黃金超

(滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,安徽 滁州239000)

0 引 言

對(duì)單參數(shù)指數(shù)族未知參數(shù)的Bayes(EB)統(tǒng)計(jì)推斷已有相當(dāng)多的研究,如基于獨(dú)立同分布(iid)樣本下,文獻(xiàn)[1-5]討論了單參數(shù)指數(shù)族EB估計(jì)和檢驗(yàn)問題,并得到一些有意義的結(jié)論.文獻(xiàn)[6]在iid樣本下分別討論了雙指數(shù)分布參數(shù)的EB檢驗(yàn)和估計(jì)問題,但是在相關(guān)樣本下雙指數(shù)分布的參數(shù)EB估計(jì)問題,據(jù)我所知,文中還沒有出現(xiàn),在滲透理論,可靠性分析,以及在某些多元分析等實(shí)際問題中,遇到的樣本多具有相關(guān)性,常見有正相關(guān)(PA),負(fù)相關(guān)(NA).因而,在樣本相關(guān)的情形下研究雙指數(shù)分布參數(shù)的EB估計(jì)問題是非常有意義的.在“平方損失”NA樣本下討論了雙指數(shù)分布族數(shù)的EB估計(jì),構(gòu)造一漸近最優(yōu)EB估計(jì)函數(shù),在一定條件下,獲得EB估計(jì)是漸近最優(yōu)性且收斂速度的階為O(n-(rs-2)/2(s+2)).推廣現(xiàn)有文獻(xiàn)中的相應(yīng)結(jié)果.

1 預(yù)備知識(shí)

首先給出NA樣本隨機(jī)變量(r.v.)序列的定義.定義1.1 隨機(jī)變量X1,X2,…,X n稱為負(fù)相關(guān)的(NA),如果對(duì)于集合{1,2,…,n}的任何兩個(gè)不交的非空子集A1與A2都有

稱隨機(jī)變量序列{X j,j∈N}是負(fù)相關(guān)的(NA),如果對(duì)任何自然數(shù)n＞2,X1,X2,…,X n都是負(fù)相關(guān)的(NA).

考慮如下雙指數(shù)分布:

此處x∈χ=(-∞,+∞),θ∈Ω=(-∞,+∞),Ω為位置參數(shù)空間.

與常見指數(shù)分布族等類似,雙指數(shù)分布族同樣是一類應(yīng)用十分廣泛的分布.雙指數(shù)分布族可用于構(gòu)造保險(xiǎn)精算模型,各種經(jīng)濟(jì)模型經(jīng)常構(gòu)造雙指數(shù)模型,另外雙指數(shù)分布還用于工程技術(shù)方面,因此NA樣本下研究雙指數(shù)分布族位置參數(shù)的EB估計(jì)有重要的理論與實(shí)踐意義.

設(shè)G(θ)為參數(shù)θ的未知先驗(yàn)分布,r.v.X的邊緣分布密度為

其中G(θ)為θ的未知先驗(yàn)分布.

邊緣分布函數(shù)記F(x),即

取損失函數(shù)為

在平方損失(5)下,θ的Bayes估計(jì)為

對(duì)雙指數(shù)分布模型(2),在平方損失函數(shù)下θ的Bayes估計(jì)有下面引理給出.

引理1.1若f(x)＞0,則θ的Bayes估計(jì)為其中

當(dāng)f(x)=0時(shí),約定

由于先驗(yàn)分布G(θ)的未知,故不能確定,因此無使用價(jià)值.從而導(dǎo)致考慮該參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes(EB)估計(jì).

2 經(jīng)驗(yàn)Bayes(EB)估計(jì)

設(shè)X1,X2,…,X n和X是同分布NA樣本,密度函數(shù)如(3)式所示,通常稱X1,X2,…,X n為歷史樣本,稱X為當(dāng)前樣本,令f(x)為X1的概率密度函數(shù),假定:

此處C s,α,表示在R1上s階導(dǎo)數(shù)存在,連續(xù)且,用

定義為F(x)的估計(jì)量.其中I[A]為A的示性函數(shù).類似文獻(xiàn)[6]定義g(x)的估計(jì)量:

為了估計(jì)f(x),引入核函數(shù).令K(x)(r=0,1,…,s-1)為有界的Borel可測(cè)函數(shù),在(0,1)之外為0,且滿足條件(C):

(C2)K(x)在R1上除有限點(diǎn)集E0是可微的,且

對(duì)NA序列的協(xié)方差作如下假定:

密度函數(shù)f(x)的核估計(jì)定義為

定義θ的EB估計(jì)

類似文獻(xiàn)[5].

這里｛A n｝為正數(shù)序列,且=max(a,b),a∧b=min(a,b).

用E*,E n表示對(duì)(X1,…,X n,(X,θ)),X1,…,X n聯(lián)合分布分別求均值.故的全面Bayes風(fēng)險(xiǎn)為

令c,c0,c1,c2…表示不依賴n的正常數(shù).

3 若干引理及主要結(jié)果

引理3.1令X,Y是NA樣本序列,且方差有限,則對(duì)任意的可微函數(shù)g1,g2有

證明見文獻(xiàn)[7]引理1

引理3.2設(shè)f n(x)由(13)式定義,其中X1,X2,…,X n為NA樣本序列,若條件(C)和(D)成立且f(x)∈Cs,α,當(dāng)取時(shí),對(duì)0＜λ≤1有

證明見文獻(xiàn)[5]定理3.2.

引理3.3若R G＜∞,則對(duì)任何EB估計(jì)θ∧EB的風(fēng)險(xiǎn)R n有

證明見文獻(xiàn)Singh[2]引理2.1.

引理3.4對(duì)r.v.(Y,Z)和實(shí)數(shù)y,z≠0,0＜L＜∞且0＜λ≤2,則有

證明見文獻(xiàn)[5]引理3.4

引理3.5如果對(duì)則對(duì)(6)式定義的

證明 由凸函數(shù)Jensen不等式可知

引理3.6設(shè)g(x)和g n(x)分別由(8)和(12)式定義,其中X1,X2…,X n NA樣本序列,則對(duì)0＜r≤2有

證明類似文獻(xiàn)[6]引理3.2的證明

引理3.7若

此處s＞1為任意確定的自然數(shù),則對(duì)1/2＜r＜1-1/2s,有

證明見文獻(xiàn)[6]引理3.6.

定理3.1設(shè)R G,R n分別由(9)和(15)式定義由(14)定義,X1,X2,…,X n為NA樣本序列,s＞1的自然數(shù)且rs＞2,條件(C)和(D)成立,若

證明由引理3.3和條件(2)可知

故引理3.3的條件成立,因此有

其中

這里I(x)為示性函數(shù):I(x)=1,若x＞0;否則I(x)=0.

由條件(2)和(3)可得

由于0≤φn*(x)≤A n當(dāng)rs＞2時(shí),有

將(23)和(24)式代入(21)可得

取A n=n1/2(s+2)時(shí),可得

注:與文獻(xiàn)[6]比較,比文獻(xiàn)[6]多引用了一個(gè)NA樣本下的引理,定理的證明比文獻(xiàn)[6]定理證明簡(jiǎn)潔些.文獻(xiàn)[6]在iid樣本下得到收斂速度的階為比在NA樣本下得到收斂速度的階為略快,與條件較弱有關(guān),當(dāng)r→1,s→∞,收斂速度階均近似為O(n-1/2).在NA樣本下得到結(jié)論比iid樣本下更具有一般性,并推廣文獻(xiàn)[6]的相應(yīng)結(jié)果.