測向誤差的影響。

仿真3 算法復(fù)雜度。將本文的方法與廣義ESPRIT和DSPE算法進(jìn)行復(fù)雜度的對比，復(fù)雜度的對比標(biāo)準(zhǔn)為復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算次數(shù)。假設(shè)陣列個(gè)數(shù)為M，快拍數(shù)為N，信源數(shù)為K。廣義ESPRIT算法主要的運(yùn)算在于一個(gè)M階矩陣的協(xié)方差矩陣及特征值分解運(yùn)算、再加上需要進(jìn)行搜索函數(shù)的構(gòu)建以及譜峰搜索，因此復(fù)雜度可以表示為O(M2N+M3+l(2MK))，其中l(wèi)為譜峰搜索的次數(shù)；DSPE算法主要運(yùn)算為M階矩陣的協(xié)方差矩陣及特征值分解運(yùn)算、再加上需要進(jìn)行搜索函數(shù)的構(gòu)建以及譜峰搜索，因此復(fù)雜度可以表示為O(M2N+M3+l1l2×M(M-K))，其中l(wèi)1和l2分別為對中心DOA和角度擴(kuò)展譜峰搜索的次數(shù)；本文算法主要為一個(gè)M×M階矩陣的互協(xié)方差和奇異值分解、最小二乘估計(jì)、計(jì)算滿秩矩陣T以及陣列流形的重構(gòu)，因此本文算法的復(fù)雜度可以表示為O(M2N+M3+K2+MK+K3)，各算法復(fù)雜度如表1所示。

假設(shè)空間中信源數(shù)量為5；快拍數(shù)為500；方位角搜索范圍為-90°～90°;角度擴(kuò)展搜索范圍為-5°～5°；搜索步進(jìn)為0.1°。此時(shí)各算法的復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算復(fù)雜度對比如圖6所示。

圖6 算法復(fù)雜度對比Fig.6 Algorithm complexity comparison diagram

可以看出，本文算法的復(fù)雜度較低，這是因?yàn)楸疚乃惴o需進(jìn)行譜峰搜索，因此大大減少了計(jì)算量，提升了測向的實(shí)時(shí)性。

本文算法的缺點(diǎn)在于雖然算法的復(fù)雜度較低，但由于特定的陣列結(jié)構(gòu)，造成了陣列孔徑的缺失，使得相同陣元數(shù)的情況下可同時(shí)測向的目標(biāo)數(shù)減少。

4 結(jié)論

1)本文利用泰勒級數(shù)展開的方法建立非相干分布式信源的模型，通過2個(gè)較遠(yuǎn)陣列之間的互協(xié)方差來消除不相關(guān)散射信號對測向造成的影響，提升了測向結(jié)果的精度。

2)利用2個(gè)陣列之間的相關(guān)性，通過角度匹配的方法解決了交叉定位中由于測向角與信源失配造成的模糊點(diǎn)問題。仿真結(jié)果表明，在多信源情況下，所提算法可以很好的實(shí)現(xiàn)信源測向角的對應(yīng)問題。

3)本文算法的缺點(diǎn)在于雖然算法的復(fù)雜度較低，但由于特定的陣列結(jié)構(gòu)，造成了陣列孔徑的缺失，使得相同陣元數(shù)的情況下可同時(shí)測向的目標(biāo)數(shù)減少。