扈喆， 張曉瑩， 李妍， 李曉文

(集美大學(xué) 輪機(jī)工程學(xué)院，福建 廈門 361021)

浮體在波浪中的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)是船舶與海洋工程領(lǐng)域中的常見問題，一般?；趧?shì)流理論求解此類問題。勢(shì)流理論可分為頻域和時(shí)域2類，其中頻域勢(shì)流理論經(jīng)過多年發(fā)展已經(jīng)成熟，且成為工程上分析浮體運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的常用方法。如Chen等[1]采用頻域勢(shì)流理論計(jì)算了柔性連接裝置約束下的相鄰浮體運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。Huang等[2]基于頻域勢(shì)流理論和模型試驗(yàn)研究了某FPSO與生活船斜對(duì)接時(shí)登乘梯的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。Ghafari等[3]采用頻域勢(shì)流理論研究了波浪與某半潛平臺(tái)和柱式FPSO的相互作用過程。王科等[4]采用基于預(yù)修正快速傅立葉變換的頻域勢(shì)流理論方法求解了多浮體鉸接薄板結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。

一般頻域勢(shì)流理論僅給出浮體在某一特定頻率余弦波作用下的水動(dòng)力系數(shù)和運(yùn)動(dòng)響應(yīng)，相比之下時(shí)域勢(shì)流理論可計(jì)算浮體在任意波浪激勵(lì)下的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。間接時(shí)域法是時(shí)域勢(shì)流理論中較常用的一種方法，其將頻域勢(shì)流理論計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)化為時(shí)延函數(shù)，并據(jù)此建立浮體時(shí)域控制方程。如Choi等[5]基于間接時(shí)域法和模型試驗(yàn)研究了張力腿平臺(tái)和半潛平臺(tái)的耦合運(yùn)動(dòng)。Fonseca等[6]采用間接時(shí)域法研究了一系列大波作用下某FPSO的水動(dòng)力載荷。李志富等[7]采用基于間接時(shí)域法的勢(shì)流理論模擬了某半潛平臺(tái)在畸形波作用下的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)和系泊纜動(dòng)張力響應(yīng)。紀(jì)仁瑋等[8]基于間接時(shí)域法計(jì)算了振蕩浮子式雙浮體波浪能裝置的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。陳曦等[9]基于間接時(shí)域法求解浮體運(yùn)動(dòng)并據(jù)此建立深海浮式風(fēng)機(jī)-系泊耦合分析系統(tǒng)。章健軍[10]基于間接時(shí)域法求解浮體運(yùn)動(dòng)并據(jù)此建立了浮體-系泊系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)異步耦合分析系統(tǒng)。

盡管間接時(shí)域法已經(jīng)在解決實(shí)際問題中大量應(yīng)用，但其在具體實(shí)施過程中存在依賴高頻阻尼成分、時(shí)域附加質(zhì)量確定方法模糊等缺陷。這影響了間接時(shí)域法的計(jì)算精度，進(jìn)而導(dǎo)致間接時(shí)域法的計(jì)算結(jié)果常與頻域結(jié)果存在一定差異[11-12]。研究表明這種差異很難通過縮短時(shí)間步長(zhǎng)和提高積點(diǎn)個(gè)數(shù)等手段消除。針對(duì)上述問題，本文提出一種改進(jìn)間接時(shí)域法，并通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)證明改進(jìn)間接時(shí)域法與頻域法結(jié)果的一致性。以某駁船為例，對(duì)比傳統(tǒng)間接時(shí)域法和改進(jìn)間接時(shí)域法的計(jì)算結(jié)果，驗(yàn)證改進(jìn)時(shí)域法在求解精度方面的顯著提升。

1 間接時(shí)域法

1.1 傳統(tǒng)間接時(shí)域法

有關(guān)間接時(shí)域法的理論基礎(chǔ)已經(jīng)得到充分研究討論，這里不再敘述。Cummins[13]提出采用脈沖頻譜方式建立浮體時(shí)域運(yùn)動(dòng)方程，即間接時(shí)域法。目前常用的間接時(shí)域法控制方程：

(1)

式中：M為浮體質(zhì)量矩陣；m為時(shí)域附加質(zhì)量矩陣；K(t)為時(shí)延函數(shù)；Kc為靜水回復(fù)力矩陣；X(t)為浮體運(yùn)動(dòng)位移；F為波浪力。K(t)、m和F計(jì)算公式為[14-19]：

(2)

m=Madd(∞)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：Cadd為頻域阻尼矩陣；Madd為頻域附加質(zhì)量矩陣；G為單位波幅規(guī)則波作用于浮體產(chǎn)生的波浪力(即RAO)。

對(duì)于式(2)和式(6)右端的積分，在t增大時(shí)被積函數(shù)迅速振蕩，若不加處理，會(huì)對(duì)積分精度產(chǎn)生影響。目前常用的做法為采用Filon積分公式進(jìn)行積分[11-12,18]。時(shí)域求解格式常采用四階Runge-Kutta法[11-12,14,16]。

以上傳統(tǒng)間接時(shí)域法在實(shí)際實(shí)施過程中存在以下問題：1)計(jì)算時(shí)延函數(shù)K(t)時(shí)式(2)右端積分上限無法取到無窮大；2)計(jì)算附加質(zhì)量m時(shí)，若采用式(3)則實(shí)際無法給出無窮大頻率對(duì)應(yīng)的附加質(zhì)量，若采用式(4)則右端積分上限無法取到無窮大，且ω0取不同值時(shí)得到的結(jié)果不同；3)計(jì)算g(t)時(shí)式(6)右端積分上限無法取到無窮大。

為解決積分上限無窮大的問題，最簡(jiǎn)單的做法即為直接截?cái)啵缌睿?/p>

(7)

顯然直接截?cái)鄷?huì)導(dǎo)致精度損失，文獻(xiàn)[18]指出截?cái)囝l率的選取至關(guān)重要，并采用了多種函數(shù)形式對(duì)截?cái)囝l率外的阻尼進(jìn)行外推。

高頻截?cái)嗑葥p失問題導(dǎo)致了傳統(tǒng)間接時(shí)域法在實(shí)施過程中產(chǎn)生與頻域法相悖的結(jié)論。例如對(duì)于任意頻率為ω1的單色規(guī)則波，由頻域法可知浮體的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)僅與該頻率下的阻尼和附加質(zhì)量即Cadd(ω1)和Madd(ω1)有關(guān)，原則上任何其他頻率下的水動(dòng)力系數(shù)均不應(yīng)對(duì)ω1頻率下的結(jié)果產(chǎn)生影響。而傳統(tǒng)間接時(shí)域法的高頻截?cái)嗑葥p失問題表明高頻阻尼的數(shù)值將影響到ω1頻率下的計(jì)算結(jié)果，與頻域法的結(jié)論不符。

1.2 改進(jìn)間接時(shí)域法

針對(duì)傳統(tǒng)間接時(shí)域法的缺陷，本文提出一種改進(jìn)間接時(shí)域法。改進(jìn)間接時(shí)域法不采用Filon積分，對(duì)積分區(qū)間高頻截?cái)嗪蟮碾x散形式表達(dá)式為：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

ωj=(j-1)Δω，j=1,2,…,N

(14)

顯然改進(jìn)間接時(shí)域法計(jì)算式(8)～(14)是間接時(shí)域法理論表達(dá)式(1)～(6)的數(shù)值實(shí)現(xiàn)，只是舍棄了式(1)中的時(shí)域附加質(zhì)量項(xiàng)，改用類似時(shí)延函數(shù)K(t)的表達(dá)形式，即式(8)中左端第2項(xiàng)。

盡管式(8)中包含了不同頻率的水動(dòng)力系數(shù)，但與傳統(tǒng)間接時(shí)域法不同，其計(jì)算實(shí)施結(jié)果與頻域法完全相符，下面給出證明。

1.3 頻域一致性證明

此時(shí)暫不考慮時(shí)間導(dǎo)數(shù)離散帶來的誤差，以頻率為ωk的單色規(guī)則波引起的浮體運(yùn)動(dòng)響應(yīng)為例，設(shè)η(t)=eiωkt，則:

(15)

當(dāng)l≠k時(shí):

(16)

當(dāng)l=k時(shí):

(17)

故式(15)可化為:

(18)

(19)

注意到式(16)和(17)，則式(19)可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為：

(20)

同理，有：

(21)

綜上，在受η(t)=eiωkt波浪激勵(lì)時(shí)，t=tn時(shí)系統(tǒng)控制方程(8)退化為：

KcX(tn)=G(ωk)η(tn)

(22)

這與頻域控制方程完全一致。對(duì)于多頻率成分波浪的情形，根據(jù)疊加原理，采用上面推導(dǎo)過程，也可以退化為頻域控制方程。

2 計(jì)算結(jié)果與討論

以某駁船為例，驗(yàn)證改進(jìn)間接時(shí)域法的在求解精度上的優(yōu)越性。駁船主要參數(shù)見表1。在駁船底部和側(cè)面外板處劃分網(wǎng)格，由四邊形和三角形網(wǎng)格組成，平均網(wǎng)格尺寸1.5 m×1.5 m，網(wǎng)格數(shù)2 056，節(jié)點(diǎn)數(shù)2 133，濕表面模型與坐標(biāo)系示意圖如圖1。

圖1 駁船濕表面Fig.1 Wet surface diagram of the barge

表1 駁船主要參數(shù)表Table 1 Main parameters of the barge

首先采用頻域求解器WAMIT開展頻域分析計(jì)算。浪向取0°、45°和90°，頻率取0.05～10 rad/s，間隔0.05 rad/s。圖2以橫搖為例，給出了頻域分析得到的附加質(zhì)量、阻尼，以及90°浪向下X方向波浪力矩RAO。

圖2 90°浪向下駁船橫搖水動(dòng)力系數(shù)Fig.2 Roll hydrodynamic coefficient of the barge under 90° wave direction

2.1 算例一

本例選取90°浪向下，頻率為0.05、0.5、1.0、2.0和6.0 rad/s的5組單位波幅波浪，采用傳統(tǒng)間接時(shí)域法和改進(jìn)間接時(shí)域法分別計(jì)算橫搖運(yùn)動(dòng)響應(yīng)，并與頻域結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。圖3給出了各工況下橫搖角時(shí)歷曲線。表2給出了傳統(tǒng)間接時(shí)域法和改進(jìn)間接時(shí)域法相對(duì)頻域方法的峰值誤差，即(Atmax-Afmax)/Afmax，其中Atmax為傳統(tǒng)或改進(jìn)間接時(shí)域法計(jì)算得到的橫搖角振動(dòng)幅值，Afmax為頻域方法計(jì)算得到的橫搖角振動(dòng)幅值。

圖3 90°浪向下駁船橫搖角頻域與時(shí)域計(jì)算結(jié)果Fig.3 Frequency domain and time domain calculation results of the barge′s roll angle under 90° wave direction

表2 橫搖時(shí)歷曲線峰值相對(duì)誤差Table 2 Peak relative error of rolling time history curve

如圖3所示，在中等波頻(0.5 rad/s和1.0 rad/s)下傳統(tǒng)間接時(shí)域法和改進(jìn)間接時(shí)域法的計(jì)算結(jié)果均與頻域結(jié)果吻合較好；然而對(duì)于低頻(0.05 rad/s)和高頻波浪(2.0 rad/s和6.0 rad/s)，傳統(tǒng)間接時(shí)域法的計(jì)算結(jié)果與頻域結(jié)果存在顯著差別，而改進(jìn)間接時(shí)域法的計(jì)算結(jié)果仍保持與頻域結(jié)果的良好吻合。從表2的誤差對(duì)比中可更清楚地看到改進(jìn)間接時(shí)域法的精度優(yōu)勢(shì)。對(duì)于本例，采用相同的時(shí)間步長(zhǎng)，對(duì)于中等頻率波浪，改進(jìn)間接時(shí)域法的計(jì)算誤差比傳統(tǒng)間接時(shí)域法小2～3個(gè)量級(jí)，對(duì)于低頻與高頻波浪，改進(jìn)間接時(shí)域法的計(jì)算誤差比傳統(tǒng)間接時(shí)域法小4～6個(gè)量級(jí)。

值得一提的是，忽略浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算誤差，改進(jìn)間接時(shí)域法計(jì)算誤差的主要來源為時(shí)域數(shù)值離散誤差，雖然模擬過程中時(shí)間步長(zhǎng)均為0.012 5 s，然而無量綱時(shí)間步長(zhǎng)(時(shí)間步長(zhǎng)/波浪周期)從9.95×10-5增加到1.19×10-2，這導(dǎo)致了表2中改進(jìn)間接時(shí)域法誤差自上至下依次增大。此外，盡管傳統(tǒng)間接時(shí)域法在低頻和高頻波浪下的相對(duì)計(jì)算誤差較大，但絕對(duì)計(jì)算誤差并不大。因此傳統(tǒng)間接時(shí)域法可用于處理一般浮體運(yùn)動(dòng)響應(yīng)問題。相對(duì)誤差較大是由于在低頻和高頻波浪下響應(yīng)幅值本身不大，而在計(jì)算相對(duì)誤差時(shí)響應(yīng)幅值作為分母，放大了計(jì)算結(jié)果。

2.2 算例二

在算例一的計(jì)算中，傳統(tǒng)和改進(jìn)間接時(shí)域法的頻率計(jì)算范圍均為圖2的橫坐標(biāo)范圍，即0～10 rad/s。為驗(yàn)證改進(jìn)間接時(shí)域法不受高頻截?cái)嘤绊?，在本算例中?duì)圖2中頻率大于1.5 rad/s的曲線部分進(jìn)行截?cái)?。基于截?cái)嗪蟮乃畡?dòng)力系數(shù)曲線，采用傳統(tǒng)與改進(jìn)間接時(shí)域法計(jì)算駁船橫搖運(yùn)動(dòng)響應(yīng)，并與頻域結(jié)果對(duì)比。浪向取90°，波浪頻率取0.05、0.5、1.0、2.0和6.0 rad/s 5組，時(shí)間步長(zhǎng)為0.012 5 s。

圖4給出了各計(jì)算工況下的橫搖角時(shí)歷曲線。表3給出了傳統(tǒng)間接時(shí)域法和改進(jìn)間接時(shí)域法相對(duì)頻域方法的峰值誤差。注意到高頻截?cái)嗪箢l率大于1.5 rad/s的水動(dòng)力系數(shù)和波浪載荷均為0，即此時(shí)浮體無運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。因此，2.0 rad/s和6.0 rad/s頻率下的頻域計(jì)算結(jié)果為0，這將導(dǎo)致相對(duì)誤差計(jì)算無意義(除數(shù)為0)，故此時(shí)取絕對(duì)誤差值。

圖4 90°浪向下駁船橫搖角頻域與時(shí)域計(jì)算結(jié)果(水動(dòng)力系數(shù)高頻截?cái)?Fig.4 Frequency domain and time domain calculation results of barge′s roll angle with 90° wave direction (high frequency truncation of hydrodynamic coefficient)

表3 橫搖時(shí)歷曲線峰值誤差Table 3 Peak error of rolling time history curve

由圖4可見高頻截?cái)嗪蟾倪M(jìn)間接時(shí)域法的計(jì)算結(jié)果仍然保持與頻域結(jié)果高度吻合，相比之下，傳統(tǒng)間接時(shí)域法的計(jì)算精度明顯下降。對(duì)比表2和表3，可見無高頻截?cái)鄷r(shí)，傳統(tǒng)間接時(shí)域法在中等波頻(0.5 rad/s和1.0 rad/s)下可以給出較滿意的計(jì)算結(jié)果，而水動(dòng)力系數(shù)高頻截?cái)嗪螅瑯宇l率下計(jì)算誤差大幅度增加，表明此時(shí)傳統(tǒng)間接時(shí)域法失效。與之相反，改進(jìn)間接時(shí)域法的計(jì)算結(jié)果仍然具有高精度。特別地，當(dāng)激勵(lì)波頻超過水動(dòng)力系數(shù)對(duì)應(yīng)頻率上限時(shí)(2.0 rad/s和6.0 rad/s)，改進(jìn)間接時(shí)域法給出的結(jié)果十分接近0。

經(jīng)驗(yàn)表明，不同截?cái)囝l率對(duì)傳統(tǒng)間接時(shí)域法的計(jì)算結(jié)果有一定影響，一般截?cái)囝l率越大(即保留的RAO數(shù)據(jù)越充分)，傳統(tǒng)間接時(shí)域法的計(jì)算結(jié)果與頻域結(jié)果吻合越好。但截?cái)囝l率取足夠大后，傳統(tǒng)間接時(shí)域法的計(jì)算結(jié)果趨于穩(wěn)定，不再改變，但與頻域結(jié)果的差異始終存在。相比之下，改進(jìn)間接時(shí)域法不受截?cái)囝l率影響，其結(jié)果與頻域結(jié)果高度吻合。

2.3 算例三

本算例驗(yàn)證改進(jìn)間接時(shí)域法求解不規(guī)則波下浮體運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的準(zhǔn)確性。波譜取雙參數(shù)PM譜，根據(jù)駁船作業(yè)所在海域的實(shí)測(cè)情況，選取5種典型海況，見表4。

表4 駁船工作海域典型海況Table 4 Typical sea conditions of the barge′s working area

圖5給出了各計(jì)算海況下的橫搖角時(shí)歷曲線。可見改進(jìn)間接時(shí)域法的計(jì)算結(jié)果與頻域法計(jì)算結(jié)果高度吻合，傳統(tǒng)間接時(shí)域法計(jì)算結(jié)果與頻域法計(jì)算結(jié)果在趨勢(shì)上基本吻合，但曲線峰值大小存在差別，個(gè)別峰值差別較大。圖6給出了各計(jì)算海況下的橫搖響應(yīng)譜。改進(jìn)間接時(shí)域法得到的響應(yīng)譜依然與頻域計(jì)算結(jié)果高度吻合，傳統(tǒng)間接時(shí)域法在海況Ⅰ～Ⅳ下得到的響應(yīng)譜與相應(yīng)頻域結(jié)果吻合良好，但響應(yīng)譜峰值偏大。對(duì)于海況Ⅴ，傳統(tǒng)間接時(shí)域法得到的響應(yīng)譜與頻域結(jié)果存在較大差異，這是由于海況Ⅴ的波頻成分偏大，傳統(tǒng)間接時(shí)域法存在一定誤差。

圖5 90°浪向不規(guī)則波作用下駁船橫搖角頻域與時(shí)域計(jì)算結(jié)果Fig.5 Frequency domain and time domain calculation results of the barge′s roll angle under 90° wave direction irregular waves

圖6 90°浪向不規(guī)則波作用下駁船橫搖響應(yīng)譜Fig.6 Roll response spectrum of the barge under 90° wave direction irregular wave

表5 橫搖響應(yīng)譜整體相對(duì)誤差Table 5 Relative errors of roll response spectrum

3 結(jié)論

1)改進(jìn)間接時(shí)域法具有更高的計(jì)算精度，其計(jì)算結(jié)果與頻域法得到的結(jié)果高度吻合。

2)傳統(tǒng)間接時(shí)域法在計(jì)算低頻和高頻問題時(shí)相對(duì)誤差增大，相比之下，改進(jìn)間接時(shí)域法在計(jì)算低頻和高頻問題時(shí)不會(huì)增大誤差。

3)傳統(tǒng)間接時(shí)域法的計(jì)算結(jié)果受高頻阻尼的影響。當(dāng)高頻阻尼截?cái)鄷r(shí)，低頻條件下的計(jì)算結(jié)果也會(huì)受到影響，進(jìn)而誤差增大。相比之下，改進(jìn)間接時(shí)域法不受高頻截?cái)嘤绊懀m用性更強(qiáng)。