曹培歡，彭梓堯，岳曉麗，陳慧敏，張慧樂, b

(東華大學(xué) a. 機械工程學(xué)院；b. 上海市輕質(zhì)結(jié)構(gòu)復(fù)合材料重點實驗室，上海 201620)

近年來，隨著汽車行業(yè)的不斷發(fā)展和人們環(huán)保意識的提升，汽車輕量化理念逐漸深入人心，常見的汽車輕量化措施包括汽車結(jié)構(gòu)優(yōu)化、輕量化材料以及先進制造工藝[1]，其中輕量化材料的使用對于汽車減重效果最為顯著。碳纖維復(fù)合材料作為一種優(yōu)異的輕量化材料被廣泛應(yīng)用于汽車輕量化設(shè)計[2-4]。

目前，針對碳纖維復(fù)合材料傳動軸的研究大多對傳動軸的結(jié)構(gòu)進行設(shè)計。Talib等[5]利用有限元分析法，通過改變纖維纏繞角度研究復(fù)合材料傳動軸的固有頻率。Sriram等[6]設(shè)計一款復(fù)合材料傳動軸，相比鋼制傳動軸質(zhì)量大大減輕，同時提高了減振能力。馬祥禹等[7]采用理論和仿真的方法對傳動軸的扭轉(zhuǎn)特性進行了分析，結(jié)果表明所設(shè)計的傳動軸滿足剛度使用要求。種海鋒等[8]建立傳動軸有限元模型，并對復(fù)合材料傳動軸的鋪層纏繞角度、層數(shù)以及厚度進行優(yōu)化，優(yōu)化后的傳動軸實現(xiàn)了輕量化要求。

綜上可知，目前研究人員大多在宏觀層面對傳動軸的結(jié)構(gòu)以及鋪層參數(shù)進行設(shè)計，以滿足傳動軸的設(shè)計要求，但這種研究方法并不能充分發(fā)揮出復(fù)合材料“材料可設(shè)計性”的特性，即通過設(shè)計組分材料的微觀結(jié)構(gòu)來進一步提高零件的服役性能。同時，復(fù)合材料在制造過程中需滿足鋪層工藝約束，而現(xiàn)有的研究多數(shù)沒有考慮鋪層工藝要求，這就使得優(yōu)化結(jié)果往往出現(xiàn)不滿足工藝約束的情況，難以直接應(yīng)用于工程問題。

從材料-結(jié)構(gòu)-性能一體化設(shè)計角度出發(fā)，通過編程實現(xiàn)復(fù)合材料傳動軸微觀結(jié)構(gòu)的參數(shù)化建模，采用基于熱應(yīng)力法的均勻化理論預(yù)測復(fù)合材料單胞的彈性性能，考慮到復(fù)合材料的鋪層工藝約束問題，對多目標粒子群優(yōu)化(multi-objective particle swarm optimization，MOPSO)算法進行改進，最后將該一體化設(shè)計方法運用于碳纖維復(fù)合材料傳動軸的優(yōu)化設(shè)計。

1 復(fù)合材料多尺度建模及彈性性能預(yù)測

1.1 復(fù)合材料多尺度建模介紹

研究對象為單向纖維復(fù)合材料傳動軸，其多尺度結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中，微觀尺度是由纖維單絲和樹脂組成，層合板尺度是由多個單層板組成，宏觀尺度則以傳動軸為研究對象。選擇單胞的半邊長x1作為微觀設(shè)計變量，選擇每一層的鋪層角度x2～x11作為鋪層設(shè)計變量。在ABAQUS軟件中建立微觀單胞和傳動軸有限元模型，并通過Python編程實現(xiàn)各尺度有限元模型的參數(shù)化建模。

圖1 復(fù)合材料傳動軸多尺度示意圖Fig.1 Multi-scale schematic diagram of composite drive shaft

1.2 復(fù)合材料彈性性能預(yù)測

實現(xiàn)微觀單胞彈性性能的預(yù)測是復(fù)合材料傳動軸優(yōu)化設(shè)計的基礎(chǔ)，采用基于熱應(yīng)力法的均勻化理論[9]，并結(jié)合ABAQUS有限元軟件求解單胞的彈性性能參數(shù)。單胞的等效剛度矩陣Dijmn可以表示為

(1)

ABAQUS軟件中位移函數(shù)的求解可以通過施加熱應(yīng)力的方式來實現(xiàn)，其中應(yīng)變與溫度差的關(guān)系式如式(2)所示。

εmn=-pmn·Δt

(2)

式中：pmn為熱膨脹系數(shù)；Δt為溫度差。

整理式(1)可得：

Dijmn=

(3)

在式(3)中，保持m、n不變，改變i、j的值，可求出單胞的等效剛度矩陣Dijmn。

本文研究的是T700/5015環(huán)氧樹脂單向纖維復(fù)合材料，單向纖維和樹脂的材料屬性如表1所示[10]。其中，單向纖維等效為橫觀各向同性材料[11]，樹脂等效為各向同性材料。

表1 力學(xué)性能參數(shù)

在單向纖維復(fù)合材料微觀單胞類型的選擇過程中，首先根據(jù)電子顯微鏡(JSM-IT300LA型)觀察T700/5015環(huán)氧樹脂單向纖維復(fù)合材料的微觀結(jié)構(gòu)，獲取真實微觀模型，通過近似處理獲得等效模型，再對等效模型進行單胞劃分，最終得如圖1中所示的正方形單胞[10]，單胞的幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖2所示。其中：l為單胞的邊長，l=1.5 mm；rf為纖維單絲半徑，rf=0.38 mm；h為單胞厚度，h=0.5 mm。

在ABAQUS軟件中調(diào)用Fortran子程序完成熱應(yīng)力的添加，通過對單胞中對應(yīng)主從面施加多點約束(multi-point constraints，MPC)實現(xiàn)周期性邊界條件的添加，并定義6種不同分析步用來施加不同熱應(yīng)力工況，計算不同熱應(yīng)力工況下等效應(yīng)力Sij(ij=11、22、33、12、13、23)求解單胞的彈性參數(shù)。6種不同熱應(yīng)力工況下的單胞等效應(yīng)力云圖如圖3所示。

圖2 單胞幾何參數(shù)示意圖Fig.2 Schematic diagram of single-cell geometry parameters

(a) 等效應(yīng)力S11

(d) 等效應(yīng)力S12

通過Python編程讀取計算結(jié)果文件中的應(yīng)力與應(yīng)變信息，計算單胞的等效剛度矩陣，并將彈性參數(shù)的計算結(jié)果與試驗值[10]進行對比，如表2所示。從表2可以看出，基于熱應(yīng)力法的均勻化理論獲得的彈性性能數(shù)值與試驗值差異不大，最大誤差(3.03%)出現(xiàn)在泊松比處，最小誤差(0.59%)出現(xiàn)在剪切模量處。考慮到試驗本身存在的誤差，可認為采用基于熱應(yīng)力法的均勻化理論能較為準確地預(yù)測出單胞的彈性性能。

表2 熱應(yīng)力法所得計算值和試驗值對比

2 碳纖維復(fù)合材料汽車傳動軸性能分析

2.1 傳動軸設(shè)計要求

研究對象為某公司的lzw6446jy型汽車傳動軸的軸管部分，軸管的基本尺寸為長度1 040 mm、內(nèi)徑35 mm、厚度2.5 mm。傳動軸所承受的最大扭矩為1 120 N·m，工作最高轉(zhuǎn)速為6 000 r/min，一階固有頻率不小于150 Hz，原鋼制傳動軸質(zhì)量為15.509 kg，軸管質(zhì)量為5.651 kg。

在傳動軸設(shè)計過程中：作為汽車中主要的傳動部件，傳動軸主要承受扭轉(zhuǎn)工況，其扭轉(zhuǎn)剛度必須要達到設(shè)計要求；而汽車在行駛的過程中，高速運轉(zhuǎn)的傳動軸會產(chǎn)生一定的振動，在傳動軸對應(yīng)轉(zhuǎn)速頻率下可能會出現(xiàn)共振的情況，這不僅會影響汽車整體的平穩(wěn)性，也會降低傳動軸的使用壽命。因此，在復(fù)合材料傳動軸的設(shè)計過程中，要保證傳動軸的扭轉(zhuǎn)剛度和一階固有頻率在滿足設(shè)計要求的情況下進行輕量化設(shè)計。

2.2 扭轉(zhuǎn)剛度分析

衡量傳動軸扭轉(zhuǎn)剛度的指標是單位長度扭轉(zhuǎn)角，計算公式如式(4)所示。

(4)

式中：φ為傳動軸扭轉(zhuǎn)角，(°)；L為傳動軸長度，m；Tm為最大扭矩，N·m；G為剪切模量，MPa；IP為慣性矩，kg·m2。

在ABAQUS軟件中建立傳動軸的有限元模型，同時在傳動軸一端施加扭矩T，另一端采用固支邊界條件。圖4為傳動軸的有限元模型及約束示意圖。

圖4 傳動軸有限元模型及約束示意圖Fig.4 Finite element model and constraint diagram of drive shaft

為探究復(fù)合材料中纖維體積分數(shù)以及鋪層纏繞角度對復(fù)合材料傳動軸扭轉(zhuǎn)性能的影響，在保證邊界條件相同的情況下，分別改變纖維體積分數(shù)和鋪層纏繞角度進行分析。其中，在探究纖維體積分數(shù)對傳動軸扭轉(zhuǎn)性能的影響時，建立單層厚度為0.25 mm的10層層合板，層合板鋪層角度為[0° 45° 90° -45° 0° 45° 90° 0° 45° 90°]，通過改變設(shè)計變量x1的大小, 設(shè)計單胞的纖維體積分數(shù)分別為35%、40%、45%、50%、55%、60%、65%、70%、75%，進行9組仿真試驗。傳動軸的扭轉(zhuǎn)剛度與傳動軸質(zhì)量和纖維體積分數(shù)的關(guān)系如圖5所示。由圖5可知：復(fù)合材料傳動軸的單位長度扭轉(zhuǎn)角與其質(zhì)量是相互沖突的存在；當(dāng)纖維體積分數(shù)增大時，傳動軸的單位長度扭轉(zhuǎn)角顯著增大，即扭轉(zhuǎn)剛度增大，但同時需要犧牲一定的輕量化目標作為代價。

圖5 纖維體積分數(shù)對傳動軸扭轉(zhuǎn)角和質(zhì)量的影響Fig.5 Effect of fiber volume fraction on twist angle and mass of drive shaft

在探究鋪層纏繞角度對傳動軸扭轉(zhuǎn)性能的影響時，選擇纖維體積分數(shù)為51%的單向纖維復(fù)合材料，鋪層纏繞角度設(shè)計為[0°, 90°]內(nèi)每隔5°取一組角度，選用10層的層合板進行19組仿真試驗。傳動軸的扭轉(zhuǎn)剛度與鋪層纏繞角度之間的關(guān)系如圖6所示。由圖6可知：隨著鋪層纏繞角度的增大，傳動軸的單位長度扭轉(zhuǎn)角呈“先增后減”的趨勢，且當(dāng)鋪層角度為45°時，傳動軸的單位長度扭轉(zhuǎn)角最大，即扭轉(zhuǎn)剛度最大。因此，在設(shè)計時需要適當(dāng)提高45°鋪層的比例。

圖6 鋪層纏繞角度對傳動軸扭轉(zhuǎn)角的影響Fig.6 Effect of ply winding angle on twist angle of drive shaft

2.3 模態(tài)分析

在模態(tài)分析理論中，根據(jù)有限元法可得傳動軸的運動微分方程，如式(5)所示。

(5)

當(dāng)外界激勵為零時，式(5)可以寫為

(6)

式(5)對應(yīng)的特征方程為

(K-ω2M)x=0

(7)

式中：ω為傳動軸的固有頻率。

基于上述理論，在ABAQUS軟件中對復(fù)合材料傳動軸進行自由模態(tài)分析。采用與第2.2節(jié)中研究纖維體積分數(shù)與傳動軸扭轉(zhuǎn)剛度完全相同的分析方案，不同之處在于，在研究纖維體積分數(shù)及鋪層參數(shù)對傳動軸模態(tài)的影響時，需要先在有限元軟件中對傳動軸有限元模型的模態(tài)分析步驟進行設(shè)置，以探究纖維體積分數(shù)及鋪層參數(shù)對復(fù)合材料傳動軸一階固有頻率的影響。圖7為傳動軸一階固有頻率與纖維體積分數(shù)及鋪層纏繞角度的關(guān)系。

(a) 纖維體積分數(shù)

(b) 鋪層纏繞角度

由圖7可知：纖維體積分數(shù)及鋪層纏繞角度對復(fù)合材料傳動軸的固有頻率影響顯著。隨纖維體積分數(shù)的增大，傳動軸固有頻率隨之增大；隨鋪層纏繞角度的增大，傳動軸的固有頻率呈下降趨勢，當(dāng)鋪層角度超過50°時，傳動軸的固有頻率趨于穩(wěn)定，且隨鋪層纏繞角度的持續(xù)增大，固有頻率略有增大。

3 碳纖維復(fù)合材料汽車傳動軸一體化優(yōu)化設(shè)計

3.1 復(fù)合材料汽車傳動軸優(yōu)化問題定義

考慮復(fù)合材料傳動軸的扭轉(zhuǎn)剛度、模態(tài)以及輕量化等要求，以傳動軸的質(zhì)量m和單位長度扭轉(zhuǎn)角θ為優(yōu)化目標，以一階固有頻率f、蔡吳失效準則和鋪層工藝為約束，以微觀單胞半邊長x1和鋪層纏繞角度x2～x11為設(shè)計變量。各尺度設(shè)計變量示意圖如圖1所示，復(fù)合材料汽車傳動軸數(shù)學(xué)優(yōu)化模型見式(8)。

(8)

式中：X為設(shè)計變量向量，Xa、Xb分別為設(shè)計變量下、上限；M(X)為傳動軸的質(zhì)量函數(shù)；θ(X)為單位長度扭轉(zhuǎn)角函數(shù)；f(X)為傳動軸一階固有頻率函數(shù)。x1取值為5.5～8.0 mm；x2～x11每個變量有-45°、0°、45°和90°共4種鋪設(shè)角度，分別用0、1、2、3進行編碼；Nu為傳動軸第u個鋪層的纏繞角度。采用的鋪層纏繞工藝[12]約束如下：

(1) 鋪層定向原則，選擇0°、90°和±45°作為鋪層角度；

(2) 對稱鋪設(shè)原則；

(3) ±45°單層板對稱鋪設(shè)原則；

3.2 一體化優(yōu)化設(shè)計過程

以傳動軸為研究對象，開發(fā)一種單向纖維復(fù)合材料一體化優(yōu)化設(shè)計方法，優(yōu)化過程如圖8所示。首先，在ABAQUS軟件中建立單胞模型，利用Python編程實現(xiàn)微觀單胞的參數(shù)化建模，并采用基于熱應(yīng)力法的均勻化理論預(yù)測單胞的彈性性能。然后，建立復(fù)合材料傳動軸的有限元模型，利用編程實現(xiàn)微觀單胞彈性參數(shù)-傳動軸材料參數(shù)的傳遞。最后，使用基于改進的MOPSO算法對傳動軸的纖維體積分數(shù)和鋪層纏繞角度進行優(yōu)化。

圖8 復(fù)合材料傳動軸一體化優(yōu)化設(shè)計流程Fig.8 Flow chart of integrated optimization design for composite drive shaft

3.3 改進的MOPSO算法

粒子群算法中的每個粒子都對應(yīng)于設(shè)計空間中的解，通過粒子的位置和速度更新找到全局最優(yōu)解，其中粒子i的速度和位置更新公式為

vik=wvi(k-1)+c1r1(pi-xi(k-1))+
c2r2(gi-xi(k-1))

(9)

xik=xi(k-1)+vi(k-1)

(10)

式中：vik和xik分別為第k步迭代過程中粒子i的速度和位置；c1和c2分別為個體學(xué)習(xí)因子和全局學(xué)習(xí)因子；w為慣性常數(shù)；pi和gi為粒子i最優(yōu)位置和全局最優(yōu)位置；r1和r2為隨機數(shù)。

傳統(tǒng)的粒子群算法多用于解決連續(xù)變量的優(yōu)化問題，本文的傳動軸優(yōu)化案例同時包含離散和連續(xù)設(shè)計變量，且在優(yōu)化過程中需要考慮鋪層纏繞工藝的約束，需要對算法中粒子的生成和更新策略進行改進。采用基于改進的MOPSO算法流程如圖9所示。

圖9 基于改進的MOPSO算法流程圖Fig.9 Flow chart of improved MOPSO algorithm

3.4 優(yōu)化結(jié)果

采用一體化優(yōu)化設(shè)計方法對傳動軸在有、無鋪層纏繞工藝約束下進行優(yōu)化設(shè)計，使用MOPSO算法收斂后的Pareto最優(yōu)解集如圖10所示。采用最短距離法[13]從Pareto最優(yōu)解集中獲取一個理想解(圖中Knee Point)。

(a) 有鋪層纏繞工藝約束

由圖10可知：復(fù)合材料傳動軸在有、無鋪層纏繞工藝約束時優(yōu)化得到的解集具有相似的變化規(guī)律。有鋪層纏繞工藝約束得到的最優(yōu)解集扭轉(zhuǎn)剛度雖有一定程度下降，但最優(yōu)解滿足鋪層纏繞工藝；無鋪層纏繞工藝約束得到的最優(yōu)解集的輕量化程度雖略有提高，但并不滿足實際的工藝約束，不利于復(fù)合材料傳動軸的批量化生產(chǎn)。

在復(fù)合材料傳動軸一體化優(yōu)化設(shè)計過程中，考慮鋪層纏繞工藝約束時，最優(yōu)解：纖維體積分數(shù)為68.4%，鋪層角度為[45°，0°，90°，0°，-45°，45°，0°，90°，0°，-45°]。不考慮鋪層纏繞工藝約束時，最優(yōu)解：纖維體積分數(shù)為65.6%，鋪層角度為[15°，-6°，-15°，48°，72°，-36°，45°，20°，-8°，-15°]。最優(yōu)解下的傳動軸扭轉(zhuǎn)變形云圖和一階固有頻率振型如圖11和12所示。

將最優(yōu)解下的復(fù)合材料傳動軸性能與金屬(鋼制)傳動軸進行對比，結(jié)果如表3所示。由表3可知：相比金屬傳動軸，單向纖維復(fù)合材料傳動軸在滿足剛度及模態(tài)性能指標的前提下，輕量化效果顯著，其中，有、無鋪層工藝約束最優(yōu)解下的傳動軸質(zhì)量分別降低22.8%和29.4%。對比有、無鋪層工藝約束最優(yōu)解下的傳動軸性能，前者輕量化效果雖不如后者，但固有頻率更高，可有效避免共振現(xiàn)象的發(fā)生，同時有鋪層工藝約束下的最優(yōu)解可直接用于指導(dǎo)復(fù)合材料傳動軸的批量化生產(chǎn)。

[3]靳相木等：《基于三維生態(tài)足跡模型擴展的土地承載力指數(shù)研究——以溫州市為例》，《生態(tài)學(xué)報》2017年第9期。

(a) 有鋪層纏繞工藝約束

(a) 有鋪層纏繞工藝約束

表3 復(fù)合材料傳動軸與金屬傳動軸性能對比

4 結(jié) 語

針對單向纖維復(fù)合材料開發(fā)一種基于多尺度材料-結(jié)構(gòu)-性能一體化設(shè)計的通用方法，以碳纖維復(fù)合材料傳動軸為案例進行一體化優(yōu)化設(shè)計，得出的主要結(jié)論如下：

(1)建立了單向纖維復(fù)合材料微觀結(jié)構(gòu)的參數(shù)化模型，采用基于熱應(yīng)力法的均勻化理論實現(xiàn)單胞彈性性能參數(shù)的預(yù)測，利用編程實現(xiàn)各尺度材料參數(shù)的傳遞。

(2)考慮復(fù)合材料鋪層纏繞工藝的約束，對MOPSO算法中粒子的生成和更新方式進行改進，提高了算法的工程應(yīng)用價值。

(3)采用開發(fā)的材料-結(jié)構(gòu)-性能一體化設(shè)計方法，以碳纖維復(fù)合材料傳動軸為優(yōu)化案例，結(jié)果表明，相比原鋼制傳動軸，碳纖維復(fù)合材料制成的傳動軸的質(zhì)量減輕了22.8%，輕量化效果顯著，同時該一體化設(shè)計方法可有望應(yīng)用于汽車其他零部件的輕量化設(shè)計。