王雪芹, 李曉艷, 陳雨婷

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥230601)

0 引 言

隨著非奇異核分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的興起,許多學(xué)者致力于含有非奇異核分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的研究[1-9]中去。其中,多變量分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析更成為一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題,目前也已取得了一定的成果[10-12]。在前人工作的基礎(chǔ)上,主要利用一個(gè)新的比較原理,結(jié)合李雅普諾夫方法,通過(guò)構(gòu)造一個(gè)已知漸近性結(jié)果的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng),利用其漸近穩(wěn)定性確保原分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。將考慮如下多變量分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng):

或其矩陣形式為

1 預(yù)備知識(shí)

在本節(jié)中,將給出一些重要的定義與引理,具體的可參照相關(guān)文獻(xiàn)[5,6,7,9]。

定義1.1[6,7]函數(shù)f(t)是[0,b]上的可微函數(shù),并且f'∈L1(a,b)。則其ABC-分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為:

其中0＜α＜1,0＜t＜b,B(α)代表標(biāo)準(zhǔn)化函數(shù)。定義中的Eα代表單參數(shù)的Mittag-Leffler函數(shù),單參數(shù)和雙參數(shù)的Mittag-Leffler函數(shù)分別定義為

定義1.2[6,7]ABC-分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和雙參數(shù)的Mittag-Leffler函數(shù)的Laplace變換定義為:

引理1.3[5]設(shè)x(t)∈?n是連續(xù)可微的向量函數(shù),P∈?n×n是對(duì)稱正定的常矩陣,則有:

引理1.4[9]給定α∈?n,β∈?n,則有如下關(guān)系式成立:

2 主要結(jié)論

本節(jié)利用數(shù)學(xué)歸納法得到推廣的比較原理,并運(yùn)用李雅普諾夫方法,得出主要內(nèi)容。

引理2.1(比較原理)考慮下列的分?jǐn)?shù)階微分不等式

其中0＜αi≤1,i=1,2,…,d。與之相對(duì)應(yīng)的比較分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)為

初值條件為v ni(0,x ni(0))≤u ni(0,y ni(0)),i=1,2,…,d。其中k ii＜0,i=1,2,…,d,并且k ij≥0,i＞j。則 有v ni(t,x ni(t))≤u ni(t,y ni(t)),i=1,2,…,d。

證明:(i)當(dāng)i=1時(shí),從(3)中可以得到,存在非負(fù)函數(shù)m n1(t)使得

上式兩端Laplace變換可得

其中V n1(s)=L{v n1(t,x n1(t))},v n1(0)=v n1(0,x n1(0)),M n1(s)=L{m n1(t)},整理得

從(4)中可以得到

由(5),(6)和初值條件可得

(ii)假設(shè)當(dāng)i=d-1時(shí),有

當(dāng)i=d時(shí),存在非負(fù)函數(shù)m n d(t)使得

所以

由(8),(9),(10)和初值條件可得

由歸納假設(shè)可知,結(jié)論成立。證畢。

接下來(lái),給出的兩個(gè)引理[10,11]對(duì)我們得出的穩(wěn)定性結(jié)果是至關(guān)重要的。

引理2.2[10]若系統(tǒng)(1)的特征方程det[Δ(s)]=0的根均具有負(fù)實(shí)部,則系統(tǒng)(1)的零解是漸近穩(wěn)定的。其中

引理2.3[11]假定系統(tǒng)(1)的系數(shù)矩陣A∧是分塊上三角或分塊下三角矩陣,且每一個(gè)對(duì)角元均具有負(fù)實(shí)部。則系統(tǒng)(1)的零解是漸近穩(wěn)定的。

定理2.4若存在對(duì)稱正定矩陣P ni∈?ni×ni使得下列條件成立,則系統(tǒng)(1)的零解是漸近穩(wěn)定的:

(iii)(11)式的根均具有負(fù)實(shí)部

其中P ni∈?ni×ni是對(duì)稱正定矩陣,I ni∈?ni×ni,I n j∈?n j×n j是單位矩陣。

證明:首先構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V(t)=,其中是連續(xù)可微的二次函數(shù),由引理1.3可得

則可以得到

初值條件為U ni(0)=V ni(0),i=1,2,…,d。由引理2.1可得V n i(t)≤U ni(t),i=1,2,…,d。

在條件(iii)下,可得系統(tǒng)(14)的零解是漸近穩(wěn)定的,即有所以有

定理2.5若系統(tǒng)(1)的系數(shù)矩陣是分塊下三角矩陣,即A ij=O,i＜j。若存在對(duì)稱正定矩陣P n i∈?ni×ni使得下列條件成立,則系統(tǒng)(1)的零解是漸近穩(wěn)定的:

3 結(jié) 語(yǔ)

利用推廣的比較原理,通過(guò)構(gòu)造一個(gè)已知漸近性的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng),根據(jù)其漸近穩(wěn)定性保證原分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。結(jié)合連續(xù)可微二次函數(shù)的ABC-分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù),和文獻(xiàn)[10,11]中的穩(wěn)定性原理,得到了含有ABC-分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的多變量系統(tǒng)的穩(wěn)定性結(jié)果。同時(shí),也為我們研究具有非奇異核的分?jǐn)?shù)階算子的穩(wěn)定性提供了一種新的方法。