翁飛翔， 鄭 成， 王慶霞

(東華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 201620)

起重機(jī)作為一種搬運(yùn)機(jī)械，在工業(yè)生產(chǎn)中占據(jù)著重要的地位。但國內(nèi)的橋式起重機(jī)(簡稱“橋機(jī)”)存在著材料浪費(fèi)問題[1]，即采用更大的結(jié)構(gòu)尺寸來保證較高的強(qiáng)度、剛度、可靠度等。此外，由于金屬結(jié)構(gòu)占橋機(jī)60%～80%的質(zhì)量，所以在保證安全使用的前提下實(shí)現(xiàn)橋機(jī)金屬結(jié)構(gòu)的輕量化，可以大幅度減少成本。目前橋機(jī)金屬結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)的相關(guān)研究與應(yīng)用存在著局限性。程麗珠[2]針對橋機(jī)主梁進(jìn)行分析和優(yōu)化，但在分析中將各結(jié)構(gòu)參數(shù)及載荷看作定值。這種研究仍停留在傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化上，即基于確定性條件進(jìn)行優(yōu)化，忽略了參數(shù)在實(shí)際條件下的變化，難以保證結(jié)果可靠。孟文俊等[3]采用可靠性分析對可靠度影響較大的參數(shù)設(shè)為設(shè)計(jì)變量并進(jìn)行確定性優(yōu)化，但未實(shí)現(xiàn)可靠性優(yōu)化。杜習(xí)超等[1]考慮橋機(jī)主梁截面參數(shù)和載荷的隨機(jī)性，建立可靠性優(yōu)化模型并進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，在一定程度上考慮隨機(jī)性，但設(shè)計(jì)結(jié)果往往處于邊界條件，因此不具備穩(wěn)健性。Fan等[4]基于有限元仿真數(shù)據(jù)建立橋機(jī)性能函數(shù)的Kriging代理模型，并將其用于可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)，雖然滿足所有可靠性要求，大大提高計(jì)算效率，但還是未將穩(wěn)健性納入設(shè)計(jì)之中。穩(wěn)健性作為一種衡量產(chǎn)品敏感度的參數(shù)，對產(chǎn)品的安全性具有較大影響，因此近年來諸多學(xué)者對穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法進(jìn)行研究，并取得了一定成果。張英等[5]在確定性優(yōu)化的基礎(chǔ)上，結(jié)合響應(yīng)面近似模擬技術(shù)、蒙特卡洛法和6σ穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)理論，構(gòu)建橋機(jī)的穩(wěn)健優(yōu)化模型，并采用自適應(yīng)模擬退火算法進(jìn)行求解，在降低橋機(jī)結(jié)構(gòu)自重的同時(shí)，減小優(yōu)化結(jié)果對設(shè)計(jì)變量及噪聲波動的敏感性。Lee等[6]提出一種混合穩(wěn)健優(yōu)化方法，在建立的高頻結(jié)構(gòu)仿真模型的基礎(chǔ)上，采用遺傳粒子群優(yōu)化算法更新設(shè)計(jì)變量，通過正交陣列的噪聲測試評估結(jié)果，提高給定成本下的手機(jī)金屬框架天線的穩(wěn)健性。Yoon等[7]采用罰函數(shù)法解決傳統(tǒng)田口方法的缺陷，提出一種有效的穩(wěn)健優(yōu)化方法，并將其用于無刷直流電油泵的設(shè)計(jì)，降低齒槽轉(zhuǎn)矩及其脈沖波動，并提高這兩者的穩(wěn)健性。

可靠性與穩(wěn)健性均能夠在一定程度上影響橋機(jī)的工作能力與安全性能，所以綜合可靠性和穩(wěn)健性的輕量化設(shè)計(jì)具有極大的研究與應(yīng)用價(jià)值。在保證橋機(jī)金屬結(jié)構(gòu)具備一定的可靠性和穩(wěn)健性的條件下，減小結(jié)構(gòu)重量，可以在很大程度上降低維修管理費(fèi)用和人工成本，提高橋機(jī)的安全性。

本文以橋機(jī)作為研究對象，運(yùn)用APDL語言建立整機(jī)的參數(shù)化模型并加以分析；根據(jù)確定性優(yōu)化模型，利用OPT模塊進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)；在考慮各參數(shù)隨機(jī)性的前提下，運(yùn)用PDS模塊對確定性優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行可靠度分析；最后，建立考慮可靠度的橋機(jī)主梁金屬結(jié)構(gòu)穩(wěn)健優(yōu)化模型，采用MATLAB軟件進(jìn)行優(yōu)化，在滿足可靠度和穩(wěn)健性條件下實(shí)現(xiàn)輕量化設(shè)計(jì)。

1 橋機(jī)金屬結(jié)構(gòu)建模分析

橋機(jī)主梁為箱梁結(jié)構(gòu)，截面如圖1所示。橋機(jī)額定起重量為125 000 N，主梁長度為22.5 m，運(yùn)行大車基距為4.4 m，運(yùn)行小車基距為2.4 m、軌距為2 m，吊鉤重量為1 500 N，附屬結(jié)構(gòu)重量為50 000 N，小車重量為62 120 N。初始主梁的翼板厚度T1= 0.008 m，腹板厚度T2=0.006 m，腹板高度H0=1.35 m，腹板內(nèi)壁間距B0=0.44 m。圖1中的“B0+0.06”為翼板寬度，其中的0.06 m為翼板兩側(cè)的伸出總長度。

圖1 主梁截面簡圖Fig.1 Schematic diagram of girder section

使用APDL語言在ANSYS軟件中選擇BEAM188單元建立橋機(jī)整體的參數(shù)化模型，其中包括438個(gè)節(jié)點(diǎn)和216個(gè)單元。起升狀態(tài)級別為HC2，最危險(xiǎn)工況為小車位于跨中滿載下降制動，同時(shí)大車平穩(wěn)制動。起重量、吊鉤重量和小車重量以集中載荷的形式由小車車輪施加在主梁上，附加結(jié)構(gòu)重量和橋機(jī)自身重量以均布載荷的形式施加，端梁兩端均采用鉸接約束。最危險(xiǎn)工況下橋機(jī)金屬結(jié)構(gòu)的變形和等效應(yīng)力云圖如圖2所示。

由圖2可知，主梁實(shí)際最大撓度Dmax為圖2(a)顯示的最大撓度值減去主梁端部的變形值，即Dmax=0.018 21 m，最大等效應(yīng)力σmax=94.9×106Pa。根據(jù)GB/T 3811—2008[8]，結(jié)構(gòu)材料Q235的控制應(yīng)力為140.3×106Pa，許用撓度為0.030 m。

由此可見，主梁的強(qiáng)度、剛度在最危險(xiǎn)工況下均符合要求，且有較大安全余量，即其結(jié)構(gòu)存在優(yōu)化空間，從而實(shí)現(xiàn)減重。

(a) 變形圖

(b) 等效應(yīng)力云圖

2 橋機(jī)主梁確定性優(yōu)化

2.1 確定性優(yōu)化模型

對于橋機(jī)主梁截面，選擇腹板高度、腹板內(nèi)壁間距、翼板厚度、腹板厚度作為設(shè)計(jì)變量，以橋機(jī)金屬結(jié)構(gòu)總體積V最小為目標(biāo)，控制約束條件如下：

(1)

式中：[δ]為許用撓度，[δ]=0.030 m； [σ]k為控制應(yīng)力，[σ]k=140.3×106Pa；σs為屈服應(yīng)力，σs=235×106Pa。

表1 幾何約束參數(shù)Table 1 Geometric constraint parameters m

2.2 優(yōu)化結(jié)果及分析

運(yùn)用ANSYS的OPT模塊對2.1節(jié)優(yōu)化模型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化算法選擇為ANSYS自帶的零階算法，優(yōu)化結(jié)果如表2所示。體積優(yōu)化迭代過程如圖3所示，共迭代49次，最優(yōu)解出現(xiàn)在第49次迭代。

表2 設(shè)計(jì)變量優(yōu)化結(jié)果Table 2 Optimization result of design variables m

圖3 體積優(yōu)化迭代過程圖Fig.3 Iteration process diagram of volume optimization

優(yōu)化完成后，由于考慮到實(shí)際制造加工的限制要求，對設(shè)計(jì)變量優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行圓整。T1和T2圓整時(shí)以0.002 m為間隔，B0宜取為0.01 m的倍數(shù)，H0化整時(shí)尾數(shù)取為0.05 m的倍數(shù)[9]。根據(jù)圓整的設(shè)計(jì)變量優(yōu)化結(jié)果，通過ANSYS軟件分析得到：主梁的最大應(yīng)力為120.2×106Pa，小于控制應(yīng)力[σ]k，跨中最大撓度為0.027 82 m，小于許用撓度[δ]，滿足GB/T 3811—2008[8]對強(qiáng)度和剛度的要求，同時(shí)實(shí)現(xiàn)主梁體積下降11.98%。

3 橋機(jī)主梁可靠性分析

確定性優(yōu)化將設(shè)計(jì)變量當(dāng)作一個(gè)確定值，并未考慮制造、環(huán)境等影響參數(shù)的可變性、隨機(jī)性，所以設(shè)計(jì)結(jié)果難以保證可靠性，因此有必要對設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行概率分析，驗(yàn)算其可靠性。

3.1 可靠性分析法

3.1.1 結(jié)構(gòu)可靠度

結(jié)構(gòu)的可靠度為在規(guī)定時(shí)間內(nèi)和規(guī)定條件下結(jié)構(gòu)完成預(yù)期功能的概率。結(jié)構(gòu)是否能完成各項(xiàng)功能則由其極限狀態(tài)來衡量。為了描述結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)而引入功能函數(shù)，若X=[x1，x2，…，xn]為影響結(jié)構(gòu)某功能的隨機(jī)變量，則定義該功能的函數(shù)Z為

Z=g(X)=R(X)-S(X)

(2)

式中：R(X)為抗力；S(X)為載荷效應(yīng)。

由式(2)可知，結(jié)構(gòu)某功能的可靠度即Z≥0的概率。

3.1.2 蒙特卡洛法(Monte Carlo method， MCM)

MCM是一種概論分析方法，在建立的功能函數(shù)上通過對隨機(jī)變量進(jìn)行抽樣，計(jì)算功能函數(shù)值，得到目標(biāo)概率。MCM主要依據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的兩個(gè)基本定律，即切比雪夫大數(shù)定律和伯努利大數(shù)定律，所以MCM在樣本足夠時(shí)具有較高精度，同時(shí)其收斂性與變量維度無關(guān)，可以依靠計(jì)算機(jī)的強(qiáng)大計(jì)算能力抽取足夠的樣本總數(shù)，從而計(jì)算出具有較高精度的可靠度。

根據(jù)MCM，可靠度(r)的計(jì)算式為

(3)

式中：N0為抽樣總數(shù)中滿足式(2)中Z≥0的個(gè)數(shù)；n為抽樣總個(gè)數(shù)。

3.2 隨機(jī)參數(shù)確定

(1) 幾何模型參數(shù)。由于現(xiàn)代加工手段以及裝配手段等都不具備絕對的準(zhǔn)確性，所以幾何參數(shù)應(yīng)當(dāng)做隨機(jī)量考慮[3]。將公稱尺寸定義為變量均值，按照3σ原則，取Δx/3為標(biāo)準(zhǔn)差，其中Δx與加工方法有關(guān)，冷軋取Δx1=0.000 25 m，火焰切割取Δx2=0.001 50 m[10]。

(2) 材料屬性參數(shù)。目前我國鋼材的屈服強(qiáng)度(σs)一般只能保證其中90%不小于規(guī)定值，即屈服強(qiáng)度的變異系數(shù)Vc=0.05，彈性模量(E)和密度(ρ)的變異系數(shù)Vc=0.03[10]。

(3) 起升載荷參數(shù)。參照同類起重機(jī)的使用數(shù)據(jù)，起升載荷的均值系數(shù)為0.467，標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)為0.308[1]。同時(shí)，采用0.05的顯著性水平，橋機(jī)的起重量(P)可以接受對數(shù)正態(tài)的假設(shè)檢驗(yàn)[11]。

各參數(shù)的分布信息如表3所示。

表3 隨機(jī)變量的分布參數(shù)Table 3 The distribution parameters of the random variables

3.3 可靠性分析結(jié)果及分析

運(yùn)用ANSYS的PDS模塊，采用MCM下的拉丁超立方抽樣進(jìn)行概率設(shè)計(jì)，結(jié)果顯示，在置信水平95%時(shí)，橋機(jī)主梁的剛度可靠度為95.982%，強(qiáng)度可靠度為99.673%。根據(jù)可靠度許用值為98%[1]，可見剛度可靠度未滿足要求，說明了確定性優(yōu)化難以滿足可靠性的要求，所以有必要在優(yōu)化設(shè)計(jì)中考慮可靠性。

4 考慮可靠度的橋機(jī)主梁穩(wěn)健優(yōu)化

4.1 考慮可靠度的穩(wěn)健優(yōu)化模型及其變換

4.1.1 考慮可靠度的穩(wěn)健優(yōu)化模型

目標(biāo)函數(shù)為橋機(jī)主梁截面積(f1)，如式(4)所示。

f1=2[T1·(B0+0.06)+T2·H0]

(4)

參照上文中的約束條件式(1)，建立考慮可靠度的約束條件如下：

(5)

式中:[R]為許用可靠度，[R]=98%；Rδ為剛度可靠度，Rδ=P{[δ]-Dmax≥0}，Dmax如式(6)所示；Rσ為強(qiáng)度可靠度，Rσ=P{[σ]k-σmax≥0}，σmax如式(7)所示。

(6)

(7)

式中：Q為主梁上總的移動載荷，由起重量P、吊鉤重量和小車重量構(gòu)成；Iz為繞中性軸的慣性矩；Mmax為跨中最大彎矩，由起重量、吊鉤重量、小車重量和自重引起；W為截面抗彎模量。

可靠度的計(jì)算采用MCM在MATLAB平臺完成，抽樣總數(shù)為600 000。

同時(shí)用靈敏度法[12]引入穩(wěn)健設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)附加項(xiàng)，減小目標(biāo)函數(shù)對設(shè)計(jì)變量的靈敏度，從而實(shí)現(xiàn)穩(wěn)健設(shè)計(jì)。這里構(gòu)造僅考慮目標(biāo)函數(shù)的附加項(xiàng)(f2)如下：

(8)

式中：xi為設(shè)計(jì)變量，即T1、T2、B0、H0；δi為設(shè)計(jì)變量的容差，此處分別取為0.001、 0.001、 0.005、 0.010 m。

最后聯(lián)立式(4)、(5)、(8)，可得考慮可靠度的橋機(jī)主梁穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型為

(9)

4.1.2 數(shù)學(xué)模型變換

對于式(9)所示的多目標(biāo)帶約束問題，往往將其轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)無約束問題后再優(yōu)化求解。

首先運(yùn)用評價(jià)函數(shù)法中的組合賦權(quán)法[13]將多目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造成單目標(biāo)函數(shù)如下：

f=w1·f1+w2·f2

(10)

wi=α·ai+(1-α)·bi(i=1， 2)

(11)

式中：f為無量綱的組合目標(biāo)函數(shù)；α根據(jù)決策者的偏好信息來確定，取決于對賦權(quán)法的偏重，此處取為0.5；ai為主觀權(quán)重，根據(jù)各目標(biāo)的重要程度確定，a1=0.7，a2=0.3；bi為客觀權(quán)重。

采用均差排序法[14]計(jì)算客觀權(quán)重bi：

式中：ci為第i個(gè)目標(biāo)關(guān)于各個(gè)極小點(diǎn)的離差，ci=fi(xj)-fi(xi)，(i≠j)；xi、xj分別為目標(biāo)函數(shù)fi、fj的極小點(diǎn)。

將上述參數(shù)值代入式(11)得：w1=0.374 5，w2=0.625 5。

將w1和w2代入式(10)可得：

f=0.374 5·f1+0.625 5·f2

(12)

其次，構(gòu)造外罰函數(shù)[15]去除約束條件(5)，則數(shù)學(xué)模型變?yōu)?/p>

minF=f+p

(13)

式中：F為外罰函數(shù)；p為懲罰值，當(dāng)約束條件(5)中存在任意一個(gè)條件失效，p為一正數(shù)，否則p為零。

綜上可知，最后的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼鈫文繕?biāo)函數(shù)F的最小值。

4.2 模型求解及結(jié)果對比

在MATLAB軟件平臺上搭建GUI界面，采用基于改進(jìn)遺傳算法的粒子群算法對式(13)進(jìn)行優(yōu)化求解，結(jié)果如圖4所示。

將圖4中求得的最優(yōu)點(diǎn)圓整：T1=0.008 m，T2=0.006 m，B0=0.430 m，H0=1.200 m。

圖4 GUI下的迭代信息Fig.4 Iterative information under GUI

對圓整結(jié)果進(jìn)行分析，橋機(jī)的最大應(yīng)力為111.2×106Pa，最大撓度為0.024 46 m，剛度和強(qiáng)度可靠度分別為98.03%和99.86%，因此兩者均滿足要求，且實(shí)現(xiàn)主梁體積下降8.26%。

運(yùn)用一階靈敏度函數(shù)[16]求解結(jié)構(gòu)參數(shù)對輸出響應(yīng)(剛度和強(qiáng)度)的靈敏度，即式(6)中的Dmax和式(7)中的σmax分別對結(jié)構(gòu)參數(shù)T1、T2、B0、H0求偏導(dǎo)，結(jié)果如表4所示。

表4 設(shè)計(jì)結(jié)果的靈敏度對比Table 4 Comparison of design results’ sensitivity

由表4數(shù)據(jù)進(jìn)行再計(jì)算可得，相比較確定性優(yōu)化而言，考慮可靠度的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)的剛度對T1、T2、B0、H0的靈敏度絕對值分別降低12.80%、11.88%、16.57%、16.10%，強(qiáng)度對T1、T2、B0、H0的靈敏度絕對值分別降低8.35%、13.15%、12.11%、12.28%。由此可見，考慮可靠度的穩(wěn)健設(shè)計(jì)的靈敏度絕對值均實(shí)現(xiàn)不同程度的降低，且至少降低8.35%，即在一定程度上實(shí)現(xiàn)穩(wěn)健目的。

5 結(jié) 語

針對橋機(jī)主梁進(jìn)行了參數(shù)化建模，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行靜力學(xué)分析與確定性優(yōu)化，在對確定性優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行可靠性分析時(shí)，發(fā)現(xiàn)其剛度可靠度未滿足要求。于是將可靠度納入約束條件，運(yùn)用靈敏度法和蒙特卡洛法建立考慮可靠度的橋機(jī)主梁穩(wěn)健優(yōu)化模型，并采用評價(jià)函數(shù)法和外罰函數(shù)法對模型進(jìn)行轉(zhuǎn)化便于編程運(yùn)算，最后通過智能優(yōu)化算法進(jìn)行求解。結(jié)果顯示，在實(shí)現(xiàn)體積下降8.26%的同時(shí)，考慮可靠度的穩(wěn)健優(yōu)化的設(shè)計(jì)結(jié)果與確定性優(yōu)化相比，前者各項(xiàng)靈敏度絕對值至少降低8.35%，且強(qiáng)度、剛度的可靠度分別為99.86%和98.03%，均大于可靠度許用值(98%)。由此表明，本文提出的考慮可靠度的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)可以實(shí)現(xiàn)輕量化目的和可靠性要求，且在一定程度上達(dá)到穩(wěn)健目的。由于在設(shè)計(jì)過程中考慮的隨機(jī)變量并不充分，在后續(xù)的研究中可以引入更多的隨機(jī)參數(shù)來完善優(yōu)化設(shè)計(jì)，同時(shí)本文將隨機(jī)參數(shù)視作獨(dú)立變量，未考慮它們的相關(guān)性，后續(xù)的研究也可從這一方面做深入探討。