卡斯柯信號有限公司 陳吉余 余日可

最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)。它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。鐵路運營，道岔動作電流曲線反映了道岔整個轉(zhuǎn)換過程中的時間特性、機械特性和電器特性，是道岔日常維護和故障處理的重要參數(shù)指標(biāo)。由于鐵路現(xiàn)場條件復(fù)雜，經(jīng)過聯(lián)鎖電務(wù)維修機一次校正的道岔總電流值往往出現(xiàn)較大偏差。一次校正的手段比較單一，校正力度不夠，缺少反饋機制，完全由項目實施人員預(yù)估而定。單一的校正機制下調(diào)整出來的電流表界面顯示值和實際值容易出現(xiàn)較大偏差。利用最小二乘法對電流表讀數(shù)進行二次校正，從而得到了更加精確的電流表讀數(shù)。

道岔總電流是反映道岔動作時道岔是否正常運轉(zhuǎn)的重要指標(biāo)。區(qū)別于單一的道岔電流曲線，道岔總電流反映了當(dāng)時刻所有道岔動作的電流值總和。

值班員在操作表示機上進行操作道岔時，所有在動作的道岔產(chǎn)生的電流值的總和，由電流表采集模塊集合后通過RS-422串口發(fā)送給聯(lián)鎖電務(wù)維修機。聯(lián)鎖電務(wù)維修機將收到的電流值在軟件內(nèi)部進行一次校正后顯示在自身顯示界面上，并且將界面顯示值發(fā)送給聯(lián)鎖操作表示機予以顯示。電務(wù)維修人員在調(diào)試聯(lián)鎖的時候，動作道岔。直接可以用在站場界面上用查看道岔電流表的指針數(shù)值，并通過觀察電流表讀書的辦法直觀的判斷道岔正常運轉(zhuǎn)與否。單一的一次校正的手段，僅以前饋系數(shù)為校正辦法，校正準(zhǔn)確度較差，缺少反饋機制，完全由項目實施人員預(yù)估前饋系數(shù)而定，導(dǎo)致調(diào)整出來的電流表界面顯示值和道岔總電流值的實際值出現(xiàn)較大偏差。

為了克服上述現(xiàn)有技術(shù)存在的缺陷，提供一種基于最小二乘法校正道岔總電流表讀數(shù)的方法，可以大幅度糾正電流表讀數(shù)，提高車站計算機聯(lián)鎖顯示界面電流表數(shù)字顯示的正確率。

1 最小二乘法簡介

最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)。通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。最小二乘法還可用于曲線擬合，其他一些優(yōu)化問題也可通過最小化能量或最大化熵用最小二乘法來表達。最小二乘估計量具有三特性。

（1）線性特性，是指估計量分別是樣本觀測值的線性函數(shù)，亦即估計量和觀測值的線性組合。

（2）無偏性，是指參數(shù)估計量的期望值分別等于總體真實參數(shù)。

（3）最小方差性，是指估計量與用其它方法求得的估計量比較，其方差最小，即最佳。最小方差性又稱有效性。這一性質(zhì)就是著名的高斯一馬爾可夫（Gauss-Markov）定理。這個定理闡明了普通最小二乘估計量與用其它方法求得的任何線性無偏估計量相比，它是最佳的。

考慮超定方程組（超定指方程個數(shù)大于未知量個數(shù)）：

其中m代表有m個等式，n代表有n個未知數(shù)，m>n；將其進行向量化后為：

顯然該方程組一般而言沒有解，所以為了選取最合適的，讓該等式"盡量成立"，引入殘差平方和函數(shù)S。

（在統(tǒng)計學(xué)中，殘差平方和函數(shù)可以看成n倍的均方誤差MSE）

通過對S(β)進行微分求最值，可以得到：

如果矩陣XTX非奇異則有唯一解：

2 道岔總電流表讀數(shù)的形成

聯(lián)鎖電務(wù)維修機在串口接口接收到的道岔總電流值，是一個數(shù)字化的整形值。必須經(jīng)過轉(zhuǎn)化校正，才能轉(zhuǎn)化為實際的道岔電流物理模擬量，從而顯示到站場界面上。校正的方法為，在前饋環(huán)節(jié)直接定義轉(zhuǎn)換系數(shù)，并且根據(jù)接口協(xié)議乘以采集值，將得到的結(jié)果發(fā)送到界面顯示上。既有的校正算法，是一種簡單的前饋校正的辦法。因缺少反饋機制，校正得到的電流值和實際事實上的電流值往往相差較大。

3 利用最小二乘法對道岔總電流表讀數(shù)的校正

基于最小二乘法校正道岔總電流表讀數(shù)，采用前饋校正算法后得到的采集值和顯示值，作為反饋的輸入數(shù)據(jù)源，得到最小二乘法中的一元線性模型中使用的系數(shù)和偏差。再進一步利用計算得到的系數(shù)和殘差進一步糾正電流表讀數(shù)，提高聯(lián)鎖站場界面顯示的正確率。實現(xiàn)步驟如下：

（1）動作一組道岔，記錄在站場界面上顯示的電流值。同時，在室外用萬用表測量得到室外測量值。作為一組數(shù)據(jù)。

（2）將步驟1重復(fù)若干次，得到若干組這樣的數(shù)據(jù)組，作為最小二乘法的輸入。重復(fù)次數(shù)至少2次以上。按照（T1,T2）、（T3,T4）……方式組成若干個個特征點，與原點（0,0）組成曲線擬合的基礎(chǔ)點。

（3）將步驟2得到的特征點數(shù)據(jù)組作為最小二乘法的輸入，通過最小二乘法計算得到系數(shù)coeff和偏差offset。

（4）將其他時刻所有的道岔總電流輸入值均采用步驟3計算得到的相關(guān)系數(shù)coeff和偏差offset予以校正。校正公式為y=coeff*x+offset。其中，x為校正前的觀測輸入值，y為校正后的電流表總電流輸入值。

（5）將4中所校正后得到的道岔總電流校正值發(fā)送到站場界面予以顯示（見圖1、圖2）。

圖1 利用最小二乘法校正道岔總電流的流程圖

圖2 最小二乘法的流程圖

4 算法軟件實現(xiàn)

最小二乘法的程序流程如下：

（1）輸入特征數(shù)據(jù)組counter組數(shù)據(jù)（tx[],ty[])

（2）將每個特征組的值循環(huán)計算得到

（3）計算得到

（4）計算得到coeff=(sigma_xy-nxy_bar)/(sigma_xx-nxx);

（5）coeff,offset即為計算得到的輸出結(jié)果最小二乘法對應(yīng)的系數(shù)和偏差。

5 實驗數(shù)據(jù)分析

采集電流觀測值，并且在采集時在室外道岔處同時測量實際的電流值，計算得到校正系數(shù)coeff和偏差offset，觀測值和測量值見表1。

表1 采集電流觀測值以及電流測量值（安培A）

考慮函數(shù)y=coeff*x+offset，其中coeff和offset是待定常數(shù)。如果離散點完全的在一直線上，可以認為變量之間的關(guān)系為一元函數(shù)。

解得：

故擬合方程為：

為了驗證算法的效率和正確性，采用在現(xiàn)場測量電流值，并且用程序記錄電流觀測輸入值的情況下，觀察觀測輸入值（x）與計算值（y），見表2。

表2 電流測量值和計算值比較1（安培A）

由圖3可見，校正前的觀測的電流表讀數(shù)值(x)與實際的道岔總電流值相差比較大，而經(jīng)過校正的電流表計算值(y)精度得到了大幅度提升，與實際的道岔總電流值非常接近。

圖3 電流測量值和計算值比較2（安培A）

為了能夠更加精確的貼近實際道岔總電流值，可在采集測試階段收集更多的數(shù)據(jù)，計算出更加準(zhǔn)確的coeff和offset。此外，隨著道岔使用時間的變化，電流采集電路輸出也會發(fā)生變化，對電流表顯示的校準(zhǔn)則成為電務(wù)維護的工作之一。

既有的按電流表接口協(xié)議的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換功能，僅僅是利用前饋手段定義一個系數(shù)，和電流表采集模塊采集到的值做線性的校正，從控制理論的角度來講，僅僅停留在前饋階段。而基于最小二乘法校正道岔總電流表讀數(shù)，在單一的校正算法的基礎(chǔ)上執(zhí)行二次校正。二次校正采用的數(shù)據(jù)，來自前一次校正使用得到的測量值和觀測值，將反饋控制的概念引入了電流表讀數(shù)校正，因此更加準(zhǔn)確的反映了道岔總電流的真實數(shù)值。