文|錢學翠

數學思維具有獨特的內隱性與抽象性，常常以概念、公式等抽象的形式出現，這對于抽象思維能力較弱的小學生而言，存在一定的認知難度，導致其難以進入深度學習狀態(tài)。正是基于此，思維可視化便進入了我們的視野。本文將重點圍繞思維可視化之“為何”與“何為”展開探究，促進數學深度學習真實發(fā)生。

一、思維可視化之“為何”

在弄清思維可視化到底“為何”之前，我們有必要先弄清其內涵。顧名思義，思維可視化就是通過直觀形象的手段，將抽象的、不易直接發(fā)現的思維展示在人們眼前。就數學學科而言，可視化就是將那些隱藏的思維過程，通過可見的圖示或實物等形式展現出來的過程。那數學深度學習的內涵又是什么呢？南京師范大學教授吳永軍指出：“深度學習是一種整體的學習狀態(tài)，是學習者全身心投入的過程，既是一個大腦內部信息加工的過程，也是一個充滿情感、意志、精神、興趣的全面參與的過程?！笨梢姡瑪祵W深度學習也必然是學生積極投入，并沉浸于對知識的理解與運用遷移的過程之中的學習方式。這兩者雖然看似兩個概念，但如果我們從心理、智力、效能這三個維度進行對比分析，就不難發(fā)現其存在的關聯性。（見表1）

表1

效能維度更有利于學生在理解知識的基礎上進行知識體系的建構，促進學生的學習遷移效能。學習者浸潤于深度學習環(huán)境之中，深入探究，能高效地獲取有意義的知識與能力，并遷移運用。

由表1 可見，“深度學習，是師生共同經歷的一場智慧之旅?！边@一點正好與可視化學習的內涵不謀而合，兩者具有內在的共通性，這為我們進一步探究思維可視化在深度學習中的作用提供了可能。下面我們仍從上述三個維度出發(fā)，來理解思維可視化之“為何”，即思維可視化對深度學習所起的具體作用。

1.激“趣”。

從心理維度看，數學思維的可視化意味著教師在教學過程中，需要將原本深奧的數學知識轉化成可視的內容，讓學生在妙趣橫生的情境中進行學習，激發(fā)學生的學習動機。有了強烈的學習動機后，學生在學習中會全身心投入到對知識的探求之中，既獲得了極為豐富的情感體驗，也學到了知識。如在教學三角形的“高”這一概念時，教者精心創(chuàng)設了小老鼠拖三角形餅干進洞的情境。學生通過不斷地轉換餅干的位置，直至幫助小老鼠把餅干拖進洞里的操作，理解了三角形“高”的含義以及底和高的對應關系，這樣可視化的手段一下子調動了學生的學習興趣，當學生浸潤于這樣充滿趣味的課堂中，深度學習的狀態(tài)就會有明顯改善。

2.促“解”。

從智力維度來看，“趣”是一種外在形式，而“理解”則是“智力層面的建構，是人腦為了弄懂許多不同的知識片段而進行的抽象活動”。認知心理學中的“雙重編碼”理論認為：人的大腦存在兩個相互獨立，但又彼此關聯的系統(tǒng)，其中一個是淺層次的表象系統(tǒng)，另一個則是相對復雜的理解系統(tǒng)，表象系統(tǒng)促進了理解系統(tǒng)的建構。就數學學習而言，這里的表象實際上就是一些具體可視的學習方法，這些可視化的學習方法，能將學生對數學知識的理解，通過結構化、模塊化的可視圖表呈現出來，促進理解。比如在復習“圖形的計算”時，學生利用思維導圖，將所學過的所有圖形進行整理，形成一張完整的知識體系圖，學生通過這張圖，對“圖形的計算”進一步加深了理解。（見圖1）

圖1

3.致“用”。

從效能維度來看，思維可視化還可以幫助學生進行知識的遷移，從而學以致“用”。這是數學核心素養(yǎng)中關鍵能力的體現，也是數學學習的真正目標。此處的“用”是基于對數學知識的理解基礎之上的“遷移”，將所學的知識與能力運用到新的數學情境之中，去解決那些困惑的、具有挑戰(zhàn)性的復雜情境中的問題，這是布盧姆所提出的關于“應用”的核心內涵。以圓柱內容為例，在知識遷移運用階段，針對“為什么有這么多東西要做成圓柱體”這一問題，采用分解圖的方式，學生就能水到渠成，形成能力的遷移。（見圖2）

圖2

二、思維可視化之“何為”

當我們對思維可視化之“為何”有了一個清晰的認知后，就可以更好地探討思維可視化到底“何為”，即“如何來做”這一問題。因為只有掌握了“如何來做”的技術手段，才能為數學深度學習注入活力。下面就通過學生看得見、摸得著的身邊的事例，以及畫草圖、建導圖、列表格等方法，來進一步進行探討。

1.動手做：讓數學概念更真切。

思維可視化的重點是在于“傳遞”，通過圖像的方式將教師掌握的思維方式傳達給學生，讓學生進行學習。在“傳遞”的過程中，如何讓學生接受相應的經驗就十分重要。根據心理學原理，當新學習的知識與已有知識存在關聯時，記憶效果會更佳?？梢?，教師運用思維可視化進行教學，應以學生的生活經驗為元素，采取動手做的形式，展示思維過程，這樣才能達到與生活對接的效果，讓數學概念更真切。

例如在教學“有余數的除法”這一課時，學生在之前已經學習了沒有余數的除法計算，但是在實際生活中，有余數的除法更為常見。為此，教師可以為學生創(chuàng)設情境，將學生在生活中遇到的問題原型，在課堂當中展示出來。比如有10 個面包，平均分給5 個人，每個人能分到幾個？如果平均分給4 個人，每個人又能分到幾個？學生通過思考，自己擺一擺，當平均分給5 個人時，每人分2個，這是之前學習過的沒有余數的除法；當平均分給4 個人時，每個人也是2 個，但是多出了2 個。

圖3

教師通過這一可視化教學方式，將數學知識與學生的生活經驗進行對接，同時引出學生沒有學到的知識，即對于多的2 個應該怎樣表示。此時教師引入“余數”的概念來表示，那么這個“2”應該如何寫在算式當中？對于學生來說，這是一個高于學生生活情境的內容，需要動腦筋進行思考，引導學生進入深度學習。

2.畫“草圖”：讓解題思路更簡便。

思維可視化，還有一種簡單的方式就是畫草圖。草圖，是一種簡潔而又直觀反映數學思維的方法，它可以將原本相對復雜的思維過程，簡單地表達出來，進而幫助學生梳理出解決問題的思維過程，破解學生思維難點，讓解題思路更簡便。

例如有一道練習題：修路隊原計劃每天修路3 千米，5 天修完，實際上4 天就完成了任務，那么平均每天比原計劃多修了多少千米？我們平時在遇到這類題目時，通常采用這樣的解題思路：首先算出這條路的總工作量，然后再根據“工作效率=工作總量÷工作時間”這一關系來計算出實際每天的工作量，最后再用“實際每天的工作量-原計劃每天工作量”得出結果，這種常規(guī)的思路是正確的，但是這樣列式解答相對比較復雜，我們不妨引導學生采用畫草圖的方式來試一試。（見圖4）

圖4

3.建“導圖”：讓知識體系更完整。

數學知識一環(huán)套一環(huán)，它們形成了一個完整的知識體系，學生不斷從已有經驗走向新知。由此可見，教師應該有“瞻前顧后”的知識體系觀，啟發(fā)學生看到知識與知識之間的內在聯系，并通過建立思維導圖，建構具有個性化特色的“數學知識網絡圖”。這種思維可視化的學習方法，無形之中引導學生學會梳理知識，形成數學知識的思維網絡導圖，讓知識體系更完整。

如在教學“表內除法”時，由于學生腦海中對除法的相關知識是散亂的，對除法的定義、名稱以及計算方法都不太清楚。此時，教師不必急著講授新知，而應遵循數學知識體系，從舊知入手，引導學生自建思維導圖。學生通過回憶，將這些知識在思維導圖中一一列出，即使內容不全，也可以相互提醒，互相協(xié)作，共同建構完整的知識體系導圖。（見圖5）

圖5

針對那些還存在疑惑或學習困難的學生，教師則要從點到線，從線到面，一步步擴散知識，將與除法有關內容作一個大盤點。這樣一個建構思維導圖的過程，實際上是從學生的“最近發(fā)展區(qū)”入手，將他們不斷向完整的知識體系方向引領。整個過程，學生探索熱情高漲，思維活躍，最終高效地完成了思維導圖，為數學深度學習注入了活力。

4.列表格：讓數學思維更嚴謹。

表格是一種能夠將知識進行橫向、縱向對比的可視化學習形式，也是學生參與數學思維可視化訓練頗具難度的一個項目。在列舉表格的過程中，學生需要從知識的前后關聯，或者知識的發(fā)展軌跡來進行填寫，這樣的訓練過程，會讓學生的思維更加嚴謹。

比如數學的單位換算，不能僅限于對數學單位的認識，還應該學會進行單位換算，這是數學學習的重要基礎，也是構建小學數學知識體系的一個橋梁。隨著年級遞增，數學學習內容不斷增加，要記住的數學公式也在增加。但是總有些學生對于數學中的單位換算掌握不牢，特別是有關長度和面積的計算，他們總是在解決問題的時候犯錯誤，對于單位的換算也頻頻出錯。幫學生理清知識體系，形成嚴謹的思維方式，我們可以將小學所學的單位換算整理成單位換算表（表略）。

學生在整理的過程中，發(fā)現長度單位在換算時，除了千米和米的進率是1000，其余相鄰的兩個長度單位之間的進率都是10；在面積單位中還可以引入“公畝”這一單位，計算面積時都是用兩個數量相乘，所以相鄰的兩個面積單位之間的進率就是10×10=100；同理，相鄰的兩個體（容）積單位之間的進率就是10×10×10=1000，這一系列做法，增強了知識結構的完整性，讓數學思維更嚴謹。

綜上所述，思維可視化之“為何”，突出其存在的價值，“何為”則呈現了其在深度學習中的具體操作樣態(tài)。本文雖僅從思維可視化之“為何”與“何為”這兩個問題進行探討，未免有失偏頗，但仍可以喚起大家對思維可視化教學的思考。特別是在具體教學實踐中，由于受學生的認知差異、學習內容的復雜程度等諸多因素影響，思維可視化的教學手段也需不斷調整，從而為學生的數學深度學習注入活力。