王兆壯，陳 恒，郭 棟，陳文博，馬書軼

（西京學(xué)院，陜西 西安 710123）

0 引言

與普通的混沌系統(tǒng)相比，憶阻器構(gòu)建的混沌系統(tǒng)具有更豐富的動力學(xué)行為。憶阻器混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列比普通的混沌信號更難以預(yù)測，更有利于混沌的應(yīng)用與通信加密[1-3]。

本文提出了含有6個參數(shù)、5個非線性項的五維混沌系統(tǒng)；采用理論推導(dǎo)、數(shù)值仿真的方法，研究了系統(tǒng)的吸引子圖、Lyapunov指數(shù)以及分岔圖的動力學(xué)特性。

1 混沌系統(tǒng)與分析

荷控憶阻器構(gòu)成的混沌電路如圖1所示。

圖1 混沌電路

根據(jù)KVL和KCL定律，整理得系統(tǒng)無量綱狀態(tài)方程表示為：

其中x，y，z，w，v為系統(tǒng)變量a，b，c，d，α，β為系統(tǒng)參數(shù)，當(dāng)a=18，b=16.2，c=0.2，d=9，α=1.1，β=3.6時，系統(tǒng)（1）存在一個混沌吸引子如圖2所示。

圖2 混沌吸引子（x-y-z）

1.1 耗散性

當(dāng)a+βv2+c+a+1>0時，則系統(tǒng)（1）是耗散的，且以指數(shù)形式收斂。由于系統(tǒng)是耗散且收斂的，系統(tǒng)的所有軌線都將被限制在一個體積為零的集合上，且其漸進(jìn)運(yùn)動固定在一個吸引子上，這表明了該吸引子的存在。

1.2 平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性

將系統(tǒng)（1）式右邊全部等于零，得到系統(tǒng)的所有平衡點(diǎn)集合，經(jīng)過計算求得，系統(tǒng)含有一個平衡點(diǎn)A={(x，y，z，w，v)∣x=y=z=w=v=0}，得到系統(tǒng)在平衡點(diǎn)A點(diǎn)處的Jacobi矩陣是：

由∣λE－JA∣=0，可以得到特征值為λ1=0，λ2=﹣25.163 3，λ3=﹣0.405 2 + 3.869 9i，λ4=﹣0.405 2－3.869 9i，λ5=6.973 6。從這些特征值的分布可以看出，平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)。

2 參數(shù)的影響

改變參數(shù)a，參數(shù)a∈[10，20]，其他參數(shù)不變，系統(tǒng)（1）的分岔圖如圖3所示?？梢钥闯?，系統(tǒng)在變化參數(shù)a∈[17.4，20]時處于混沌狀態(tài)，而在a∈[14.5，17.3]時處于周期狀態(tài)。

圖3 分岔圖

3 結(jié)語

本文對五維憶阻混沌系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值仿真，建立了系統(tǒng)的無量綱模型，經(jīng)過多次調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了本混沌系統(tǒng)的倍周期和混沌運(yùn)動，通過數(shù)值仿真，驗證了該系統(tǒng)動力學(xué)特性的豐富多樣性。本文混沌系統(tǒng)易于實(shí)現(xiàn)，在系統(tǒng)的電路設(shè)計、通信加密與混沌檢測等方面具有一定的潛在價值。