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        各向異性應(yīng)力條件下大變形柱孔擴(kuò)張彈塑性解析解

        2021-11-02 08:25:06李雪苑
        工程建設(shè)與設(shè)計(jì) 2021年19期
        關(guān)鍵詞:庫倫彈塑性摩爾

        李雪苑

        (中鐵第五勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司,北京102600)

        1 引言

        經(jīng)典孔擴(kuò)張理論的研究未考慮初始應(yīng)力各向異性對擴(kuò)張機(jī)理的影響,對此Galin[1]、Detournay[2]引入了復(fù)變函數(shù)理論和保角變換技術(shù),并分別推導(dǎo)了應(yīng)力和彈塑性邊界(EP Boundary)的解析解。進(jìn)而,周航[3]及Zhuang等[4]等在此基礎(chǔ)上,分別推導(dǎo)了雙軸應(yīng)力下基于Tresca準(zhǔn)則和摩爾-庫倫準(zhǔn)則的半解析解,但基于摩爾-庫倫準(zhǔn)則的解答并未建立起完整的應(yīng)力-位移關(guān)系。綜上,有必要對基于摩爾-庫倫準(zhǔn)則的應(yīng)力各向異性柱孔擴(kuò)張問題進(jìn)行分析,建立完整的大變形壓力-擴(kuò)張關(guān)系。

        2 問題定義

        圖1 為雙軸應(yīng)力場下柱孔在無限不可壓縮土體中擴(kuò)張的理論模型,定義σa為孔所受內(nèi)壓力;σ0為初始豎向應(yīng)力;K為各向異性應(yīng)力系數(shù)。

        圖1 雙軸應(yīng)力場中的柱孔擴(kuò)張模型

        引入理論假設(shè):孔的擴(kuò)張近似視為平面應(yīng)變問題;土的彈性區(qū)服從小應(yīng)變條件,塑性區(qū)服從大應(yīng)變條件;孔的邊界由徑向位移條件控制;土的變形以徑向位移為主,塑性區(qū)形狀保持不變。

        3 服從摩爾-庫倫準(zhǔn)則的彈塑性解

        Galin指出,當(dāng)理想彈塑性介質(zhì)因孔的擴(kuò)張形成完全包圍孔的閉合塑性區(qū)時,孔的擴(kuò)張可視為彈、塑性區(qū)的邊值問題。

        3.1 塑性區(qū)應(yīng)力

        對服從摩爾-庫倫準(zhǔn)則的柱孔擴(kuò)張問題,定義以下變量:

        式中,c為土的有效黏聚力;φ為內(nèi)摩擦角。Kp、Y、δ為內(nèi)摩擦角φ的相關(guān)參數(shù);p∞為初始平均應(yīng)力;Sp為初始平均應(yīng)力及內(nèi)摩擦角的相關(guān)參數(shù)。

        忽略體力分量,聯(lián)立土體平衡條件、屈服準(zhǔn)則及應(yīng)力邊界條件,可得塑性區(qū)應(yīng)力分量表達(dá)式:

        式中,σr,σθ為極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量;a為擴(kuò)張后的孔半徑;r為極坐標(biāo)系下的徑向變量;σa為徑向孔內(nèi)壓。

        3.2 保角變換方程及彈塑性邊界

        對彈性區(qū)的邊值問題,可采用Kolosov-Muskhelishvili提出的復(fù)變勢函數(shù)及保角映射方程通用形式求解彈塑性邊界映射方程:

        式(4)~式(7)中,w(ξ)為保角映射函數(shù);λ、β為映射方程的系數(shù);ξ為像平面內(nèi)的復(fù)變量;τ∞為初始平均剪應(yīng)力;χ為映射參數(shù);,ξp、,ξp分別為彈塑性邊界在像平面內(nèi)的空間復(fù)變量及其共軛變量,彈塑性邊界在像平面內(nèi)為單位圓,因此有ξpξp=1。

        則物理平面內(nèi)塑性區(qū)半徑可以表示為:

        式中,rb為彈塑性邊界在物理平面中的半徑;w(ξ)為w(ξ)的共軛變量。

        3.3 大變形壓力-擴(kuò)張關(guān)系

        若忽略環(huán)向位移,則彈塑性邊界處土的徑向位移可表示為:

        式中,Δσrb、Δσθb分別為彈塑性邊界處的徑、環(huán)向正應(yīng)力增量;G為土的剪切模量;urb為彈塑性邊界的徑向位移;E為土體的彈性模量;μ為泊松比。

        假設(shè)土為不可壓縮介質(zhì),忽略徑向位移的高階小量,則體積守恒關(guān)系可表示為:

        式中,Spla為塑性區(qū)的面積;f1(σa,θ)為孔內(nèi)壓的函數(shù);f1(σa)為函數(shù)f1(σa,θ)關(guān)于變量θ的平均值,如式(12)所示。

        聯(lián)立映射參數(shù)χ、塑性區(qū)半徑rb及體積守恒關(guān)系,可得到孔內(nèi)壓與孔體積變量的關(guān)系,即壓力-擴(kuò)張關(guān)系:

        達(dá)到極限狀態(tài)時,可認(rèn)為比值a0/a收斂為0,則極限壓力可以表示為:

        式中,σalim為雙軸應(yīng)力下孔擴(kuò)張極限內(nèi)壓力。

        4 結(jié)果分析

        圖2 a給出了采用摩爾-庫倫準(zhǔn)則的壓力-擴(kuò)張關(guān)系曲線。曲線變化可劃分為急劇變化、緩慢變化和極限狀態(tài)3個階段,分別以擴(kuò)張比a/a0=2.5/3.8為分界。當(dāng)土體進(jìn)入極限狀態(tài),內(nèi)壓力達(dá)到極限值。圖2 b給出了孔內(nèi)壓隨參數(shù)K的變化曲線。以K=1.2為分界,孔內(nèi)壓力隨K呈先增后減趨勢;當(dāng)K>2,曲線近似呈線性變化。同時,由于參數(shù)β受初始平均應(yīng)力影響,區(qū)別于Tresca準(zhǔn)則下的規(guī)律,K在0~2范圍內(nèi)應(yīng)力分布不具有對稱性。

        圖2 摩爾-庫倫準(zhǔn)則下極限孔內(nèi)壓變化規(guī)律

        5 結(jié)論和建議

        本文利用復(fù)變函數(shù)保角變換理論,推導(dǎo)了雙軸應(yīng)力場下服從摩爾-庫倫準(zhǔn)則的柱孔擴(kuò)張大變形壓力-擴(kuò)張關(guān)系及極限內(nèi)壓力半解析解?;趬毫?擴(kuò)張關(guān)系的半解析解研究了初始應(yīng)力條件對應(yīng)力分布特性的影響。結(jié)果表明,在摩爾-庫倫準(zhǔn)則下,極限孔內(nèi)壓力達(dá)到最大值時,K大于1,且應(yīng)力分布規(guī)律不具有對稱性。該半解析解進(jìn)一步拓展了孔擴(kuò)張理論的適用范圍,可應(yīng)用在水平成孔的巖土工程中。

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