趙柏山，朱孟珍

（沈陽工業(yè)大學 信息科學與工程學院，遼寧 沈陽 110870）

0 引言

隨著機器人在各個領(lǐng)域的發(fā)展和廣泛應(yīng)用，人們對機器人的精度要求也進一步提高。機器人動力學系統(tǒng)由于受到很多的非線性的因素干擾，從而使得機器人的建模十分困難。與特征選擇類方法不同，特征提取方法是將原始數(shù)據(jù)映射到低維的空間，從而達到降維的目的。常用的特征提取的方法有許多，本文主要使用的是應(yīng)用廣泛的主成分分析法（PCA）。極限學習機（ELM）是近年在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種單隱層的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[1]。與傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，極限學習機的各方面性能都得到了提升，比如提高了訓練學習的速度，解決了傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)容易陷入局部極小的問題。

本文將結(jié)合PCA與ELM兩種方法，針對機械臂的狀態(tài)信號進行特征提取，提出一種改進的PCA-KELM算法，結(jié)合多分類方法分析機械臂系統(tǒng)中的非線性因素與特征值之間的關(guān)系，以便于以后的建模和后續(xù)研究。

1 主成分分析（PCA）

通過PCA[2]方法能將原本巨大的數(shù)據(jù)量壓縮到較小的數(shù)據(jù)量，而且其基本信息不會丟失。PCA的核心思想就是降維，PCA算法的具體步驟如下。（1）整理原始的數(shù)據(jù)矩陣：Xm×n；（2）求原始矩陣Xm×n的協(xié)方差矩陣Cov(X)；（3）求協(xié)方差矩陣的特征值和其對應(yīng)的特征向量；（4）選取最大的K個特征值及其對應(yīng)的特征向量，使其構(gòu)成矩陣Wn×k；（5）計算得到矩陣Zm×k=Xm×nWn×k。

2 核極限學習機(KELM)

ELM算法隨機產(chǎn)生輸入層與隱含層間的連接權(quán)值以及隱含層神經(jīng)元閾值，且在訓練過程中無須多次調(diào)整，只需要配置隱含層神經(jīng)元的數(shù)目，選擇合適的激活函數(shù)，就可以獲得唯一的最優(yōu)解[3]。極限學習機的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是單隱含層的，其中n是輸入層的神經(jīng)元數(shù)目，l是隱含層的神經(jīng)元數(shù)目，m為輸出層的神經(jīng)元數(shù)目。

w為輸入層與隱含層之間的連接權(quán)值，可表示為：

β是隱含層與輸出層間的連接權(quán)值，可表示為：

隱含層閾值為：

設(shè)激活函數(shù)為g(x)，則網(wǎng)絡(luò)的輸出為：

式（4）可以表示為：

其中，T'為矩陣T的轉(zhuǎn)置。

其中，H+為隱含層輸出矩陣H的Moore-Penrose廣義逆。關(guān)于H+的計算有多種方法，使用正交法[4]計算，當HHT矩陣為非奇異時，則H+=HT(HHT)-1。

將正則化系數(shù)1/C加在HH+的對角線上得到：

核極限學習機[5]就是在極限學習機的基礎(chǔ)上，引入核函數(shù)這個概念，利用Mercer條件構(gòu)造核矩陣來代替其HH+。

于是式（7）可以表示為：

則極限學習機的輸出函數(shù)為：

3 多分類算法

多分類問題最初是用于支持向量機，主要的方法有一對一（OAO）算法，決策二叉樹（BT）算法以及方向無環(huán)圖（DAG）算法等。

3.1 一對一（OAO）法

對于K(K>2)類的分類問題，將全部的類別中的任意兩類組成一個二分類器，共計構(gòu)成[K(K－1)]/2個二分類器[6]。在測試的時候，將樣本經(jīng)過全部的[K(K－1)]/2二分類器，每個分類器都作出一次判斷，將這一樣本歸為某一類。最后得票最多的就是該樣本所屬的類別。

3.2 決策二叉樹（BT）法

BT法在進行多類判別時，首先把全部的類別劃分為兩類，然后再將這兩個類別內(nèi)部劃分為兩個子類別，直到所有的小類中都只含有一類為止[7]。這樣只需要構(gòu)造K－1個二分類器。

3.3 有向無環(huán)圖（DAG）分類方法

DAG分類算法可以理解為OAO算法和BT算法的結(jié)合，把有向無環(huán)圖的思想引入到對OAO算法中，把多個分類器組合成一個多元分類器[8]。對于一個K類問題，DAG算法中有[K(K－1)]/2個節(jié)點，有[K(K－1)]/2個二分類器。

4 改進的PCA-KELM算法應(yīng)用于機械臂系統(tǒng)

4.1 柔性關(guān)節(jié)機械臂建模

本文主要針對柔性關(guān)節(jié)機械臂的關(guān)節(jié)剛度問題做了研究[9-10]。柔性關(guān)節(jié)機械臂動力學方程為：

其中，m1，m2分別表示連桿1、2的質(zhì)量，L1，L2分別表示連桿1、2的長度，l1，l2代表兩個桿的質(zhì)心位置。g為重力加速度，qm1，qm2分別表示電機1、2的轉(zhuǎn)角，ql1，ql2分別表示連桿1、2的轉(zhuǎn)角，τ1，τ2分別表示兩個關(guān)節(jié)的控制力矩。Dm(qm)表示電機慣量，D1(q1)表示連桿的慣性矩陣表示科氏力和離心力，τ表示電機的輸入力矩，Ng表示齒輪的減速比，Kg表示關(guān)節(jié)剛度。

4.2 算法實現(xiàn)

以下實驗結(jié)果均是基于關(guān)節(jié)1處的仿真數(shù)據(jù)進行的特征提取實驗。根據(jù)柔性關(guān)節(jié)的剛度不同，將數(shù)據(jù)分為5類。得到的數(shù)據(jù)集為1 600×10 001的原始特征矩陣。

針對ELM算法提出改進。ELM算法本身可以用于多分類的問題，但是其對于多分類問題的處理效果較差，于是我們考慮改進其多分類的算法。具體的改進方式是將支持向量機中多分類的方法引用到KELM中，使用OAO，BT和DAG 3種不同的算法處理分類問題時的多分類問題。得到仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1中，粗體的圓圈代表樣本點經(jīng)過測試估計的類別，偏細的點代表該樣本點正確的分類。3種方法的分類效果都不錯，粗體的圓圈幾乎把偏細的點全部覆蓋，只有零散的幾個點識別錯誤。

圖1 PCA-KELM-DAG算法結(jié)果

之后我們再使用傳統(tǒng)的PCA-ELM算法與其對比，對比結(jié)果如表1所示。

表1 不同算法的結(jié)果對比

從表1可以看出，改進的PCA-KELM算法對比傳統(tǒng)的PCA-ELM在測試集的正確率上有了很大的提升。3種多分類算法的正確率都比較高，算法效果比較優(yōu)秀，其中BT分類算法的測試集正確率比其他兩種分類方法的測試集正確率稍高。

5 結(jié)論

基于PCA算法的KELM算法，首先將原本高維的數(shù)據(jù)通過PCA算法進行特征提取實現(xiàn)降維，再利用KELM 算法結(jié)合多分類方法識別樣本的剛度屬于哪一區(qū)間。仿真結(jié)果表明，該算法的正確率相比于傳統(tǒng)的PCA-ELM算法有了大幅的提高。本文的研究為今后的柔性關(guān)節(jié)機械臂的建模建立了基礎(chǔ)，方便了后續(xù)的關(guān)于柔性關(guān)節(jié)機械臂的相關(guān)研究。