朱筱寧，潘海峰，費(fèi)為銀，張繁紅

(1. 安徽工程大學(xué) 金融工程系，安徽 蕪湖 241000；2. 上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，上海 200433)

企業(yè)家的最優(yōu)投資行為一直是公司金融領(lǐng)域研究的重點(diǎn)之一。企業(yè)從本質(zhì)上被界定為一種契約關(guān)系，即企業(yè)是一種法律虛構(gòu)的組織形態(tài)[1]。Evans等[2]基于契約關(guān)系視角，指出財(cái)富和流動(dòng)性約束對(duì)創(chuàng)業(yè)企業(yè)投資的重要性；Caggetti等[3]進(jìn)一步量化流動(dòng)性約束對(duì)企業(yè)資本積累和財(cái)富分配的影響。由于企業(yè)家的凈資產(chǎn)一般會(huì)過(guò)度暴露于特定風(fēng)險(xiǎn)，因此不可分散風(fēng)險(xiǎn)會(huì)顯著影響期權(quán)執(zhí)行策略，進(jìn)而影響企業(yè)融資成本、投資策略及資產(chǎn)價(jià)值[4-8]。從理論視角看，托賓q模型在公司金融領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，比如：Cao等[9]在內(nèi)生借款約束有限執(zhí)行框架下基于托賓q分析了投資與托賓q之間的關(guān)系；Rampini等[10]建立了一個(gè)動(dòng)態(tài)的擔(dān)保融資模型；Wang等[11]構(gòu)建了q-理論的創(chuàng)業(yè)動(dòng)力學(xué)方程；De Marzo等[12]構(gòu)建了風(fēng)險(xiǎn)中性動(dòng)態(tài)代理框架下的q理論模型?，F(xiàn)有q-理論模型大多針對(duì)多元化投資和經(jīng)營(yíng)的公司，較少考慮金融摩擦性因素的影響。因此，針對(duì)非多元化經(jīng)營(yíng)的創(chuàng)業(yè)企業(yè)以及控股股東經(jīng)營(yíng)的私營(yíng)企業(yè)，進(jìn)行q-理論拓展研究具有一定的創(chuàng)新性。

模型本身的不確定性是本質(zhì)的、不可消除的，這種概率本身的不確定性也被稱為Knight不確定性[13]。學(xué)者們對(duì)Knight不確定性在金融領(lǐng)域的模型創(chuàng)新及實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行了研究，包括風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)和含糊溢價(jià)、期權(quán)定價(jià)、風(fēng)險(xiǎn)度量、最優(yōu)消費(fèi)和投資組合、資產(chǎn)定價(jià)、匯率波動(dòng)等[14-21]。近年來(lái)，學(xué)者們探討Knight不確定在契約理論中的具體應(yīng)用。費(fèi)晨等[22]基于Knight不確定框架研究連續(xù)時(shí)間下面臨道德風(fēng)險(xiǎn)的委托-代理問(wèn)題；費(fèi)為銀等[23]研究Knight不確定性下單邊有限承諾連續(xù)時(shí)間契約問(wèn)題；費(fèi)晨等[24]基于Knight不確定框架研究低道德水平代理人逆向選擇對(duì)高道德水平代理人延續(xù)價(jià)值和動(dòng)態(tài)最優(yōu)契約執(zhí)行過(guò)程的影響；Wang等[25]討論Knight不確定性下的最優(yōu)委托-代理契約問(wèn)題。研究[26-27]表明，Knight不確定性對(duì)金融市場(chǎng)投資者的行為具有顯著影響。

綜上所述，企業(yè)家在進(jìn)行投資決策時(shí)面臨著不可分散的商業(yè)風(fēng)險(xiǎn)和流動(dòng)性約束即摩擦性因素。金融摩擦將導(dǎo)致金融市場(chǎng)的不完備性，致使標(biāo)準(zhǔn)的完備市場(chǎng)利潤(rùn)最大化分析對(duì)創(chuàng)業(yè)型企業(yè)無(wú)效。本文同時(shí)考慮市場(chǎng)不完備性與Knight不確定性，探討q-理論模型的拓展，并系統(tǒng)分析創(chuàng)業(yè)企業(yè)家的投資行為。

1 基本模型框架

通過(guò)資本積累或生產(chǎn)函數(shù)定義創(chuàng)業(yè)過(guò)程，考慮一個(gè)創(chuàng)業(yè)企業(yè)家可以進(jìn)行資本存量為Kt的創(chuàng)業(yè)投資。與標(biāo)準(zhǔn)的資本積累一樣，資本存量Kt的變化是由總投資與折舊的差值給出的。

dKt=(It-δKt)dt,t≥0

式中：It為總投資；δ為折舊率，δ>0。該公司的生產(chǎn)沖擊At在周期(t,t+dt)上是獨(dú)立同分布的。

dAt=μAdt+σAdZt

式中：μA為生產(chǎn)率沖擊；σA為生產(chǎn)率沖擊波動(dòng)性；Zt為G-布朗運(yùn)動(dòng)。

公司同期營(yíng)業(yè)利潤(rùn)Yt為

dYt=KtdAt-Itdt-G(It,Kt)dt

代理人的金融投資機(jī)會(huì)分為兩部分，分別是代理人投資于支付固定利率的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和投資于風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)的投資組合。

dRt=μRdt+σRdBt

式中：Bt為G-布朗運(yùn)動(dòng)，與Zt獨(dú)立；μR為市場(chǎng)投資組合預(yù)期收益率，為常數(shù)；σR為市場(chǎng)投資組合波動(dòng)性。

令Wt和Xt分別表示t時(shí)刻代理人的金融財(cái)富和投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的金額，則(Wt-Xt)為t時(shí)刻投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的剩余金額。代理人成為一名企業(yè)家后，其金融財(cái)富Wt的演變過(guò)程為

dWt=r(Wt-Xt)dt+μRXtdt+σRXtdBt-

Ctdt+dYt,T0

式中：Ct為代理人的消費(fèi)；T0為企業(yè)家開(kāi)始創(chuàng)業(yè)的時(shí)間點(diǎn)；TL為企業(yè)家結(jié)束創(chuàng)業(yè)的時(shí)間點(diǎn)。

企業(yè)家可以隨時(shí)以資本Kt為抵押借款，因此財(cái)富W可以為負(fù)值。為確保企業(yè)貸款是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，要求資金LKt的清算價(jià)值大于未償債務(wù)，其中L為資本存量K的回收率，則有

Wt≥-LKt,T0

在建立優(yōu)化問(wèn)題時(shí)引入企業(yè)家的偏好。企業(yè)家偏好具有兩個(gè)特點(diǎn)，即不變的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡和跨期替代彈性(elasticity inter-period substitution， EIS)。用非預(yù)期效用的連續(xù)時(shí)間公式定義企業(yè)家的遞歸偏好。

不確定厭惡(ambiguity aversion)企業(yè)家遞歸偏好定義如式(1)所示。

(1)

式中：Et為t時(shí)刻的條件下的期望；f(C,J)被稱為消費(fèi)C和企業(yè)家效用J的標(biāo)準(zhǔn)化聚合子。

參數(shù)ψ>0衡量EIS(跨期替代彈性)，且γ>0是企業(yè)家的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，參數(shù)ζ>0是企業(yè)家的主觀貼現(xiàn)率。不確定厭惡企業(yè)家的值函數(shù)定義為消費(fèi)、實(shí)際投資和資產(chǎn)組合策略(C,I,X)使得遞歸效用最大化。

(2)

2 兩基準(zhǔn)下模型解

2.1 完全市場(chǎng)下的最優(yōu)契約

式中：企業(yè)家總財(cái)富PFB(K,W)取流動(dòng)財(cái)富W與企業(yè)價(jià)值QFB(K)之和，其中企業(yè)價(jià)值QFB(K)=qFBK，qFB表示完全市場(chǎng)下的托賓q值，

qFB=1+θiFB

(3)

則

PFB(K,W)=W+QFB(K)=W+qFBK

b是一個(gè)常數(shù)，

在完備情形下有如下結(jié)果：

(1)投資資本比率iFB為

(4)

(2)市場(chǎng)投資組合配置X與K成正比，X(K,W)=xFBK，其中xFB為

(3)最優(yōu)消費(fèi)C與K成比例，C(K,W)=cFB(W)K,其中，cFB(w)=mFB(w+qFB)，mFB為邊際消費(fèi)傾向(marginal propensity to consume, MPC)，由式(5)給出。

(5)

2.2 不完備市場(chǎng)下的最優(yōu)契約

現(xiàn)考慮轉(zhuǎn)向不完備市場(chǎng)情形。為研究企業(yè)家在經(jīng)營(yíng)企業(yè)時(shí)的決策問(wèn)題，用J(K,W)表示創(chuàng)業(yè)企業(yè)家的價(jià)值函數(shù)，并且通過(guò)企業(yè)家選擇的消費(fèi)C、實(shí)際投資I和風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)的投資組合配置X使企業(yè)家預(yù)期效用最大化，利用文獻(xiàn)[19]中的動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理可以得到企業(yè)家價(jià)值函數(shù)滿足的HJB方程為

[rW+(μR-r)X+μAK-I-

G(I,K)-C]JW+

(6)

對(duì)式(6)關(guān)于消費(fèi)C求一階偏導(dǎo)，得到關(guān)于消費(fèi)的一階最優(yōu)條件(first-order optimality conditions，F(xiàn)OC)為

fC(C,J)=JW(K,W)

上式表明，消費(fèi)的邊際效用fC等于財(cái)富的邊際效用JW。

同理，得到企業(yè)家關(guān)于投資I的一階最優(yōu)條件為

[1+GI(I,K)]JW(K,W)=JK(K,W)

(7)

式(7)表明，在最優(yōu)情況下，為增加一單位的資本存量，企業(yè)家需要放棄[1+GI(I,K)]單位的財(cái)富。因此企業(yè)家的投資邊際成本由[1+GI(I,K)]與財(cái)富的邊際效用JW的乘積給出。

同理得出企業(yè)家關(guān)于市場(chǎng)投資組合配置X的一階最優(yōu)條件

利用齊次性推測(cè)企業(yè)家的價(jià)值函數(shù)為

對(duì)企業(yè)家的價(jià)值函數(shù)求偏導(dǎo)得

JW=b1-γ(pK)-γp′

(8)

JK=b1-γ(pK)-γ(p-wp′)

(9)

JWW=b1-γ(pK)1-γ(pp″-γ(p′)2)=

-b1-γ(pK)1-γhp′

(10)

將式(8)～(10)代入企業(yè)家價(jià)值函數(shù)滿足的HJB方程即式(6)，整理得到關(guān)于確定性等價(jià)財(cái)富p(w)的常微分方程(ordinary differential equation, ODE)為

其中h(w)由式(11)給出。

(11)

c(w)=mFBp(w)[p′(w)]-ψ

(12)

(13)

(14)

則企業(yè)家關(guān)于投資I的一階最優(yōu)條件式(7)可簡(jiǎn)化為

上式等號(hào)左邊為投資的邊際成本，右邊為資本的邊際價(jià)值PK(K,W)和財(cái)富的邊際價(jià)值PW(K,W)的比，PK(K,W)又稱私人邊際q，PW(K,W)即為p′(w)。因此，投資不僅取決于邊際q，還取決于現(xiàn)金的邊際價(jià)值。私人邊際q和PW是內(nèi)生確定的，并且兩者高度相關(guān)。

然而，關(guān)于w投資資本比率并不是單調(diào)的，這意味著投資可能會(huì)隨著財(cái)富的增加而減少，這個(gè)看似違反直覺(jué)的結(jié)果源于w中p(w)的凸性。i′(w)可表示為

(15)

由式(15)可以看出：當(dāng)p(w)為凹時(shí)，投資隨財(cái)富的增加而增加；當(dāng)p(w)為凸時(shí)，投資隨w的增加而減小。

將上述討論總結(jié)如下：

命題1在不完備市場(chǎng)下，創(chuàng)業(yè)企業(yè)家的最優(yōu)契約可以刻畫為

(1)最優(yōu)消費(fèi)c、投資i和資產(chǎn)組合x依次由式(12)～(14)給出；

(2)投資對(duì)流動(dòng)性財(cái)富的敏感度由式(15)給出。

3 數(shù)值模擬與經(jīng)濟(jì)學(xué)分析

表1 模型關(guān)鍵變量與參數(shù)設(shè)置

圖1 不同Knight不確定和完備情形下流動(dòng)性w對(duì)投資-資本比率i的影響Fig.1 Effect of liquidity w on investment-capital ratio i for different Knight uncertainty and completeness cases

圖2 不同Knight不確定和完備情形下流動(dòng)性w對(duì)投資靈敏度i′的影響Fig.2 Effect of liquidity w on investment sensitivity i′ for different Knight uncertainty and completeness cases

圖3 不同Knight不確定和完備情形下流動(dòng)性w對(duì)有效風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避h的影響Fig.3 Effect of liquidity w on effective risk aversion h for different Knight uncertainty and completeness cases

圖4 不同Knight不確定和完備情形下流動(dòng)性w對(duì)市場(chǎng)投資組合配置-資本比率x的影響Fig.4 Effect of liquidity w on market portfolio allocation-capital ratio x for different Knight uncertainty and completeness cases

4 結(jié) 語(yǔ)

在不完備市場(chǎng)情形下建立帶有Knight不確定的q理論模型，并對(duì)模型進(jìn)行數(shù)值模擬。分析表明，企業(yè)家的投資行為不僅受自身風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度的影響，還受市場(chǎng)Knight不確定的影響，并且Knight不確定只在不完備市場(chǎng)情形下通過(guò)改變企業(yè)家的投資靈敏度、有效風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避和市場(chǎng)投資組合配置，對(duì)創(chuàng)業(yè)企業(yè)家最優(yōu)投資行為產(chǎn)生影響。在不完備市場(chǎng)情形下，市場(chǎng)的Knight不確定性越大，企業(yè)家對(duì)市場(chǎng)投資組合配置比率越小，而隨著資產(chǎn)流動(dòng)性越來(lái)越接近清算邊界，投資者急于退出，投資組合配置變得更多，而當(dāng)企業(yè)家即將進(jìn)行破產(chǎn)清算時(shí)，其對(duì)投資組合的配置會(huì)增多。于公司金融領(lǐng)域，在Knight不確定的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮通脹環(huán)境下創(chuàng)業(yè)企業(yè)家的投資行為將是未來(lái)值得深入研究的課題。