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        通過(guò)代數(shù)運(yùn)算研究數(shù)列建立數(shù)列模型解決問(wèn)題

        2021-11-03 03:15:16章建躍
        數(shù)學(xué)通報(bào) 2021年9期
        關(guān)鍵詞:性質(zhì)數(shù)學(xué)研究

        章建躍

        (人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

        在處理現(xiàn)實(shí)中的變化問(wèn)題(例如存款利率、購(gòu)房貸款、放射性物質(zhì)的衰變、人口增長(zhǎng)等)時(shí),通常采用按時(shí)序間隔一定時(shí)間記錄數(shù)據(jù)的方法收集數(shù)據(jù).如果將第n次記錄的數(shù)據(jù)表示為an,那么就得到了一個(gè)數(shù)列:a1,a2,a3,…,an,….以函數(shù)的觀點(diǎn)看,因?yàn)槊恳淮斡涗浀臄?shù)據(jù)都是唯一確定的,所以我們可把時(shí)間作為自變量進(jìn)行數(shù)學(xué)建模,得出相應(yīng)的函數(shù)模型以刻畫(huà)變化規(guī)律.所以,數(shù)列是一類(lèi)特殊的函數(shù).與函數(shù)的研究?jī)?nèi)容、過(guò)程和方法類(lèi)似,高中階段對(duì)數(shù)列的研究也是以“背景——概念(定義、表示、分類(lèi))——性質(zhì)——特例”為基本架構(gòu),其中“特例”是指等差數(shù)列、等比數(shù)列這兩類(lèi)有明確的現(xiàn)實(shí)背景、可以給出精確的規(guī)律表達(dá)、在解決實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題中有重要應(yīng)用價(jià)值的數(shù)列,對(duì)它們的研究按照“背景——概念——表示——性質(zhì)——求和公式——應(yīng)用”的路徑展開(kāi).其中,數(shù)列求和是數(shù)列這一對(duì)象的獨(dú)特研究?jī)?nèi)容,不僅與現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活聯(lián)系緊密,自古以來(lái)都是人們感興趣的話題,求和過(guò)程中需要的代數(shù)變形技巧對(duì)人的智力具有挑戰(zhàn)性,因此非常引人入勝,而且其中蘊(yùn)含著差分、微積分等基本思想,從而使數(shù)列成為研究函數(shù)問(wèn)題的一個(gè)有力工具.在研究方法上,一列數(shù)中蘊(yùn)含的規(guī)律一般是從具體到抽象,通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律,通過(guò)代數(shù)推理證明規(guī)律,因而具有鮮明的代數(shù)特點(diǎn).數(shù)列的學(xué)習(xí)能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng).下面根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(簡(jiǎn)稱“課程標(biāo)準(zhǔn)”)的要求,討論數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)立意的數(shù)列教材與教學(xué)問(wèn)題.

        1 課程定位

        課程標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為,數(shù)列是一類(lèi)特殊的函數(shù),是數(shù)學(xué)重要的研究對(duì)象,是研究其他類(lèi)型函數(shù)的基本工具,在日常生活中也有著廣泛的應(yīng)用.本單元的學(xué)習(xí),可以幫助學(xué)生通過(guò)對(duì)日常生活中實(shí)際問(wèn)題的分析,了解數(shù)列的概念;探索并掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的變化規(guī)律,建立通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式;能運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題,感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實(shí)意義與應(yīng)用;了解等差數(shù)列與一元一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系,感受數(shù)列與函數(shù)的共性與差異,體會(huì)數(shù)學(xué)的整體性.本單元課程內(nèi)容包括:數(shù)列概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法.

        分析上述表述可以發(fā)現(xiàn),課程標(biāo)準(zhǔn)特別強(qiáng)調(diào)數(shù)列的函數(shù)屬性,不僅強(qiáng)調(diào)它是一類(lèi)特殊的函數(shù),而且要求把等差數(shù)列、等比數(shù)列分別和一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來(lái),由此感受數(shù)列與函數(shù)的共性和差異.事實(shí)上,對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)y=f(x),x∈A,只要N?A,那么f(1),f(2),f(3),……就是一個(gè)數(shù)列.不過(guò),數(shù)列的研究?jī)?nèi)容和方法還是有自己的特性.例如,對(duì)于函數(shù)的研究,對(duì)應(yīng)關(guān)系、圖象與性質(zhì)是主題,研究方法上強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合,幾何直觀是非常重要的手段;而數(shù)列的研究中,通項(xiàng)公式(相應(yīng)于函數(shù)的解析式)、求和公式是重點(diǎn),更強(qiáng)調(diào)通過(guò)代數(shù)運(yùn)算解決問(wèn)題,其中數(shù)列的迭代問(wèn)題是非常重要的.

        如何理解“數(shù)列是研究其他類(lèi)型函數(shù)的基本工具”?確切地說(shuō),在研究函數(shù)的變化規(guī)律時(shí),一般是通過(guò)離散的形式(數(shù)列),用數(shù)列的極限研究函數(shù),這一點(diǎn)在高等數(shù)學(xué)中才能表現(xiàn)清楚.另外,如前所述,研究一個(gè)現(xiàn)實(shí)中的變化問(wèn)題,往往要從處理這個(gè)變化過(guò)程中的數(shù)據(jù)入手,這些數(shù)據(jù)一定都是離散的,處理數(shù)據(jù)要用數(shù)列這個(gè)工具.

        與函數(shù)的研究類(lèi)似,對(duì)數(shù)列的研究,也是在了解數(shù)列的一般概念基礎(chǔ)上,著重對(duì)有規(guī)律的、在現(xiàn)實(shí)中有大量應(yīng)用的數(shù)列——等差數(shù)列、等比數(shù)列展開(kāi)研究.

        2 本單元內(nèi)容與要求

        1.數(shù)列概念

        通過(guò)日常生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例,了解數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式),了解數(shù)列是一種特殊函數(shù).

        2.等差數(shù)列

        (1)通過(guò)生活中的實(shí)例,理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.

        (2)探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.

        (3)能在具體的問(wèn)題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系,并解決相應(yīng)的問(wèn)題.

        (4)體會(huì)等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系.

        3.等比數(shù)列

        (1)通過(guò)生活中的實(shí)例,理解等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.

        (2)探索并掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.

        (3)能在具體的問(wèn)題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系,并解決相應(yīng)的問(wèn)題.

        (4)體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

        4.*數(shù)學(xué)歸納法

        了解數(shù)學(xué)歸納法的原理,能用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列中的一些簡(jiǎn)單命題.

        從課程標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)容和要求中可以發(fā)現(xiàn),對(duì)數(shù)列的研究,重點(diǎn)在等差數(shù)列和等比數(shù)列,當(dāng)然要在了解數(shù)列的一般概念和表示的基礎(chǔ)上.課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的等差數(shù)列、等比數(shù)列內(nèi)容和要求是同構(gòu)的,因此兩者的教材結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)過(guò)程具有很強(qiáng)的可類(lèi)比性.這兩類(lèi)數(shù)列是最基本而有用的,對(duì)它們的概念、取值規(guī)律與應(yīng)用的研究,將為學(xué)生研究其他類(lèi)型的數(shù)列提供工具——我們往往通過(guò)代數(shù)變形將其他類(lèi)型的數(shù)列化歸為等差或等比數(shù)列.“等差”、“等比”的規(guī)律具有非常豐富的表現(xiàn)形式,理解并能運(yùn)用這些規(guī)律解決問(wèn)題,需要有比較強(qiáng)的代數(shù)思維、推理和運(yùn)算能力.

        等差數(shù)列、等比數(shù)列的許多結(jié)論,例如通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等,都是通過(guò)不完全歸納法得出的,其正確性需要利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)上是把一個(gè)涉及無(wú)窮的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)遞推關(guān)系命題P(n)?P(n+1),通過(guò)具體例子讓學(xué)生明白第二步要證明的是一個(gè)新命題:以P(n)為條件,推出P(n+1),這是重點(diǎn),也是難點(diǎn).

        3 本單元的內(nèi)容理解與教學(xué)思考

        3.1 研究路徑的構(gòu)建

        與函數(shù)的整體架構(gòu)完全類(lèi)似,本單元包括數(shù)列的一般概念和特殊的數(shù)列兩部分,按照研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路展開(kāi),即:

        數(shù)列的事實(shí)——數(shù)列的概念(定義、表示、分類(lèi))——數(shù)列的性質(zhì).

        其中,數(shù)列的表示有通項(xiàng)公式、圖象、表格、列舉、遞推公式等等,遞推公式體現(xiàn)了數(shù)列的迭代特點(diǎn),是一種重要形式.

        等差數(shù)列與等比數(shù)列的研究路徑是:

        事實(shí)——概念——通項(xiàng)公式——性質(zhì)——前n項(xiàng)和公式——應(yīng)用.

        等差數(shù)列的性質(zhì)本質(zhì)上是自然數(shù)及其運(yùn)算的性質(zhì),特別是“平均數(shù)”,其特例是等差中項(xiàng);等比數(shù)列的性質(zhì)本質(zhì)上是指數(shù)冪及其運(yùn)算的性質(zhì),其特例是等比中項(xiàng).具體的將在后面闡釋.

        3.2 研究數(shù)列這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的一般觀念是“運(yùn)算”

        代數(shù)學(xué)的根源在于運(yùn)算,運(yùn)算是發(fā)現(xiàn)和證明數(shù)列所蘊(yùn)含規(guī)律的基本手段.例如,三角形數(shù)、正方形數(shù)、五邊形數(shù)、……的規(guī)律.

        三角形數(shù)

        正方形數(shù)

        五邊形數(shù)

        以運(yùn)算的方式對(duì)這些多邊形數(shù)進(jìn)行表達(dá),規(guī)律就非常明顯.

        三角形數(shù):1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,…

        其中蘊(yùn)含的規(guī)律是a1=1,an=an-1+n(n>1,n∈N);

        正方形數(shù):1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,…

        其中蘊(yùn)含的規(guī)律是a1=1,an=an-1+(2n-1) (n>1,n∈N);

        五邊形數(shù):1,1+4,1+4+7,1+4+7+10,…

        其中蘊(yùn)含的規(guī)律是a1=1,an=an-1+(3n-2) (n>1,n∈N);

        ……

        由此可以容易地得到任意的k邊形數(shù)的排列規(guī)律:

        a1=1,an=an-1+(k-2)n-(k-3) (n>1,n∈N).

        分析“等差數(shù)列”這個(gè)詞可以發(fā)現(xiàn),“等差”是先通過(guò)減法運(yùn)算發(fā)現(xiàn)“差相等”,然后再用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)這個(gè)規(guī)律而形成的;同樣,“等比數(shù)列”中的“等比”也是通過(guò)除法運(yùn)算發(fā)現(xiàn)“比相等”,再用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)這個(gè)規(guī)律而形成的.

        等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì),基本而重要的是數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)之間確定的關(guān)系,可以拓展到項(xiàng)與和、和與和的關(guān)系,本質(zhì)上是“運(yùn)算中的不變性、規(guī)律性”,所以發(fā)現(xiàn)這種關(guān)系要依靠代數(shù)運(yùn)算.

        3.3 如何幫助學(xué)生建立數(shù)列的基本概念

        建立數(shù)列的一般概念,其困難在于想到在數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)之間建立聯(lián)系.數(shù)列中的每一項(xiàng)都有特定的位置,同樣的一些數(shù),順序變了就是不同的數(shù)列.因此給定一個(gè)序號(hào)(即“數(shù)列中的第幾位”)就有唯一確定的數(shù)與之對(duì)應(yīng),這表明“數(shù)列是一類(lèi)特殊的函數(shù)”.

        為了引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)列的上述本質(zhì)特征,人教A版先引入數(shù)學(xué)符號(hào)(hi或si)表示數(shù)列中的數(shù),再揭示下標(biāo)i的數(shù)學(xué)含義:下標(biāo)i表示數(shù)列中的數(shù)按一定順序排列時(shí)的位置,或者說(shuō)第i個(gè)位置的數(shù)只能是hi,這就從數(shù)學(xué)的角度說(shuō)明了數(shù)列中的數(shù)是不能交換位置的,從而明確具體實(shí)例的本質(zhì)特征——“具有確定順序的一列數(shù)”,然后順理成章地抽象出數(shù)列的一般形式{an},并用符號(hào)表示為an=f(n),從而與函數(shù)概念建立聯(lián)系.以下是人教A版構(gòu)建的數(shù)列概念形成過(guò)程:

        1.具體實(shí)例的分析

        用數(shù)學(xué)的方式分析3個(gè)實(shí)例(生活、科學(xué)、數(shù)學(xué)),分別得出“具有確定順序的一列數(shù)”的結(jié)論,在此過(guò)程中讓學(xué)生通過(guò)模仿熟悉這樣的表達(dá)方式.

        2.給出定義

        歸納具體實(shí)例的共同特征,給出定義,并明確相關(guān)概念(項(xiàng)、首項(xiàng)),給出記號(hào)a1,a2,…,an,簡(jiǎn)記為{an}.

        3.用函數(shù)的觀點(diǎn)進(jìn)行再認(rèn)識(shí)

        明確序號(hào)與項(xiàng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系an=f(n) 以及如何從一個(gè)函數(shù)中“導(dǎo)出”一個(gè)數(shù)列.

        4.數(shù)列的表示

        通項(xiàng)公式、表格、圖象、遞推公式等.

        數(shù)列的表示中,遞推公式反映了數(shù)列中項(xiàng)之間的迭代關(guān)系,是非常重要的表示形式.另外,數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn與通項(xiàng)公式an之間存在的關(guān)系在研究數(shù)列問(wèn)題時(shí)具有特別的作用,是用構(gòu)造法進(jìn)行代數(shù)證明的主要依據(jù).

        5.數(shù)列的分類(lèi)

        與其他數(shù)學(xué)對(duì)象類(lèi)似,數(shù)列也有不同的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn),例如遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列,有限數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列等.

        3.4 關(guān)于等差數(shù)列

        1.如何引導(dǎo)學(xué)生抽象等差數(shù)列的本質(zhì)特征

        用數(shù)學(xué)的方式觀察一類(lèi)事物,在空間形式上,一般從物體的組成元素(以點(diǎn)、直線、平面為基本元素)及其形狀和位置關(guān)系入手;在數(shù)量關(guān)系上,一般通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)其共性、規(guī)律性,進(jìn)而得出本質(zhì)特征.

        一個(gè)數(shù)列{an}具有“等差”的特性,是指其相鄰兩項(xiàng)之間具有確定的關(guān)系,即an+1-an=d對(duì)任意n∈N+都成立,其中d是一個(gè)定值.如果寫(xiě)為an+1=an+d,那么就和自然數(shù)系的結(jié)構(gòu)具有本質(zhì)的一致性.自然數(shù)系中,n+1稱為n的后繼數(shù),數(shù)列{an}中,an+1是an的后繼項(xiàng).因此,等差數(shù)列的“原型”就是自然數(shù)列.這個(gè)觀點(diǎn)的意義是:在研究等差數(shù)列時(shí),可以從對(duì)自然數(shù)的研究中得到啟發(fā).

        人教A版構(gòu)建的等差數(shù)列概念形成過(guò)程如下:

        第一步,通過(guò)“北京天壇圜丘壇地面從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)9,18,27,36,45,54,63,72,81”等具體實(shí)例,設(shè)置“思考”欄目:

        在代數(shù)的學(xué)習(xí)中,我們總是通過(guò)運(yùn)算來(lái)發(fā)現(xiàn)規(guī)律.例如,在指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)中,我們通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)了A,B兩地旅游人數(shù)的變化規(guī)律.類(lèi)似地,你能通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律嗎?

        把學(xué)生的思維引到“運(yùn)算”,通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)數(shù)列的取值規(guī)律或相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系.

        學(xué)生比較自然地想到數(shù)列9,18,27,36,45,54,63,72,81蘊(yùn)含的規(guī)律是“18=9+9,27=18+9,…,81=72+9”,教科書(shū)把表達(dá)方式改成“18-9=9,27-18=9,…,81-72=9”,并在“邊空”中提示:“改變表達(dá)方式使數(shù)列的取值規(guī)律更突出了”,再用字母代替得到a2-a1=9,a3-a2=9,…,a9-a8=9, 從而使“規(guī)律”有了一般性,由此得出取值規(guī)律:從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù).

        第二步,再以“數(shù)列②~④是否也有這樣的規(guī)律?”引導(dǎo)學(xué)生自己驗(yàn)證.

        第三步,在學(xué)生充分感知等差數(shù)列本質(zhì)特征的基礎(chǔ)上,抽象出等差數(shù)列的定義.

        第四步,通過(guò)迭代的方法得出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.

        第五步,與一次函數(shù)建立聯(lián)系.

        上述過(guò)程比較完整地反應(yīng)了建構(gòu)一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的整體架構(gòu),其中的關(guān)鍵是對(duì)典型的背景材料進(jìn)行結(jié)構(gòu)辨析,從中發(fā)現(xiàn)這一類(lèi)數(shù)列的代數(shù)結(jié)構(gòu)——an+1=an+d(n∈N+,d為定值),從而實(shí)現(xiàn)了具有創(chuàng)新性的意義建構(gòu).這個(gè)過(guò)程如果教師直接講解,學(xué)生聽(tīng)懂沒(méi)有什么困難,但如果要讓學(xué)生獨(dú)立完成意義建構(gòu)而得出相應(yīng)的代數(shù)結(jié)構(gòu),則是有較大困難的,因?yàn)槠渲行枰休^強(qiáng)的代數(shù)思維,要調(diào)用自然數(shù)系結(jié)構(gòu)方面的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)(事實(shí)上,自然數(shù)系的結(jié)構(gòu)是“+1”運(yùn)算,這是一種常識(shí),而“常識(shí)往往被人遺忘”,所以調(diào)動(dòng)這樣的經(jīng)驗(yàn)并不是一件容易的事情).當(dāng)然,我們提倡讓學(xué)生在問(wèn)題引領(lǐng)下開(kāi)展意義建構(gòu),獨(dú)立發(fā)現(xiàn)代數(shù)結(jié)構(gòu),這樣才能有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng).

        2.關(guān)于等差數(shù)列的性質(zhì)

        以往的教科書(shū)沒(méi)有專門(mén)對(duì)“等差數(shù)列的性質(zhì)”展開(kāi)研究,其原因不太清楚,可能是等差數(shù)列的性質(zhì)太“簡(jiǎn)單”,也可能是研究某些具體的等差數(shù)列更有價(jià)值.但我們認(rèn)為,對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的完整研究應(yīng)該包括“性質(zhì)”.

        那么,“等差數(shù)列的性質(zhì)”所研究的問(wèn)題是什么呢?從系統(tǒng)觀出發(fā),一個(gè)對(duì)象的性質(zhì)首先表現(xiàn)在其要素之間的關(guān)系上.所以,“等差數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系”就是等差數(shù)列性質(zhì)的研究主題.

        等差數(shù)列的定義已經(jīng)給出了相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系,是研究性質(zhì)的出發(fā)點(diǎn).可以提出的問(wèn)題是:

        (1)等差數(shù)列{an}中,相鄰三項(xiàng)有什么關(guān)系?相鄰四項(xiàng)呢?……可以得到2ak=ak-1+ak+1,ak+ak+3=ak+1+ak+2等;

        (2)把“相鄰”改為“等距”,如

        am,ap,an滿足p-m=n-p,有2ap=am+an;

        am,ap,aq,an滿足q-m=n-p,有am+an=ap+aq;

        特別地,有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…;等等.

        研究這些問(wèn)題,可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)“等差”含義的理解,同時(shí)也為推導(dǎo)前n項(xiàng)和公式埋下伏筆.可以發(fā)現(xiàn),這些性質(zhì)是以數(shù)列的項(xiàng)為基本對(duì)象,通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律、得出性質(zhì).如果與前n項(xiàng)和公式聯(lián)系,還可以發(fā)現(xiàn)更多的性質(zhì).

        3.關(guān)于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

        我們知道,推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式中,發(fā)現(xiàn)“倒序求和”這個(gè)巧妙的方法是關(guān)鍵.問(wèn)題是,如何才能使“發(fā)現(xiàn)”做到自然而然呢?我們認(rèn)為,這應(yīng)該從分析“倒序求和”的本質(zhì)入手.

        對(duì)于等差數(shù)列{an},因?yàn)閍1+an=a2+an-1=…=an+a1,用兩種方式表示Sn:

        Sn=a1+a2+a3+…+an,

        Sn=an+an-1+an-2+…+a1.

        將①②兩邊分別相加,得

        =n(a1+an).

        由此得到等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的公式.分析這個(gè)過(guò)程可以發(fā)現(xiàn),推導(dǎo)等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和公式的核心思想是:

        利用等差數(shù)列的性質(zhì)“等差數(shù)列{an}中,當(dāng)m+n=p+q時(shí),am+an=ap+aq”,將不同數(shù)求和化歸為相同數(shù)求和.

        數(shù)量關(guān)系上看是利用了“平均數(shù)”概念:

        (2)“倒序求和”所利用的就是等差數(shù)列前n項(xiàng)的平均數(shù).

        從等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式出發(fā),由Sn=na1+d[1+2+…+(n-1)],可知等差數(shù)列前n項(xiàng)和歸根到底是求1+2+…+n.

        在等差數(shù)列{an}中,看看a1=1,d=1這一特例,考察一下它與一般等差數(shù)列的關(guān)系,不難發(fā)現(xiàn):最簡(jiǎn)單、最本質(zhì)的等差數(shù)列就是1,2,3,…,n…,這就是等差數(shù)列的原型.其他都是它的“變式”——a1代表不同“起點(diǎn)”,d代表不同“步長(zhǎng)”.

        研究等差數(shù)列時(shí),想想自然數(shù)列的性質(zhì)是很有啟發(fā)的.從自然數(shù)系的結(jié)構(gòu)、問(wèn)題、方法出發(fā)思考等差數(shù)列的內(nèi)容,體現(xiàn)了自然數(shù)系的模型作用,體現(xiàn)了返璞歸真的思想,還體現(xiàn)了以簡(jiǎn)馭繁的力量.

        4.“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”的教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

        推導(dǎo)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式,就是要用確定等差數(shù)列的基本量a1,an,d,n等表示Sn.代數(shù)學(xué)中的各種公式和定理絕大部分都是用歸納法由具體到抽象、由低次到高次、由一元二元到多元逐步歸納而發(fā)現(xiàn),再通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法去論證其正確性.為此,我們先從一個(gè)歷史傳說(shuō)開(kāi)始.

        問(wèn)題1200多年前,高斯的老師提出了1 + 2 + 3 + … + 100 =?當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí),10歲的高斯用下面的方法迅速算出了正確答案

        (1+100)+(2+99)+…+(50+51)

        =101×50=5050.

        高斯的算法實(shí)際上解決了等差數(shù)列

        1,2,3,…,n,…

        前100項(xiàng)的和的問(wèn)題.

        你能說(shuō)說(shuō)高斯在求和過(guò)程中利用了數(shù)列①的什么性質(zhì)?

        師生活動(dòng):如果學(xué)生不能回答,可以追問(wèn).

        追問(wèn)1:設(shè)an=n,那么高斯的算法可以怎樣表示?你能說(shuō)說(shuō)這個(gè)方法的奧妙所在嗎?

        將高斯的算法表示為a1+a100=a2+a99=…=a50+a51,聯(lián)想到已有的性質(zhì),可以歸納出這個(gè)方法的奧妙之處是:

        利用“等差數(shù)列{an}中,當(dāng)m+n=p+q時(shí),am+an=ap+aq”,使不同數(shù)求和轉(zhuǎn)化成了相同數(shù)(即101)求和,從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算.

        設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)問(wèn)題和追問(wèn),引導(dǎo)學(xué)生將具體數(shù)列的求和問(wèn)題一般化,幫助學(xué)生洞察其中蘊(yùn)含的代數(shù)結(jié)構(gòu)和解決問(wèn)題的一般性思想方法,形成“利用等差數(shù)列的性質(zhì)推導(dǎo)求和公式”的心向.

        追問(wèn)2:你能用高斯的方法求1+2+…+100+101嗎?

        師生活動(dòng):由學(xué)生獨(dú)立完成.學(xué)生可能有不同的方法,教學(xué)時(shí)要強(qiáng)調(diào)“高斯的方法”的含義.

        設(shè)計(jì)意圖:使學(xué)生注意到“首尾配對(duì)”需要考慮項(xiàng)數(shù)的奇偶性.

        追問(wèn)3:你能利用高斯的算法推導(dǎo)出數(shù)列①的前n項(xiàng)和公式嗎?

        師生活動(dòng):由學(xué)生仿照高斯的算法,獨(dú)立推導(dǎo)公式.這里的困難是要對(duì)n進(jìn)行奇偶討論,可以引導(dǎo)學(xué)生從具體到抽象進(jìn)行分析.在推出公式后,組織全班討論如下問(wèn)題.

        問(wèn)題2我們發(fā)現(xiàn),在求前n個(gè)正整數(shù)的和時(shí),要對(duì)n分奇、偶進(jìn)行討論,比較麻煩.能否設(shè)法避免討論?

        師生活動(dòng):通過(guò)討論得出,等式的涵義是:把Sn加兩次,而結(jié)果是n個(gè)(n+1)相加.

        追問(wèn)2:受此啟發(fā),聯(lián)系等差數(shù)列的性質(zhì),你能給出新的推導(dǎo)方法嗎?

        師生活動(dòng):學(xué)生通過(guò)自主活動(dòng)、小組交流,得出“倒序求和”法:

        Sn=1+2+3+…+n,

        Sn=n+(n-1)+(n-2)+…+1,

        將上述兩式的兩邊分別相加,可得

        2Sn=(n+1)+[(n-1)+2]+

        [(n-2)+3]+…+(1+n)

        =n(n+1),

        問(wèn)題3上述方法妙在哪里?這種方法能推廣到求等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和嗎?

        師生活動(dòng):通過(guò)獨(dú)立思考、合作交流,得出:

        方法的妙處在于將1+2+3+…+n“倒序”為n+(n-1)+(n-2)+…+1,再將兩式相加,得到n個(gè)相同的數(shù)(即n+1)相加,從而把不同數(shù)相加轉(zhuǎn)化為n個(gè)相同數(shù)相加.

        對(duì)于等差數(shù)列{an},因?yàn)閍1+an=a2+an-1=…=an+a1,完全類(lèi)似的可得

        Sn=a1+a2+a3+…+an,

        Sn=an+an-1+an-2+…+a1.

        ①+②,得

        =n(a1+an).

        由此可得等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的公式.

        師生活動(dòng):學(xué)生通過(guò)自主活動(dòng),結(jié)合通項(xiàng)公式和前n個(gè)自然數(shù)之和的公式,推出所求公式.

        師生活動(dòng):由學(xué)生獨(dú)立完成.

        設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)不斷地推廣、一般化,幫助學(xué)生在認(rèn)識(shí)前n個(gè)自然數(shù)求和的方法及公式的代數(shù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,歸納出倒序求和法和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,并通過(guò)對(duì)公式的不同推導(dǎo)方法、公式的結(jié)構(gòu)特征和多元聯(lián)系表示等探究活動(dòng),使學(xué)生在獲得公式的同時(shí),體會(huì)推導(dǎo)代數(shù)公式的基本方法,領(lǐng)悟從具體事例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的數(shù)學(xué)思想,體驗(yàn)歸納法在推導(dǎo)代數(shù)規(guī)律中的普遍意義.

        問(wèn)題4回顧推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的過(guò)程,你認(rèn)為其中的關(guān)鍵是什么?

        師生活動(dòng):通過(guò)討論,得出如下認(rèn)識(shí):

        (1)明確推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式所要解決的問(wèn)題是什么對(duì)得到推導(dǎo)方法有重要意義;

        (2)要強(qiáng)調(diào)利用等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和性質(zhì)解決問(wèn)題的重要性;

        (3)代數(shù)的研究中,歸納是根本大法,要注意用一般性的眼光觀察特殊實(shí)例,從中得到解決一般問(wèn)題的啟發(fā);

        (4)“倒序相加”非常巧妙地利用了等差數(shù)列的性質(zhì),利用前n項(xiàng)的平均數(shù)將不同數(shù)求和轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和;

        (5)代數(shù)中,對(duì)公式進(jìn)行適當(dāng)變形有助于發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含在其中的“奧秘”;

        (6)代數(shù)和幾何相互為用,可以提高對(duì)代數(shù)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)深度(如“三角垛”解釋“倒序求和”法);等等.

        3.5 關(guān)于等比數(shù)列

        1.利用研究等差數(shù)列的經(jīng)驗(yàn)研究等比數(shù)列

        觀點(diǎn):等比數(shù)列所研究的內(nèi)容、過(guò)程和方法與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的,所以從等比數(shù)列的概念、性質(zhì)到前n項(xiàng)和以及應(yīng)用,都可以讓學(xué)生通過(guò)類(lèi)比展開(kāi)自主學(xué)習(xí).從教學(xué)站位上看,這里的關(guān)鍵還是要基于數(shù)學(xué)的整體性,在一般觀念的統(tǒng)領(lǐng)下展開(kāi)研究.具體而言是:通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律;通過(guò)類(lèi)比“等差”結(jié)構(gòu)得出“等比”結(jié)構(gòu);通過(guò)歸納發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的代數(shù)結(jié)構(gòu),得出通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式;建立多元聯(lián)系表示(特別是比例性質(zhì))形成等比數(shù)列的認(rèn)知結(jié)構(gòu);等等.

        (1)從“等差”到“等比”

        只要將“如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差”中的“差”換為“比”,就得到了等比數(shù)列的定義.

        只要將“如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A,使a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)”中的A換為G,“差”換為“比”,就得到了等比中項(xiàng)的定義.

        (2)從減法運(yùn)算到除法運(yùn)算

        等差數(shù)列通項(xiàng)公式的歸納等比數(shù)列通項(xiàng)公式的歸納a2-a1=d,a3-a2=d,……an-an-1=d,左右兩側(cè)分別依次相加,得到an= a1+(n-1)d.a2a1=q,a3a2=q, ……anan-1=q,左右兩側(cè)分別依次相乘,得到an=a1qn-1.

        (3)從算術(shù)平均到幾何平均

        等差數(shù)列的性質(zhì)主要體現(xiàn)在算術(shù)平均數(shù)的各種性質(zhì)上,等比數(shù)列的性質(zhì)主要體現(xiàn)在幾何平均數(shù)的性質(zhì)上.

        等差數(shù)列等比數(shù)列a,A,b成等差數(shù)列,則2A=a+ba,G,b成等比數(shù)列,則G2 =a·b若m+n=p+q,則am+an=ap+aq若m+n=p+q,則am ·an = ap ·aqan=am+(n-m)dan = am ·qn-m

        另外,比例性質(zhì)在等比數(shù)列的研究中也有用武之地:

        得a2+a3+a4+…+an

        =q(a1+a2+a3+…+an-1),

        于是

        Sn-a1=q(Sn-an)=q(Sn-a1qn-1),

        可得

        2.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式

        首先要明確研究的問(wèn)題:用等比數(shù)列的基本量a1,q,n表示前n項(xiàng)和.

        與等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)類(lèi)似,等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)本質(zhì)上是利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)變形.

        從Sn=a1+a2+a3+…+an=a1(1+q+q2+…+qn-1)可知,數(shù)列

        1,q,q2,…,qn

        是等比數(shù)列的“原型”.由

        Sn=1+q+q2+…+qn,

        qSn=q+q2+…+qn+qn+1,

        等式兩邊分別相減可得

        除利用比例性質(zhì)外,還可以有其他方法.例如:

        由公式

        an+1-bn+1

        =(a-b)(an+an-1b+an-2b2+…+abn-1+bn),

        令a=1,b=q,即得

        3.6 關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法

        1.數(shù)學(xué)歸納法的理論基礎(chǔ)

        皮亞諾公理:

        (1)1是一個(gè)正整數(shù);

        (2)每個(gè)正整數(shù)a都有一個(gè)后繼數(shù)(即a+1)仍是正整數(shù);

        (3)1不是任何正整數(shù)的后繼數(shù);

        (4)若a與b的后繼數(shù)相等,則a與b相等;

        (5)設(shè)S是正整數(shù)集合N*的子集,若

        ①1屬于S;

        ②當(dāng)k屬于S時(shí),k的后繼數(shù)(即k+1)一定也屬于S,則S=N*.

        這幾條公理反映了正整數(shù)集合有序性的本質(zhì)特征,由此可推出:

        正整數(shù)集合是一個(gè)無(wú)限的良序集,它的任何非空子集中的元素都可以依大小關(guān)系排序,并在其中存在最小數(shù).

        第5條也稱為數(shù)學(xué)歸納法原理,它給出了證明一個(gè)集合是正整數(shù)集合的一種方法,是數(shù)學(xué)歸納法的理論基礎(chǔ).

        2.數(shù)學(xué)歸納法是演繹推理還是歸納推理

        在形式邏輯中,從“特殊”到“一般”的推理,叫做歸納推理;從“一般”到“特殊”的推理,叫做演繹推理.

        演繹推理的一般形式是三段論,即“大前提——小前提——結(jié)論”.其中,大前提(M-P)是一個(gè)一般性的命題(凡滿足條件M的對(duì)象都有性質(zhì)P),小前提(S-M)是指某個(gè)特殊對(duì)象滿足大前提中的條件(對(duì)象S滿足M),結(jié)論(S-P)是指這個(gè)對(duì)象符合大前提中的結(jié)論(S有性質(zhì)P).

        用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)具體命題P對(duì)于全體正整數(shù)成立時(shí),大前提正是皮亞諾公理中的數(shù)學(xué)歸納法原理,這是一個(gè)公認(rèn)的一般性真命題,需要證明的是小前提,即適合具體命題P的正整數(shù)集合S滿足大前提中的條件①和②,由此得出結(jié)論S=N*,即任意正整數(shù)n都滿足命題P.

        因此,數(shù)學(xué)歸納法是按照三段論展開(kāi)的嚴(yán)格的演繹推理,即在確立一般性大前提的基礎(chǔ)上,針對(duì)具體命題證明小前提,獲得關(guān)于具體命題的結(jié)論.

        數(shù)學(xué)歸納法中,第(1)步(證明“n=1時(shí)命題P成立”)稱為“奠基”,第(2)步(證明“若n=k時(shí)P成立,則n=k+1時(shí)P也成立”)稱為“遞推”.第(1)步多為驗(yàn)證的形式,而第(2)步的實(shí)質(zhì)是證明一個(gè)“遞推關(guān)系”:

        以“n=k時(shí)P成立”為前提,推證 “n=k+1時(shí)P成立”.

        事實(shí)上,這是一個(gè)新的命題.

        3.人教A版對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的處理

        與以往教材比較,新的人教A版對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的處理有較大變化,特別是在兩個(gè)步驟的含義、第二步到底要干一件什么事情等問(wèn)題上,給出了更加具有操作性的講解,其目的是幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì).

        (2)確立思想方法:通過(guò)有限個(gè)步驟的推理,證明n取所有正整數(shù)都成立.

        (3)以“多米諾骨牌”為背景,思考使所有多米諾骨牌全部倒下的條件,得出:第一塊骨牌倒下;任意相鄰的兩塊骨牌,前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下.

        (4)類(lèi)比多米諾骨牌問(wèn)題,回顧猜想an=1的過(guò)程:

        ……

        歸納共性,得出推理的一般結(jié)構(gòu):

        以ak=1為條件,結(jié)合已知條件推出ak+1=1.(*) 這樣,在a1=1和(*)成立的條件下,就可以由n=1成立,得出n=2成立;由n=2成立,得出n=3成立;……所以,對(duì)于任意正整數(shù)n,猜想都成立.

        (5)給出數(shù)學(xué)歸納法原理.

        (6)通過(guò)“思考:數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)是什么??jī)刹街g有什么關(guān)系?”引導(dǎo)學(xué)生辨析原理,得出:

        記P(n)是一個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的命題.把數(shù)學(xué)歸納法的證明形式改寫(xiě)為

        條件:(1)P(n0)為真;(2)若P(k)為真,則P(k+1)也為真.

        結(jié)論:P(n)為真.

        接著教科書(shū)強(qiáng)調(diào):在數(shù)學(xué)歸納法的兩步中,第一步驗(yàn)證(或證明)了當(dāng)n=n0時(shí)結(jié)論成立,即命題P(n0)為真;第二步是證明一種遞推關(guān)系,實(shí)際上是要證明一個(gè)新命題:

        若P(k)為真,則P(k+1)也為真.

        將這兩步交替使用,就有P(n0)真,P(n0+1)真,……,P(k)真,P(k+1)真,……從而完成證明.

        值得指出,人教A版明確“第二步是證明一種遞推關(guān)系,實(shí)際上是要證明一個(gè)新命題:若P(k)為真,則P(k+1)也為真”,并且在用數(shù)學(xué)歸納法證明具體問(wèn)題的過(guò)程中,先引導(dǎo)學(xué)生具體寫(xiě)出第二步要證明的命題,例如,證明等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

        an=a1+(n-1)d

        正確性的第二步是證明一個(gè)命題:

        如果n=k時(shí)①式是正確的,那么n=k+1時(shí)①式也是正確的.

        這對(duì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)具有很好的促進(jìn)作用.教學(xué)時(shí)應(yīng)注意落實(shí)這個(gè)意圖,先讓學(xué)生明確寫(xiě)出第二步要證明的新命題,分析清楚證明新命題時(shí)需要使用的條件(特別是要以“P(k)為真”為關(guān)鍵條件),然后再進(jìn)行具體推理論證.

        4 小結(jié)

        綜上所述,數(shù)列單元要以“運(yùn)算”為一般觀念,通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題,通過(guò)運(yùn)算得出數(shù)列的取值規(guī)律,通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法.例如,在明確“數(shù)列的性質(zhì)就是數(shù)列各要素、相關(guān)要素之間關(guān)系”的基礎(chǔ)上,通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì).

        在等差數(shù)列、等比數(shù)列的研究中,通過(guò)推導(dǎo)各種各樣的代數(shù)公式,利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì),特別是靈活運(yùn)用“平均數(shù)”研究“等差”問(wèn)題,靈活運(yùn)用“比例性質(zhì)”研究“等比”問(wèn)題,可以進(jìn)一步提升學(xué)生的代數(shù)推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

        數(shù)列是一種特殊的函數(shù),要注意引導(dǎo)學(xué)生以函數(shù)的觀點(diǎn)看數(shù)列,體會(huì)數(shù)學(xué)的整體性.等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)之間存在著密切的聯(lián)系,所以教學(xué)中要注意讓學(xué)生有意識(shí)地把數(shù)列納入函數(shù)的體系中,從函數(shù)的觀點(diǎn)看數(shù)列的概念,發(fā)現(xiàn)和理解數(shù)列的性質(zhì),認(rèn)識(shí)數(shù)列的應(yīng)用價(jià)值等.

        另外,要使學(xué)生意識(shí)到,在數(shù)列中推導(dǎo)各種各樣公式的方法是不完全歸納法,這種方法并不嚴(yán)密,所得出的公式需要通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明,所以建議把數(shù)學(xué)歸納法作為必學(xué)內(nèi)容.

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