徐珂 許龍? 周光平

1) (中國計量大學(xué)物理系,杭州 310018)

2) (深圳職業(yè)技術(shù)學(xué)院電子與通信工程學(xué)院,深圳 518055)

為了深入探究空化泡群中氣泡的動力學(xué)特性,建立了超聲驅(qū)動下考慮水蒸氣的蒸發(fā)和冷凝的泡群中泡的動力方程.基于該方程,研究了泡群中泡的位置、泡的數(shù)量、泡的初始半徑對其動力學(xué)特性的影響,探究了超聲作用下球狀泡群中氣泡半徑、能量、溫度、壓力和氣泡內(nèi)水蒸氣分子數(shù)的變化規(guī)律.結(jié)果表明:泡群中泡的運動受到周圍氣泡的抑制作用;泡群中泡的初始半徑大小對泡群中泡的半徑、能量、溫度、壓力和氣泡內(nèi)水蒸氣分子數(shù)有顯著影響;泡群中泡的位置距離泡群中心越遠(yuǎn),泡的膨脹半徑越大;隨著泡群中泡的數(shù)目增加,泡的振幅減小;超聲頻率增加,泡群中泡的空化效應(yīng)減弱;超聲聲壓增加,泡群中泡的空化效應(yīng)增加.研究結(jié)果為超聲空化泡群的研究提供了理論參考.

1 引言

超聲空化是指液體中的微小泡核在聲波作用下被激活,表現(xiàn)為泡核的振蕩、生長、收縮乃至崩潰等一系列動力學(xué)過程[1].空化氣泡在崩潰時,泡內(nèi)會形成高溫高壓現(xiàn)象[2?7].空化氣泡崩潰的同時,還會伴隨著聲致發(fā)光、強烈的沖擊波以及微射流等現(xiàn)象的發(fā)生[2].利用空化氣泡崩潰瞬間產(chǎn)生的高溫高壓以及沖擊射流等極端物理條件,超聲空化在石油開發(fā)、癌癥治療、超聲清洗和廢水處理等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[8?12].

在超聲空化研究中,為了更好地理解空化效應(yīng)發(fā)生的物理機理,人們基于Rayleigh 空化泡的運動方程發(fā)展了單氣泡動力學(xué)模型來分析空化泡的動力學(xué)特性[13?19].文獻(xiàn)[13]考慮了動態(tài)聲空化泡氣液分界面處的氣體擴散.文獻(xiàn)[14]考慮了動態(tài)聲空化泡的氣液界面上的相變過程.文獻(xiàn)[15]考慮了化學(xué)變化對動態(tài)聲空化泡內(nèi)外質(zhì)量交換特性的影響.文獻(xiàn)[16,17]提出了關(guān)于動態(tài)聲空化泡內(nèi)外質(zhì)量交換的唯象模型,得到了考慮內(nèi)外質(zhì)量交換時空化泡的平衡半徑.文獻(xiàn)[18]考慮空化泡徑向速度很大時對外邊界壓力梯度的影響.文獻(xiàn)[19]在考慮動態(tài)聲空化泡的氣液界面上的相變情況下,研究了雙頻超聲對空化泡的動力學(xué)特性影響.

但是在實際應(yīng)用中的空泡總是以多泡(空化泡群)形式存在,為了探究實際情況下多泡中空化泡的動力學(xué)特性,許多課題組開展了對空化泡群[20?25]的有關(guān)研究.文獻(xiàn)[20]建立了鏈?zhǔn)脚萑汉颓驙钆萑簝?nèi)氣泡的動力學(xué)方程,分析了泡群內(nèi)氣泡的運動行為和多泡聲致發(fā)光特征.文獻(xiàn)[21]建立了由不同尺寸氣泡組成的泡群的動力學(xué)模型,研究了泡群內(nèi)氣泡初始半徑、氣泡數(shù)量、聲頻率及聲壓對氣泡動力學(xué)特性的影響.文獻(xiàn)[22]從均勻球狀泡群內(nèi)氣泡非線性振動方程出發(fā)分析了驅(qū)動聲壓幅值、聲波頻率和液體環(huán)境對空化氣泡振動特性的影響.文獻(xiàn)[23]從泡群中氣泡動力學(xué)方程出發(fā),對泡壁運動方程進(jìn)行線性約化,得到球狀泡群中氣泡諧振頻率的表達(dá)式,并給出了泡群中氣泡諧振頻率與單泡 Minnaert頻率的修正系數(shù).討論了泡群中氣泡初始半徑、氣泡數(shù)量、氣泡之間距離對諧振頻率的影響.文獻(xiàn)[24]考慮了氣泡壁上的質(zhì)量交換、熱傳導(dǎo)和化學(xué)反應(yīng)等效應(yīng),研究了聲壓幅值、頻率和氣泡數(shù)對球狀泡群內(nèi)的溫度和氧化劑生成量的影響.文獻(xiàn)[25]利用氣泡群及群內(nèi)任一氣泡的Rayleigh-Plesset 方程并結(jié)合van der Waals 過程方程,研究了不同類型氣泡組成的混合泡群中的氣泡半徑、泡內(nèi)溫度和群內(nèi)壓力脈沖變化規(guī)律.

以上關(guān)于空化泡群的研究,有的在不考慮氣泡內(nèi)外質(zhì)量交換的情況下,建立多氣泡動力學(xué)模型,或者在考慮氣泡內(nèi)外質(zhì)量交換的情況下,求解氣泡群內(nèi)物理特性變化.本文在考慮氣泡內(nèi)水蒸氣的蒸發(fā)和冷凝的前提下,結(jié)合氣泡之間的相互作用,建立了球狀泡群中泡的動力學(xué)模型,并探討了泡在泡群中的不同位置以及泡群中泡的數(shù)量、初始半徑對泡的動力學(xué)特性的影響.進(jìn)一步研究了不同聲場作用下泡群中氣泡半徑、能量、溫度、壓力和氣泡內(nèi)水蒸氣分子數(shù)的變化.

2 考慮水蒸氣的蒸發(fā)和冷凝的球狀泡群中泡的振動模型

2.1 理論模型

為了建立考慮內(nèi)外質(zhì)量交換的球狀泡群中空化泡的振動模型,先作出如下假設(shè):1) 不考慮球狀泡群邊界運動對泡群內(nèi)壓力分布的影響;2) 泡群內(nèi)空化泡始終為球形,只做徑向運動;3) 氣泡在泡群中分布均勻且初始半徑相同;4) 忽略泡內(nèi)空氣分子數(shù)量的改變;5) 忽略液體密度和液體中超聲傳遞速度的變化;6) 液體為可壓縮性流體,其表面張力、黏滯性不可忽略;7) 考慮水蒸氣的蒸發(fā)和冷凝的影響.

在考慮空化泡內(nèi)水蒸氣的蒸發(fā)和冷凝情況下,距離球狀泡群中心r0處的氣泡振動方程可近似表示為[14,20]

式中,R,和分別表示泡的半徑、半徑隨時間的變化速度和加速度.和分別代表單位時間內(nèi)空化氣泡單位面積上水蒸氣蒸發(fā)和冷凝的速度和加速度.c為水中的聲速,P0為水中靜壓,ρ為水的密度,A為超聲波的振幅,f為超聲波的頻率.其中r0為該氣泡在球狀泡群中的相對位置,N為泡群中氣泡總數(shù),rclust為球狀泡群的半徑.

Pout(t)為空化氣泡外邊界處的液體壓力,其表達(dá)式為

其中,Pin(t)為空化泡的泡內(nèi)壓強,σ為水的表面張力,μ為水的黏性系數(shù),ρa為氣泡內(nèi)氣體分子的密度,其表達(dá)式為

計算Pin(t)時,采用van der Waals 狀態(tài)方程:

式中,n(nair+)/NA,a和b是van der Waals量(二者會隨著泡內(nèi)水蒸氣分子數(shù)的變化而改變),Rg是氣體常數(shù),T是氣泡內(nèi)的溫度.a和b的變化方程為

其中,E是氣泡的內(nèi)能,Cv,air和Cv,H2O是空氣和水蒸氣的等體摩爾熱容.氣泡內(nèi)能E在單位時間的變化為

式中,等式右端第一項表示泡內(nèi)壓強在 ?t時間內(nèi)導(dǎo)致的空化泡內(nèi)能變化,?V(t) 表示氣泡體積在?t時間內(nèi)的變化.等式右端第二項表示泡內(nèi)的水蒸氣分子數(shù)量變化在 ?t時間內(nèi)產(chǎn)生的氣泡內(nèi)能變化.其中e是水蒸氣蒸發(fā)或冷凝所攜帶的能量[14].

其中,αM為常數(shù)[14],為水蒸氣的氣體常數(shù),為氣泡內(nèi)的飽和蒸氣壓,T0為液體溫度,為氣泡內(nèi)的水蒸氣分壓.K的表達(dá)式為

3 結(jié)果與討論

本文在求解空化泡的動力學(xué)方程式時,選擇Runge-Kutta 法.計算初始條件為R=R0,=0,=0,T=T0,==0,Pout=P0.水的物性參數(shù)為c=1500 m/s,σ=0.0725 N/m,μ=1×10–3Pa·s,ρ=1000 kg/m3,P0=1×105Pa.本文主要研究功率超聲作用下,泡群內(nèi)不同位置處空化泡的歸一化半徑、泡內(nèi)壓力、泡內(nèi)能量、泡內(nèi)溫度以及泡內(nèi)水蒸氣分子數(shù)隨時間的變化特性.

3.1 單泡與泡群中泡的動力學(xué)特性

為了研究泡群中泡的動力學(xué)特性,根據(jù)(1)式分別計算了單泡、泡群中心的泡和泡群表面的泡的動力學(xué)特性,計算結(jié)果如圖1 所示.單泡和泡群中泡的初始半徑R0=4.5 μm,根據(jù)文獻(xiàn)[20?22],泡群內(nèi)空化泡個數(shù)N=300,泡群半徑rclust=1×10–3m,超聲波的振幅A=1.5×P0,超聲波的頻率f=20 kHz.

圖1(a)為氣泡歸一化半徑隨時間的變化曲線.比較發(fā)現(xiàn),單泡的振動幅度明顯高于泡群中的泡,位于泡群表面泡的振動幅度大于位于泡群中心泡的振動幅度;單泡的膨脹和崩潰時間比泡群中泡的膨脹和崩潰時間更短,泡群表面的泡比泡群中心的泡先崩潰.圖1(b)為氣泡內(nèi)內(nèi)能隨時間的變化曲線.可以看出,單泡的泡內(nèi)內(nèi)能遠(yuǎn)大于位于泡群表面和泡群中心泡的泡內(nèi)內(nèi)能.圖1(c)為氣泡內(nèi)溫度隨時間的變化曲線.圖1(d)為氣泡內(nèi)壓力隨時間的變化曲線.結(jié)合圖1(c)和圖1(d)可以看出,單泡的泡內(nèi)最高溫度和最大壓力都要高于位于泡群中泡的泡內(nèi)最高溫度和最高壓力,且位于泡群中心的泡和位于泡群表面的泡的泡內(nèi)最高溫度和最大壓力較接近.圖1(e)為氣泡內(nèi)水分子數(shù)量隨時間的變化曲線,它的曲線形狀與氣泡歸一化半徑隨時間的變化曲線趨勢一致.可以看出,單泡泡內(nèi)水分子數(shù)量最大值遠(yuǎn)大于位于泡群中泡的泡內(nèi)水分子數(shù)量最大值.

圖1 單泡、泡群中心的泡和泡群表面的泡的動力學(xué)特性 (a) 氣泡歸一化半徑隨時間的變化曲線;(b) 氣泡內(nèi)內(nèi)能隨時間的變化曲線;(c) 氣泡內(nèi)溫度隨時間的變化曲線;(d) 氣泡內(nèi)壓力隨時間的變化曲線;(e) 氣泡內(nèi)水分子數(shù)量隨時間的變化曲線Fig.1.Dynamical behaviors of a single bubble,a bubble at the center of a bubble group and a bubble on the surface of a bubble group:(a) Change curve of the normalized radius with the time for the bubble;(b) change curve of the internal energy in the bubble with the time;(c) change curve of the temperature in the bubble with the time;(d) change curve of the pressure in the bubble with the time;(e) change curve of the number of water molecules in the bubble with the time.

由此可知,位于泡群中的泡由于受到周圍氣泡的作用,其振動幅度更小,崩潰時間更長,泡內(nèi)內(nèi)能、泡內(nèi)最高溫度、泡內(nèi)最大壓力和泡內(nèi)水分子數(shù)量更小.

3.2 初始半徑對泡群中心泡的動力學(xué)特性的影響

圖2 給出了泡群中不同初始半徑泡的動力學(xué)特性.泡群中泡的初始半徑R0取值分別為4.5,10.5,15.5 和20.5 μm,相應(yīng)的泡內(nèi)初始水分子個數(shù)和空氣分子個數(shù)也會改變[14,18].泡群內(nèi)泡的個數(shù)N=300,泡群半徑rclust=1×10–3m,超聲波的振幅A=1.5×P0,超聲波的頻率f=20 kHz.

圖2(a)為泡中心氣泡歸一化半徑隨時間的變化曲線.可以看出,在泡群半徑相同且泡群內(nèi)空化泡數(shù)目相同的情況下,初始半徑較大的氣泡在聲場作用下其歸一化振幅更小;初始半徑較大的氣泡的崩潰時間大于初始半徑小的氣泡的崩潰時間;初始半徑較大的氣泡有較少的振蕩.圖2(b)為泡中心氣泡內(nèi)內(nèi)能隨時間的變化曲線.可以看出,初始半徑較大的氣泡其泡內(nèi)內(nèi)能更大.圖2(c)和圖2(d)分別為泡中心氣泡內(nèi)溫度和壓力隨時間的變化曲線.觀察發(fā)現(xiàn),初始半徑較大的氣泡的泡內(nèi)最高溫度和最大壓力均小于初始半徑較小的氣泡的泡內(nèi)最高溫度和最高壓力.圖2(e)為泡中心氣泡內(nèi)水分子數(shù)量隨時間的變化曲線,可以看出,初始半徑大的氣泡內(nèi)水分子數(shù)量更多.

圖2 泡群中不同初始半徑的泡的動力學(xué)特性 (a) 氣泡歸一化半徑隨時間的變化;(b) 氣泡內(nèi)內(nèi)能隨時間的變化曲線;(c) 氣泡內(nèi)溫度隨時間的變化曲線;(d) 氣泡內(nèi)壓力隨時間的變化曲線;(e) 氣泡內(nèi)水分子數(shù)量隨時間的變化曲線Fig.2.Dynamic characteristics of the bubbles with different initial radii in bubble group:(a) Change curve of the normalized radius with the time;(b) change curve of the internal energy in the bubble with the time;(c) change curve of the temperature in the bubble with the time;(d) change curve of the pressure in the bubble with the time;(e) change curve of the number of water molecules in the bubble with the time.

3.3 泡群中泡的數(shù)量和相對位置對泡群中泡的動力學(xué)特性的影響

圖3 給出了泡群中不同位置的泡的動力學(xué)特性.泡群中泡的初始半徑R0=4.5 μm,根據(jù)文獻(xiàn)[23?25],泡群內(nèi)空化泡個數(shù)分別為N=300,N=500 和N=1000.泡群半徑rclust=1×10–3m,超聲振幅A=1.5×P0,超聲頻率f=20 kHz.

圖3 為含有不同空化泡數(shù)量(300,500 和1000 個)的泡群中,初始半徑R0=4.5 μm 的泡的最大膨脹半徑隨其距離泡群中心距離的變化關(guān)系曲線.可以發(fā)現(xiàn),自泡群中心位置到泡群表面的泡,距離泡群中心越遠(yuǎn),泡的最大膨脹半徑Rmax越大,Rmax/R0的曲線斜率變大,說明膨脹半徑的增長速率變大.在泡群半徑不變情況下,隨著泡群中空化泡數(shù)目的增加(即泡群中空化泡的密度增大),Rmax/R0的值減小,即泡的振幅減小.

圖3 泡群中不同位置的泡的動力學(xué)特性Fig.3.Dynamic characteristics of bubbles at different positions in a bubble group.

由以上分析可知,在泡群中,氣泡位置距離泡群中心越遠(yuǎn),它的膨脹半徑越大.隨著泡群中泡的數(shù)目增加,泡群中泡的振幅會減小.

3.4 聲場參數(shù)對泡群中泡的動力學(xué)特性的影響

3.4.1 頻率對泡群中泡的動力學(xué)特性的影響

圖4 給出了不同頻率下泡群中心泡的動力學(xué)特性.泡群中心泡的初始半徑為R0=4.5 μm,泡群中泡的個數(shù)N=300,泡群半徑rclust=1×10–3m,超聲波的振幅A=1.5×P0,超聲波的頻率分別為f=20 kHz,f=30 kHz 和f=50 kHz.

圖4(a)為氣泡歸一化半徑隨時間的變化曲線.可以看出,隨著超聲頻率的增加,氣泡在一個周期內(nèi)的振蕩次數(shù)減少,氣泡的振蕩幅度減小.圖4(b)—圖4(e)分別為氣泡內(nèi)內(nèi)能、溫度、壓力和水分子數(shù)量隨時間的變化關(guān)系曲線,比較可知,氣泡在破裂的瞬間,泡內(nèi)內(nèi)能達(dá)到最大值、泡內(nèi)溫度最高、泡內(nèi)壓力最大;氣泡膨脹到最大時泡內(nèi)水分子數(shù)量最多;隨著超聲頻率的增加,氣泡的泡內(nèi)最大內(nèi)能、最高溫度、最大壓力和水分子數(shù)量均減小.這是因為超聲波頻率越高,負(fù)壓相位的時間縮短,氣泡內(nèi)部低壓持續(xù)時間越短,水蒸氣分子蒸發(fā)的時間越短,導(dǎo)致氣泡中積累的水蒸氣分子越少,空化效應(yīng)也會減弱.

圖4 不同頻率下泡群中泡的動力學(xué)特性 (a) 氣泡歸一化半徑隨時間的變化;(b) 氣泡內(nèi)內(nèi)能隨時間的變化曲線;(e) 氣泡內(nèi)水分子數(shù)量隨時間的變化曲線Fig.4.Dynamic characteristics of the bubbles in bubble groups at different frequencies:(a) Change curve of the normalized radius with the time for the bubble;(b) change curve of the internal energy in the bubble with the time;(c) change curve of the temperature in the bubble with the time;(d) change curve of the pressure in the bubble with the time;(e) change curve of the number of water molecules in the bubble with the time.

3.4.2 聲壓對泡群中泡的動力學(xué)特性的影響

圖5 為泡群中心的泡在不同聲壓下驅(qū)動下的動力學(xué)特性.泡群中泡的初始半徑為R0=4.5 μm,泡群內(nèi)空化泡個數(shù)N=300,泡群半徑rclust=1×10–3m,超聲波的振幅分別為A=1.2×P0,A=1.5×P0和A=2.0×P0,超聲波的頻率為f=20 kHz.

圖5 不同聲壓下泡群中泡的動力學(xué)特性 (a) 氣泡歸一化半徑隨時間的變化;(b) 氣泡內(nèi)內(nèi)能隨時間的變化曲線;(c) 氣泡內(nèi)溫度隨時間的變化曲線;(d) 氣泡內(nèi)壓力隨時間的變化曲線;(e) 氣泡內(nèi)水分子數(shù)量隨時間的變化曲線Fig.5.Dynamic characteristics of bubbles in bubble groups under different sound pressures:(a) Change curve of the normalized radius with the time for the bubble;(b) change curve of the internal energy in the bubble with the time;(c) change curve of the temperature in the bubble with the time;(d) change curve of the pressure in the bubble with the time;(e) change curve of the number of water molecules in the bubble with the time.

圖5(a)為氣泡歸一化半徑隨時間的變化曲線.隨著超聲聲壓的增加,空化泡振蕩幅值增大,氣泡半徑最大值增大,空化泡崩潰時間增加,空化泡崩潰后振蕩減少.圖5(b)—(e)分別為不同聲壓驅(qū)動下泡內(nèi)內(nèi)能、溫度、壓力和水分子數(shù)量隨時間的變化曲線,可以看出,超聲聲壓增大,氣泡內(nèi)內(nèi)能、溫度和泡內(nèi)壓強的最大值會增大,氣泡內(nèi)部壓強和溫度的最小值減小,氣泡泡內(nèi)水分子數(shù)量最大值增大.這是因為超聲振幅越大,在超聲頻率不變的情況下,氣泡在相同時間的超聲波負(fù)壓相吸收的能量越多,同時氣泡的膨脹階段的時間也會延長,氣泡內(nèi)的壓強會越低,水蒸氣分子蒸發(fā)速率會增大,泡內(nèi)的水蒸氣分子數(shù)量就増加得越多,泡內(nèi)內(nèi)能也就越高.由此可知,當(dāng)超聲聲壓增加時,泡群中泡的空化效應(yīng)也會增加.

4 結(jié)論

考慮空化泡內(nèi)水蒸氣的蒸發(fā)和冷凝的前提下,結(jié)合氣泡之間的相互作用,建立了球狀泡群中泡的動力學(xué)模型,探討了泡在泡群中的不同位置以及泡群中泡的數(shù)量、初始半徑對泡的動力學(xué)特性的影響.進(jìn)一步研究了不同聲場作用下泡群中氣泡半徑、能量、溫度、壓力和氣泡內(nèi)水蒸氣分子數(shù)的變化.得到以下結(jié)論.

1)相比于單泡,泡群中泡的振動幅度更小,崩潰時間更長,泡內(nèi)的內(nèi)能、最高溫度、最大壓力和水分子數(shù)量更小.泡群中泡的位置距離泡群中心越遠(yuǎn),泡的膨脹半徑越大.

2)泡群中泡的初始半徑大小對泡群中泡的歸一化振幅、崩潰時間、泡內(nèi)內(nèi)能、溫度、壓力和水分子數(shù)量具有明顯影響.

3)隨著泡群中泡的數(shù)目增加,泡群中泡的振幅會減小,會影響泡群的整體空化效果.

4)超聲頻率越高,氣泡在一個周期內(nèi)的振蕩次數(shù)越小,氣泡的振蕩幅度越小,氣泡內(nèi)的最大壓力和能量越小,氣泡內(nèi)部壓力和溫度的最小值越大,氣泡內(nèi)水分子數(shù)越小.超聲頻率增加時,泡群中泡的空化效應(yīng)減弱.

5)隨著超聲聲壓的增加,空化泡振蕩幅值增大,氣泡半徑最大值增大,空化泡崩潰時間增加,空化泡崩潰后振蕩減少,氣泡內(nèi)內(nèi)能、溫度和泡內(nèi)壓強的最大值增大,氣泡內(nèi)部壓強和溫度的最小值減小,氣泡泡內(nèi)水分子數(shù)量最大值增大.超聲聲壓增加時,泡群中泡的空化效應(yīng)增加.