崔 穎，張?chǎng)螣?/p>

(阜陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236037)

近年來，聯(lián)想記憶[1]、模型識(shí)別[2]、裂縫檢測(cè)[3]等在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方面得到了廣泛的應(yīng)用[4-5]。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行過程中，放大器的切換速度或信號(hào)傳播時(shí)間的有限性往往導(dǎo)致神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)滯現(xiàn)象。例如，CUI 應(yīng)用平均駐留時(shí)間方法研究了一類離散型的混合時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性[6]。黃壽星等針對(duì)一類具有比例時(shí)滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，利用Gronwall 積分不等式建立了全局指數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)[7]。

另一方面，由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)部狀態(tài)信息難以直接測(cè)量，這就需要設(shè)計(jì)狀態(tài)估計(jì)器，利用可測(cè)量的數(shù)據(jù)估計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的狀態(tài)信息[8]。在過去的幾十年里，狀態(tài)估計(jì)理論得到了很好的發(fā)展，并在許多現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中得到了廣泛的應(yīng)用，如目標(biāo)跟蹤[9]、環(huán)境監(jiān)測(cè)[10]、電力系統(tǒng)[11]等。截至目前，已經(jīng)提出了各種狀態(tài)估計(jì)技術(shù)，包括H∞狀態(tài)估計(jì)[12]、l2-l∞狀態(tài)估計(jì)[13-14]、Kalman-型狀態(tài)估計(jì)[15-16]。在實(shí)際工程中，狀態(tài)估計(jì)器在運(yùn)行時(shí)，其參數(shù)往往會(huì)受到某種程度的波動(dòng)影響。因此，有必要設(shè)計(jì)具有非脆弱性的狀態(tài)估計(jì)器，即當(dāng)參數(shù)在某種范圍內(nèi)變化時(shí)，估計(jì)器的性能不會(huì)改變?，F(xiàn)在，關(guān)于非脆弱估計(jì)器的設(shè)計(jì)已有了一些研究結(jié)果。SHEN Y J 針對(duì)一類離散型的多速率時(shí)滯系統(tǒng)，研究了非脆弱型H∞濾波的設(shè)計(jì)[17]。劉源等研究了具有隨機(jī)切換非線性的時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非脆弱狀態(tài)估計(jì)問題，通過應(yīng)用Lyapunov 穩(wěn)定性和隨機(jī)分析方法，給出了滿足均方漸近穩(wěn)定的非脆弱狀態(tài)估計(jì)器存在的條件[18]。

此外，為更好地提高資源利用率，我們期望在估計(jì)器間歇工作情形下，CUI Y 研究狀態(tài)估計(jì)器的設(shè)計(jì)問題。例如，通過切換信號(hào)刻畫了采樣數(shù)據(jù)的間歇傳輸現(xiàn)象，進(jìn)而運(yùn)用切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法設(shè)計(jì)了時(shí)滯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的間歇型狀態(tài)估計(jì)器[19]。然而，針對(duì)時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，間歇型的非脆弱狀態(tài)估計(jì)問題還有待進(jìn)一步研究。

基于上面的分析，本文將針對(duì)時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，研究其間歇型的非脆弱狀態(tài)估計(jì)問器的設(shè)計(jì)問題。所考慮的估計(jì)器允許數(shù)據(jù)間歇傳輸，并且其控制參數(shù)滿足范數(shù)有界的不確定性。首先，借助Lyapunov 穩(wěn)定性和矩陣不等式，給出了間歇型非脆弱估計(jì)器的存在條件，指出當(dāng)估計(jì)器的停歇率在一定范圍內(nèi)，誤差系統(tǒng)是魯棒指數(shù)穩(wěn)定的。然后，估計(jì)器的增益矩陣通過線性矩陣不等式的可行解表示。

1 模型的刻畫

考慮連續(xù)型時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

其中x(t)∈?″為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)向量，y(t)∈?q為輸出向量，φ(t)為此神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始狀態(tài)。對(duì)角矩陣A=diag{a1,a2,…,an}（||ai＜1）表示神經(jīng)元的自反饋矩陣，矩陣B和C分別為神經(jīng)元之間的連接加權(quán)矩陣和時(shí)滯連接加權(quán)矩陣，矩陣E為此神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)輸出矩陣，τ(t)表示時(shí)變的離散時(shí)滯，滿足0 ≤τ(t)≤r和0 ≤τ˙(t)≤τ＜1。向量值函數(shù)

和

表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激勵(lì)函數(shù)，滿足下面的扇形有界條件。

假設(shè)1[6]神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)中激勵(lì)函數(shù)f(x),g(x)滿足

為了獲取神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)的內(nèi)部狀態(tài)，設(shè)計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)的狀態(tài)估計(jì)器。于是，針對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)，考慮如下的全階狀態(tài)估計(jì)器

在實(shí)際工程中，由于各種復(fù)雜多變的環(huán)境，狀態(tài)估計(jì)器的參數(shù)往往會(huì)受到一定程度的擾動(dòng)，因此，在設(shè)計(jì)狀態(tài)估計(jì)器時(shí)，期望估計(jì)器的控制參數(shù)能夠在允許的范圍內(nèi)變化。此外，為了更好地提高資源的利用率，考慮在間歇工作的情形下，設(shè)計(jì)具有非脆弱性質(zhì)的狀態(tài)估計(jì)器。為此，將引入切換信號(hào)σ(t)刻畫估計(jì)器的間歇工作情形。具體地，若估計(jì)器正常工作，記σ(t)=1，若估計(jì)器停止工作，記σ(t)=2。在[)t0,t上，設(shè)σ(t)的切換時(shí)間序列為{tj},滿足t0＜t1＜t2＜…＜tk＜t。在[t0,t)上，記估計(jì)器正常工作的總時(shí)間為T-(t,t0)，停止工作的總時(shí)間為T+(t,t0)，并稱δ=為估計(jì)器的停歇率。

于是，借助已引入切換信號(hào)σ(t)，間歇型非脆弱的全階估計(jì)器(2)的控制輸入為

其中K為待設(shè)計(jì)的估計(jì)器增益矩陣，增益矩陣的變化ΔK(t)滿足

這里FT(t)F(t)≤I,?t≥t0。

定義狀態(tài)誤差向量為e(t)=-x(t)，于是，由系統(tǒng)(1)與(2)，估計(jì)誤差系統(tǒng)為

其中

定義1若存在常數(shù)C＞0，λ＞0，使得增益矩陣的改變量ΔK(t)在滿足條件(3)之下，誤差系統(tǒng)(4)的任一解e(t)均滿足‖e(t)‖ ≤，?t≥t0,則稱估計(jì)誤差系統(tǒng)(4)是魯棒指數(shù)穩(wěn)定的。

本文中將針對(duì)連續(xù)型時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)，設(shè)計(jì)間歇型的非脆弱狀態(tài)估計(jì)器(2)，使估計(jì)誤差系統(tǒng)(4)是魯棒指數(shù)穩(wěn)定的。

2 主要結(jié)果和證明

首先，運(yùn)用Lyapunov 穩(wěn)定性方法和一些矩陣不等性給出間歇型非脆弱狀態(tài)估計(jì)器(2)的存在條件。接著，通過線性矩陣不等式的可行解表示出所設(shè)計(jì)狀態(tài)估計(jì)器的增益矩陣。為此，先給出如下的引理。

引理1[20]設(shè)實(shí)矩陣M,N和F具有恰當(dāng)維數(shù)，且FTF≤I，那么對(duì)任意的正數(shù)ε，有

接下來，給出間歇型非脆弱狀態(tài)器(2)存在的充分條件。

定理1對(duì)于給定的估計(jì)增益矩陣K和正數(shù)λ，若存在正定矩陣P，Q，對(duì)角矩陣Γ，Ξ 和正常數(shù)ε，使得下面的矩陣不等式成立

則當(dāng)停歇率δ＜(α=(1+‖K‖ +‖M‖ ·‖N‖)‖E‖)時(shí)，估計(jì)誤差系統(tǒng)(4)是魯棒指數(shù)穩(wěn)定。

證明考慮如下的Lyapunov 泛函

于是，當(dāng)σ(t)=1,t∈[tk,tk+1)時(shí)，可計(jì)算Lyapunov 泛函V(t)沿著系統(tǒng)(4)的導(dǎo)數(shù)

由引理2，得到

因此，由(7)和(8)得到

由假設(shè)1 和文獻(xiàn)[20]中引理3 的結(jié)果可得

于是，由(9)～(11)得當(dāng)σ(t)=1,t∈[tk,tk+1) 時(shí)，

再由條件(5)得到，當(dāng)σ(t)=1,t∈[tk,tk+1) 時(shí)，有+λV(t)≤0,進(jìn)而V(t)≤，t∈[tk),tk+1。

當(dāng)σ(t)=2,t∈[tk,tk+1)時(shí)，系統(tǒng)(4)改寫為

于是，當(dāng)σ(t)=2,t∈[tk,tk+1) 時(shí)，類似于σ(t)=1的情形，由條件(5)可得Lyapunov 泛函V(t)沿著系統(tǒng)(4)的導(dǎo)數(shù)滿足

進(jìn)一步，

因此，對(duì)于系統(tǒng)(4)，t∈[tk,tk+1) 時(shí),有

故當(dāng)δ＜時(shí)，由定義1 知，系統(tǒng)(4)是魯棒全局指數(shù)穩(wěn)定。證畢。

上面的定理1 借助Lyapunov 穩(wěn)定性和矩陣不等式技巧，給出了間歇型非脆弱狀態(tài)估計(jì)器(2)的存在條件。接下來，我們將通過線性矩陣不等式的可行解表示估計(jì)器的增益矩陣。

定理2在假設(shè)1 之下，對(duì)給定的正數(shù)λ，若存在正常數(shù)ε，正定矩陣P,Q，正定對(duì)角矩陣Γ和矩陣R，使得

則系統(tǒng)(2)是時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)的間歇型的非脆弱狀態(tài)估計(jì)器，其中K=P-1R。

證明令R=PK應(yīng)用Schur complement 引理，則(12)式等價(jià)于(5)式，從而由定理1 可得結(jié)論成立。證畢。

3 數(shù)值舉例

該部分將通過數(shù)值舉例驗(yàn)證所建立結(jié)論的可行性。考慮連續(xù)型的時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)，取其系統(tǒng)參數(shù)為

并取激勵(lì)函數(shù)

由上面的參數(shù)，可得

在上述參數(shù)下，借助Matlab 軟件的Yamip 工具箱求得矩陣不等式(12)的一組可行解為

根據(jù)定理2，可得控制增益矩陣

因此，當(dāng)停歇率δ＜0.042 9 時(shí)，系統(tǒng)(2)是時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)的間歇型非脆弱狀態(tài)估計(jì)器。

4 小結(jié)

本文針對(duì)時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，設(shè)計(jì)了間歇型的非脆弱狀態(tài)估計(jì)問題。所考慮的估計(jì)器允許間斷地工作，并且其控制參數(shù)滿足范數(shù)有界的不確定性。