王晨光，張?jiān)?，汪洋?/p>

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

箱形梁在高強(qiáng)、薄壁、輕型化、不設(shè)跨內(nèi)橫隔板等發(fā)展趨勢(shì)下，其橫向受力性能突出，較大的橫向內(nèi)力往往在箱形梁頂?shù)装迮c腹板相交處產(chǎn)生縱向裂縫，威脅到橋梁的安全運(yùn)營(yíng)。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者已在箱形梁的橫向內(nèi)力方面開(kāi)展了大量研究。分析箱形梁橫向內(nèi)力的方法總體上可分為影響面圖表法、平面框架法、有限元法等。郭金瓊等[1]在對(duì)理想邊界的板進(jìn)行彈性分析后繪制影響面圖表來(lái)進(jìn)一步計(jì)算橫向彎矩。平面框架法采用合理的假設(shè)將復(fù)雜的空間體系轉(zhuǎn)換為二維平面結(jié)構(gòu)，運(yùn)用解析法得到計(jì)算橫向內(nèi)力的一般公式。項(xiàng)貽強(qiáng)等[2]將橫梁比擬為彈性支承連續(xù)梁，提出了采用彈性支承連續(xù)梁法對(duì)梁系橋跨結(jié)構(gòu)進(jìn)行橫向受力分析的實(shí)用方法。應(yīng)用框架分析法對(duì)波形鋼腹板箱形梁橫向內(nèi)力進(jìn)行分析，成為了近年來(lái)的研究熱點(diǎn)之一[3-8]。趙品等[3]對(duì)波形鋼腹板箱梁腹板與頂板的線剛度比進(jìn)行了研究，探討分析了線剛度比對(duì)波形鋼腹板箱梁橫向內(nèi)力的影響。喬朋等[6]在對(duì)單箱多室波形鋼腹板組合箱梁腹板剪應(yīng)力進(jìn)行研究基礎(chǔ)上，分析了荷載類型及作用位置對(duì)腹板剪應(yīng)力的影響。黎雅樂(lè)等[7]對(duì)波形鋼腹板箱梁與混凝土箱梁頂板上的橫向內(nèi)力進(jìn)行了對(duì)比分析，提出了設(shè)計(jì)參考值。汪洋生等[9]對(duì)薄壁箱梁橫向內(nèi)力進(jìn)行分析之后，提出了箱形梁橫向彎矩的修正系數(shù)，以便設(shè)計(jì)人員應(yīng)用。Lin等[10]對(duì)組合結(jié)構(gòu)中混凝土橋面板與鋼梁螺栓連接件在橫向彎矩作用下的受力性能進(jìn)行了研究。采用有限元法分析箱形梁的橫向內(nèi)力也是目前廣泛采用的方法之一[11-15]。鐘新谷等[11]采用一種簡(jiǎn)單有效的有限元法建立了計(jì)算箱形梁橫向內(nèi)力的單元?jiǎng)偠染仃?，并?duì)箱形梁角點(diǎn)彎矩進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[12-13]研究分析了車輛荷載對(duì)單箱室箱形梁的影響，基于有限元法提出了橫向內(nèi)力的修正理論。鄭震等[16]在矩形截面箱形梁橫向內(nèi)力計(jì)算理論的基礎(chǔ)上，提出了計(jì)算帶懸臂板斜腹板箱梁橫向內(nèi)力的計(jì)算理論，即推廣的TYL法。這種方法為分析箱形梁橫向內(nèi)力提供新的思路，但在分析過(guò)程中采用的薄片框架計(jì)算模型與實(shí)際情況不符。

本文在推廣的TYL框架分析法的基礎(chǔ)上，建立了滿足平衡條件的新的計(jì)算模型，并分析得到計(jì)算箱形梁橫向內(nèi)力的解析公式。在此基礎(chǔ)上，與Ansys有限元法相結(jié)合，通過(guò)工程實(shí)例詳細(xì)分析了兩種不同計(jì)算方法對(duì)箱形梁橫向彎矩的影響。

1 改進(jìn)分析方程的基本原理

求解箱形梁橫向彎矩時(shí)，沿箱梁跨度方向虛設(shè)橫向及縱向連續(xù)支承，再截取單位長(zhǎng)度的薄片框架，其橫截面尺寸及虛設(shè)支承見(jiàn)圖1。圖1中：A、B、C、D分別為箱室的4個(gè)角點(diǎn)；a、b、c分別為箱室腹板、頂板、底板的長(zhǎng)度；b1為翼緣板的長(zhǎng)度；bs為頂板全長(zhǎng)；ts、tf、tx分別為頂板、腹板、底板的厚度；h為梁高。偏心荷載q(z)作用在頂板上，偏心距為e。在計(jì)算得到支承反力和無(wú)側(cè)移薄片框架彎矩后，釋放虛設(shè)支承，并在相應(yīng)位置處施加大小相等方向相反的力。箱形梁的最終橫向彎矩即反力作用下的橫向彎矩與無(wú)側(cè)移框架的橫向彎矩這兩部分的疊加。

圖1 橫截面尺寸與虛設(shè)支承

1.1 框架位移與畸變位移的協(xié)調(diào)關(guān)系

圖2 框架的剪力差荷載

薄片框架為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，在反對(duì)稱荷載作用下結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的橫向變形具有反對(duì)稱性。因此，箱形梁頂板和底板上的反彎點(diǎn)應(yīng)當(dāng)在對(duì)稱軸上，即頂板與底板的中點(diǎn)處。Qs、Qx分別為頂、底上反彎點(diǎn)處的內(nèi)剪力。假設(shè)腹板上的反彎點(diǎn)使其上下兩部分的長(zhǎng)度之比為1/ηm。ηm為與箱梁橫截面尺寸有關(guān)的系數(shù)，Qf為腹板上反彎點(diǎn)處的內(nèi)剪力，見(jiàn)圖3。

圖3 框架內(nèi)剪力示意

由薄片框架角點(diǎn)處彎矩平衡條件，可得各板件內(nèi)剪力之間關(guān)系為

(1)

(2)

推廣的“TYL”框架分析法基于畸變理論的框架模型來(lái)計(jì)算薄片框架位移，這種模型直接在底板兩角點(diǎn)處加支座，見(jiàn)圖4(a)。但采用這種模型計(jì)算求解得到的底板內(nèi)剪力Qx、頂板內(nèi)剪力Qs與畸變水平分力F不能滿足平衡條件，即Fh≠(Qs+Qx)c。

為更準(zhǔn)確地計(jì)算箱形梁的橫向內(nèi)力，反映箱形梁橫向內(nèi)力的變化規(guī)律，建立合理的計(jì)算模型是十分必要的。根據(jù)結(jié)構(gòu)變形的反對(duì)稱性以及在反彎點(diǎn)上彎矩為零的性質(zhì)，取一半結(jié)構(gòu)建立計(jì)算模型，見(jiàn)圖4(b)。該計(jì)算模型物理概念明晰，能夠更好地反映力的平衡關(guān)系。

圖4 框架計(jì)算模型

根據(jù)圖3和圖4(b)，內(nèi)剪力Qs、Qx和外力Fm在豎直方向的平衡條件可得

Fm=Qs+Qx

(3)

將式(1)、式(2)代入式(3)可得

(4)

在外力Fm的作用下，薄片框架發(fā)生了畸變變形，角點(diǎn)A、D的相對(duì)豎向位移分別為ΔAy、ΔDy，頂板、底板、腹板的轉(zhuǎn)角分別為γ1、γ2、γ3，見(jiàn)圖5。在小變形的情況下γ3≈0，則γ1、γ2為

圖5 框架變形圖

(5)

(6)

為了與畸變位移相協(xié)調(diào)，需要計(jì)算框架發(fā)生變形時(shí)角點(diǎn)A和角點(diǎn)D的相對(duì)轉(zhuǎn)角γA和γD。變形后角點(diǎn)A和角點(diǎn)D位移至A′和D′處。由幾何關(guān)系可得

γA=γ1-γ3≈γ1

(7)

γD=γ2-γ3≈γ2

(8)

采用結(jié)構(gòu)力學(xué)分析方法，可以求得薄片框架頂板處的內(nèi)剪力Qs，再由式(1)及式(4)可以求得表示腹板反彎點(diǎn)位置的系數(shù)ηm。進(jìn)一步通過(guò)圖乘法可以計(jì)算得到Fm的作用下薄片框架的相對(duì)豎向位移ΔAy、ΔDy分別為

(9)

(10)

采用圖4(a)所示的計(jì)算模型計(jì)算所得的橫截面尺寸系數(shù)為

(11)

由式(11)可知，當(dāng)頂、底板長(zhǎng)度相同，即b=c時(shí)，ηm=ηma，即文獻(xiàn)[15]中推廣的TYL法只能用來(lái)計(jì)算直腹板箱梁的橫向內(nèi)力。本文方法在計(jì)算斜腹板箱梁的橫向內(nèi)力時(shí)更為準(zhǔn)確。

箱形梁發(fā)生畸變時(shí)的變形見(jiàn)圖6。

圖6 框架畸變變形

在分析箱形梁畸變效應(yīng)時(shí)，一般認(rèn)為組成箱形梁的各板件在自身平面內(nèi)的彎曲可按初等梁理論計(jì)算。此時(shí)，箱形梁橫截面上的畸變剪力差與箱梁橫截面上各板件的面內(nèi)位移Δi(i=s，x，f)關(guān)系為

(12)

求得各板件面內(nèi)位移后，根據(jù)圖6所示的幾何關(guān)系，可以得到箱形梁各角點(diǎn)處畸變角與面內(nèi)位移之間關(guān)系為

(13)

(14)

(15)

式中：Δh1為B點(diǎn)豎向位移；Δh2為D點(diǎn)豎向位移。

對(duì)于同一梁體，在畸變荷載作用下，按照箱形梁畸變理論計(jì)算所得的位移應(yīng)當(dāng)與按框架理論計(jì)算的位移相等。由框架位移與畸變位移的協(xié)調(diào)關(guān)系，可得

γ01+γf=γA

(16)

γ02+γf=γD

(17)

將式(16)、式(17)相加，并將式(7)、式(8)代入，可得

γ01+γ02+2γf=γ1+γ2

(18)

將式(5)、式(6)、式(10)、式(12)～式(15)代入式(18)，可得腹桿上的內(nèi)剪力Qf為

(19)

1.2 框架內(nèi)力及荷載的平衡關(guān)系

根據(jù)箱形梁剛性扭轉(zhuǎn)理論，箱形梁橫截面上的剪力流具有連續(xù)性，可得

(20)

根據(jù)畸變翹曲正應(yīng)力在橫截面的自平衡條件，由初等梁理論可得

(21)

(22)

式中：β為腹板與底板、頂板交點(diǎn)處的翹曲應(yīng)力之比，可根據(jù)畸變翹曲正應(yīng)力對(duì)箱形梁橫截面豎向?qū)ΨQ軸的自平衡條件求出；αs為薄片框架頂板全寬與箱室頂板寬度之比。

釋放虛設(shè)支承后，作用在薄片框架上的反力可以分解成正對(duì)稱荷載qs，水平反對(duì)稱荷載qh以及豎向反對(duì)稱荷載qv。根據(jù)內(nèi)剪力和釋放虛設(shè)支承后反對(duì)稱荷載的平衡關(guān)系，可得

(23)

(24)

至此，聯(lián)立式(1)、式(2)、式(19)～式(24)，可求得釋放虛設(shè)支承后反對(duì)稱荷載引起的橫向彎矩。值得指出的是，文獻(xiàn)[9]中提出求解橫向彎矩需要9個(gè)方程，而本文只需8個(gè)方程即可求解。

2 數(shù)值算例及參數(shù)分析

本文采用文獻(xiàn)[9]中的算例進(jìn)行計(jì)算。該梁選自寶蘭客專雙線無(wú)咋軌道48 m后張法預(yù)應(yīng)力混凝土簡(jiǎn)支箱梁橋，該梁混凝土強(qiáng)度為C50，彈性模量為E=3.45 GPa，泊松比μ=0.17，其兩端設(shè)置厚度為1.2 m的橫隔梁，箱形梁橫截面尺寸及荷載布置見(jiàn)圖7。在計(jì)算過(guò)程中，將ZK標(biāo)準(zhǔn)活載簡(jiǎn)化為沿梁跨均勻分布的偏心荷載q=25.77 kN/m2，荷載橫向作用寬度為2.8 m。在計(jì)算過(guò)程中，分別采用本文改進(jìn)分析法、文獻(xiàn)[9]中采用的推廣的TYL法以及Ansys有限元分析軟件中的殼單元來(lái)計(jì)算箱形梁的橫向彎矩。采用Ansys殼單元計(jì)算時(shí)，箱梁共離散為個(gè)33 072個(gè)單元。

圖7 箱形梁橫截面簡(jiǎn)圖(單位：cm)

分別按三種不同的方法計(jì)算而得的箱形梁橫向彎矩，見(jiàn)表1。表1中①、②、③、④分別為橫截面上的不同計(jì)算點(diǎn)，見(jiàn)圖7。由表1可知，采用Ansys有限元法計(jì)算所得的橫向彎矩與采用本文改進(jìn)的分析法計(jì)算所得的結(jié)果更為接近，最大誤差為5.22%。而采用推廣的“TYL”框架法計(jì)算所得的橫向彎矩則與Ansys有限元法所得結(jié)果相差較大。尤其是在底板上，本文改進(jìn)的分析法較推廣的TYL框架法取得了更高的精度，這進(jìn)一步說(shuō)明了改進(jìn)的分析法的準(zhǔn)確性。

表1 箱梁跨中截面橫向彎矩比較

注：相對(duì)誤差1=(改進(jìn)分析法-Ansys有限元法)/Ansys有限元法×100%；相對(duì)誤差2=(推廣的YTL法-Ansys有限元法)/Ansys有限元法×100%。

跨中載高計(jì)算點(diǎn)②、計(jì)算點(diǎn)③處的橫向彎矩隨箱室底板與頂板寬度之比c/b的變化曲線見(jiàn)圖8。在計(jì)算過(guò)程中，保持箱室頂板的長(zhǎng)度b不變，使底板長(zhǎng)度逐漸從0.5b增加到1b。由圖8可知，與推廣的TYL法計(jì)算結(jié)果相比，在底頂板比c/b變化的過(guò)程中，采用本文改進(jìn)分析法計(jì)算的箱形梁橫向彎矩與Ansys有限元法計(jì)算的結(jié)果更為接近，其分布規(guī)律也更為相似。特別在底板上，采用推廣的TYL法計(jì)算所得的橫向彎矩分布規(guī)律與實(shí)際情況不符，不能準(zhǔn)確反映橫向彎矩的變化規(guī)律。當(dāng)c/b=1.0，即箱形梁為直腹板時(shí)，采用本文改進(jìn)分析方法與推廣的TYL法計(jì)算所得的結(jié)果完全相同，這進(jìn)一步說(shuō)明推廣的TYL法在計(jì)算直腹板箱形梁橫向內(nèi)力時(shí)是準(zhǔn)確的，而對(duì)于斜腹板箱梁，其計(jì)算結(jié)果誤差較大。從圖8中還可以看出，計(jì)算點(diǎn)②、③處的橫向彎矩隨底、頂板之比c/b的增大而逐漸增大。因此，適量減小斜腹板箱梁的底板長(zhǎng)度可以減小橫向內(nèi)力，從而緩解因橫向應(yīng)力過(guò)大而產(chǎn)生的縱向裂縫。

圖8 橫向彎矩隨板寬比的變化

箱形梁頂板上計(jì)算點(diǎn)②處的橫向彎矩隨箱室高度與頂板寬度之比h/b的變化曲線見(jiàn)圖9。在計(jì)算過(guò)程中，保持箱室頂板的寬度b不變，使箱室高度h逐漸從0.5b增加到1.0b。由圖9可知，采用本文改進(jìn)分析法計(jì)算所得箱形梁橫向彎矩與Ansys有限元結(jié)果吻合更好。此外，橫截面上的橫向彎矩隨高寬比h/b的增大而逐漸減小。因此，在不改變箱形梁梁寬的情況下適量增大梁體高度，可以減小橫截面上的橫向內(nèi)力。

圖9 計(jì)算點(diǎn)②處橫向彎矩隨高寬比的變化

3 結(jié)論

(1)推廣的TYL法只在計(jì)算直腹板箱形梁橫向內(nèi)力時(shí)是準(zhǔn)確的。而當(dāng)箱形梁為直腹板時(shí)，本文改進(jìn)分析法計(jì)算所得結(jié)果與推廣的TYL法計(jì)算所得結(jié)果完全相同。

(2)采用推廣的TYL法計(jì)算所得的箱形梁橫向彎矩與Ansys有限元計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差更為顯著，尤其在底板上，其分布規(guī)律與實(shí)際情況不符，不能準(zhǔn)確反映橫向彎矩的變化規(guī)律。而按本文改進(jìn)分析法計(jì)算所得的箱形梁橫向彎矩與Ansys有限元法計(jì)算的結(jié)果在頂、底板上均吻合更好。

(3) 箱形梁橫截面上的橫向彎矩隨底、頂板寬度之比c/b的增大而逐漸增大。因此，適量減小斜腹板箱梁的底板寬度可以減小橫向內(nèi)力，從而緩解因橫向應(yīng)力過(guò)大而產(chǎn)生的縱向裂縫。

(4) 橫截面上的橫向彎矩隨高寬比h/b的增大而逐漸減小。因此，在不改變箱形梁梁寬的情況下適量增大梁體高度，可以減小橫截面上的橫向內(nèi)力。