楊光昌,白 冰,劉 洋,陳佩佩

(1.北京科技大學 土木與資源工程學院，北京 100083; 2.北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044;3.北京建筑大學 理學院，北京 102616)

土體作為一種顆粒類材料，其力學特性十分復雜[1-3]。尤其砂土，其力學特性與其所處的物理狀態(tài)直接相關(guān)，表現(xiàn)為松砂的剪縮以及密砂的剪脹特性[4-5]。此外，砂土的松密狀態(tài)不僅與其相對密度有關(guān)，還取決于剪切過程中所施加的圍壓大小。對于具有相同相對密度的砂土，在圍壓較低時可能發(fā)生剪脹，在高圍壓下則可能發(fā)生剪縮[4,6]。飽和松砂在剪切過程中甚至可以達到靜力液化狀態(tài)，這也是在實際工程中時常遇到的問題[7-8]。發(fā)展一個可以描述飽和砂土復雜力學特性的本構(gòu)模型，也是學者們一直致力于研究的課題。

盡管砂土存在這種特殊的力學特性，無論初始時處于什么樣的物理狀態(tài)，最后都將達到體應變?yōu)榱愕呐R界狀態(tài)[9]。很多學者在臨界狀態(tài)理論的基礎(chǔ)上，引入狀態(tài)參數(shù)，來建立砂土的本構(gòu)模型[10-18]。狀態(tài)參數(shù)由相對密度和圍壓兩個因素共同確定，可以反映材料的松密狀態(tài)，從而使建立的本構(gòu)模型能夠考慮加載過程中因狀態(tài)變化而引起的力學行為。此外，一些研究[19-20]認為砂土的臨界狀態(tài)在試驗中較難得到，以臨界狀態(tài)線作為狀態(tài)參量的參考線，可能會導致不能準確地描述砂土的變形特性。并且他們將相變狀態(tài)作為參考點，建立了基于相變狀態(tài)的邊界面本構(gòu)模型。近年來，也有學者在臨界狀態(tài)理論或邊界面理論的框架下，通過修正其中的一些本構(gòu)關(guān)系，來建立可描述砂土復雜力學特性(剪脹性、循環(huán)加載特性等)的彈塑性本構(gòu)模型[21-23]。如Wei等[22]通過對狀態(tài)相關(guān)彈性模量以及塑性硬化模量進行統(tǒng)一描述，只需要一組彈性參數(shù)和硬化參數(shù)便可反映不同細粒含量砂土的力學特性。Liang等[23]通過將非正交塑性流動規(guī)則應用于改進的橢圓屈服函數(shù)，可直接確定塑性流動方向，并提出了一個新的硬化參數(shù)來描述剪切過程中體積的收縮和膨脹變化，將非正交塑性流動法則與提出的硬化參數(shù)結(jié)合，使該模型能夠合理地描述砂土的剪脹應力-應變關(guān)系。

砂土本構(gòu)模型的建立大都以經(jīng)典彈塑性理論為基礎(chǔ)，這也是目前應用最廣泛的本構(gòu)模型理論，比如著名的劍橋模型。然而，這些模型所采用的本構(gòu)方程大都是通過試驗結(jié)果擬合得出的經(jīng)驗公式，缺少嚴格的理論基礎(chǔ)。也有一些模型基于熱力學理論，通過分析土骨架變形過程中的耗散能以及土體的熱力學勢，定義自由能函數(shù)以及耗散勢函數(shù)，利用熱力學原理推導出流動法則和屈服準則，也稱為超塑性模型[16]。這類模型并沒有擺脫經(jīng)典彈塑性力學模型的構(gòu)建思路，仍需要規(guī)定屈服準則、流動法則等概念。近年來，一些學者基于顆粒物質(zhì)流體熱動力學理論建立土體的本構(gòu)模型，并且在飽和以及非飽和黏土中得到了成功應用[24-27]。該理論用一種簡單的宏觀連續(xù)方法，同時考慮了土體宏觀和細觀行為的區(qū)別和聯(lián)系，是一種能反映土體多尺度特性的理論模型。

本文基于顆粒層次上的能量耗散機制，建立了一個針對飽和砂土的熱力學本構(gòu)模型。模型引入顆粒溫度的概念來反映顆粒層次(細觀)上的耗散。通過遷移系數(shù)和能量密度函數(shù)模型將飽和砂土的耗散機制與宏觀的力學行為建立聯(lián)系。這些使得模型能夠更深入描述飽和砂土的能量耗散機理及其引發(fā)的宏觀力學特性。并將考慮狀態(tài)參數(shù)的剪脹方程與模型參數(shù)相結(jié)合，有效地描述飽和砂土在剪切過程中由于相對密度和有效圍壓的變化對土體強度和變形特性的影響。

1 模型理論框架

1.1 顆粒熵和顆粒溫度

從物質(zhì)結(jié)構(gòu)角度來看，巖土類材料等的顆粒物質(zhì)與常見的水、空氣等普通流體，或金屬、晶體等普通固體有顯著差別。除了具有宏觀和微觀兩個空間層次外，巖土類材料還多出一個顆粒層次，或稱細觀層次。該層次上的相互作用為顆粒之間的接觸力，即除了微觀層次分子的熱運動外，還存在顆粒層次上的無規(guī)則運動，如顆粒間的滑移、碰撞、滾動等，也稱為顆粒間的漲落運動。熱力學中，微觀層次分子的無序運動在宏觀層次上的表現(xiàn)形式為熱力學熵S或溫度T。凝聚態(tài)物理學家們通過將顆粒間的漲落運動與微觀分子的無序運動進行類比，用顆粒熵Sg或顆粒溫度Tg的概念來描述顆粒層次上的漲落運動[28]。與微觀分子熱運動不同的是，顆粒之間的相互作用一般是非彈性的，這將產(chǎn)生能量的耗散，并且如果沒有持續(xù)性的激勵，顆粒的漲落運動將以宏觀能量耗散的形式發(fā)生衰減，直至漲落消失并重新達到平衡態(tài)。對于具有多尺度的巖土類材料，這種處理方法簡單有效，從能量耗散的角度出發(fā)，抓住材料多尺度行為的本質(zhì)特征。

由于顆粒之間的非彈性運動，使得Sg會不斷地向S轉(zhuǎn)移，類似于熵增加方程，顆粒熵的運動方程可表示為

(1)

式中：ρs為固相的表征密度；?g=Sg/ρs為比熵；Ig為顆粒熵的衰減率，是由顆粒溫度Tg引起的系統(tǒng)的熵增。即Tg為引起熵增的耗散力，Ig則為相應的耗散流，在偏離平衡態(tài)不遠的非平衡態(tài)區(qū)，耗散流可以表示為耗散力的線性函數(shù)[29]，因此，有Ig=γTg，γ為遷移系數(shù)。

根據(jù)Onsager關(guān)系[30]，熵產(chǎn)生可以表示為耗散力和耗散流的乘積。若僅考慮顆粒層次上的黏滯產(chǎn)生的耗散，顆粒熵產(chǎn)生Rg可以表示為

(2)

同樣，二者也存在線性關(guān)系：

(3)

(4)

式中λvg和λsg為顆粒層次上的遷移系數(shù)。

此外，與顆粒漲落運動相關(guān)的能量密度wg可表示為顆粒密度和顆粒溫度的函數(shù)[28]：

(5)

式中b為材料參數(shù)。

根據(jù)熱力學共軛關(guān)系可知：

(6)

因此，可得出?g=bTg。結(jié)合上述關(guān)系式可得到顆粒溫度的運動方程：

(7)

令c2=(ηs)2λsg/γ，c3=(ηs)2λvg/γ，c4=γ/b，則式(7)可表示為

(8)

式中Tgg=ηs2Tg是為簡化表達而定義的顆粒溫度的表示形式。

1.2 應力的表達

砂土的平衡態(tài)熱力學全微分形式可以表示為

(9)

通過類比赫茲接觸，將接觸球比作顆粒固體，將彈簧比作胡克固體，給出的顆粒類材料的彈性勢能密度函數(shù)如下[28]：

(10)

Zhan等[24]針對孔隙中含有水的黏性土材料，將上式修正為

(11)

針對飽和砂土情形，不考慮黏聚力的影響，可將式(11)表示為

(12)

因此，可得πij的表達式：

(13)

定義彈性體積模量Kg和彈性剪切模量Gg分別為

(14)

(15)

πij又可以表示為類似于Cauchy應力的形式：

(16)

此外，有效平均應力和剪應力可分別表示為

(17)

(18)

由飽和土的等向固結(jié)壓縮曲線可知，孔隙比e與ln(p′/pa)近似成線性關(guān)系：

Γ=e+λln(p′/pa)

(19)

式中：λ為壓縮曲線的斜率，Г為特殊孔隙比。

ln(p′/pa)=Ξ+ln(B0/pa)+lnA

(20)

1.3 應變的表達

(21)

式中：ηijkl為遷移系數(shù)，與顆粒溫度相關(guān)。類似地，在各向同性條件下其形式可表示為

(22)

式中：ηv和ηs為相應的遷移系數(shù)；指數(shù)a為反映率相關(guān)的參數(shù)[24]，當取0.5時，為率無關(guān)，本模型中a取為0.5。

將式(16)、(22)代入式(21)，可得到塑性應變率的表達式為

(23)

令c1=ηv/ηs，則土體的彈性體應變率和彈性剪應變率可分別表示為

(24)

(25)

1.4 狀態(tài)參數(shù)

根據(jù)臨界狀態(tài)土力學理論[9]，當達到臨界狀態(tài)時，體應變不再發(fā)生變化，此時的孔隙比與作用于土體上的有效應力之間存在著獨特的關(guān)系。大量的試驗結(jié)果表明，砂土材料的臨界狀態(tài)線更適用于冪函數(shù)來描述，Li和Dafalias[12]將砂土的臨界狀態(tài)線表達為

ec=eΓ-λc(p′/pa)ξ

(26)

式中：λc為e-(p′/pa)ξ平面內(nèi)曲線的斜率，如圖1所示；eΓ、ξ為曲線的參數(shù)；pa為大氣壓力。

Been等[10]引入了一種狀態(tài)參數(shù)來描述砂土的松密狀態(tài)，定義為ψ=e-ec，即當前孔隙比e和與e具有相同有效應力的臨界狀態(tài)孔隙比ec之差，如圖1所示。當ψ>0時，砂土處于松的狀態(tài)，反之則處于密的狀態(tài)。狀態(tài)參數(shù)的定義同時包含了相對密度和壓力兩個因素，可以反映砂土在加載過程中的狀態(tài)變化。也有研究[14-15]將狀態(tài)參數(shù)定義為ψ=e/ec，二者的意義是相同的。

圖1 臨界狀態(tài)和狀態(tài)參數(shù)示意

1.5 剪脹方程

(27)

式中：η=q/p′為應力比；ψ=e-ec為狀態(tài)參數(shù)；M為臨界狀態(tài)應力比；d0、m為非負常數(shù)，可由試驗確定。當m=0，d0=M時，式(27)退化為劍橋剪脹公式，d=M-η。

(28)

1.6 模型參數(shù)

本文提出的本構(gòu)模型中涉及了較多的熱力學概念和變量，有些可能是土力學中不常用、不能由土體試驗直接測量的量。但這些量都是客觀存在的量，并非空泛的名字和符號。模型所涉及的參數(shù)如下：與彈性勢能密度函數(shù)相關(guān)的參數(shù)，包括B0、ζ、λ；與顆粒運動相關(guān)的遷移系數(shù)，包括ηv、ηs、λvg、λsg、b、γ;與剪脹方程相關(guān)的參數(shù)，包括eΓ、ξ、λc、M、d0。其中，對于與顆粒運動相關(guān)的遷移系數(shù)并不需要一一標定，因為模型最終計算所需的參數(shù)為c1-c4(c1=ηv/ηs，c2=(ηs)2λsg/γ,c3=(ηs)2λvg/γ,c4=γ/b)，只需要標定c1-c4的值即可。具體標定方法如下：

1)與剪脹方程相關(guān)的參數(shù)的標定可參考文獻[12]來確定，里面給出了具體的確定方法。M為臨界應力比；eΓ、ξ、λc可根據(jù)臨界狀態(tài)線的試驗數(shù)據(jù)擬合得出；m可根據(jù)在d=0時的相變狀態(tài)確定；d0可根據(jù)εv-εs曲線來確定。

2)與彈性勢能密度函數(shù)相關(guān)的參數(shù)，B0和λ可通過等向固結(jié)曲線來確定(式(17))，λ為壓縮曲線的斜率，ζ可通過達到臨界狀態(tài)時的應力比以及剪應力的大小確定。

2 模型驗證

以文獻[31-32]中對Toyoura砂進行的系列試驗，包括等向壓縮試驗，排水和不排水剪切試驗，來驗證本文所提出模型的有效性。模型計算時，彈性體應變的初始值可通過等向壓縮及回彈試驗來確定，彈性剪應變的初始值為零。模型中的狀態(tài)參數(shù)直接取自文獻[12]，其他參數(shù)通過1.6節(jié)所述方法進行確定。狀態(tài)相關(guān)參數(shù)：M=1.25，ξ=0.7，eГ=0.934，λc=0.019，m=3.5，d0=10，Gs=2.636；熱力學模型相關(guān)參數(shù)：c3=90 000，c4=800，B0=1.064×108MPa，λ=0.45，ζ=15。

圖2為對不同孔隙比Toyoura砂壓縮試驗的模擬結(jié)果，其中實線為模型參數(shù)c3的標定結(jié)果，虛線為驗證結(jié)果?？梢钥闯觯煌軐嵍鹊纳巴?，其固結(jié)壓縮曲線在e-lnp′平面內(nèi)的斜率基本一致，模型的模擬結(jié)果可以和試驗結(jié)果較好地吻合。

圖2 不同孔隙比Toyoura砂壓縮試驗的模擬

圖3～5為不同孔隙比e為0.735、0.833、0.907的試樣，在不同初始圍壓σ3為1、2、3 MPa下的不排水剪切試驗模擬結(jié)果。可以看出，當砂土孔隙比較小時(圖3)，不同圍壓下的試樣均表現(xiàn)為剪切硬化，并且先剪縮，后剪脹。初始圍壓較大時，土樣相對疏松，剪縮量也較大，而隨后的剪脹量相對較小。隨著孔隙比的增大(圖4)，試樣的剪縮量也隨之增大，而隨后的剪脹量減小。當圍壓較大時，基本不發(fā)生剪脹，并且發(fā)生明顯的軟化現(xiàn)象。當孔隙比較大時(圖5)，不同圍壓下的試樣均表現(xiàn)出明顯的軟化現(xiàn)象，并且試樣一直表現(xiàn)為剪縮。模型模擬結(jié)果可以很好地反映出砂土不排水的剪切特性。

圖3 e=0.735不排水剪切試驗模擬

圖4 e=0.833不排水剪切試驗模擬

圖5 e=0.907不排水剪切試驗模擬

圖6、7分別為不同初始孔隙比e為0.831、0.917、0.996和e為0.810、0.886、0.960的試樣，在初始圍壓0.1和0.5 MPa下的排水剪切試驗過程中剪應力和孔隙比(體應變)的模擬結(jié)果。當孔隙比較大時，試樣一直表現(xiàn)為剪縮，并表現(xiàn)出剪切硬化，當孔隙比較小時(e=0.831)，試樣先發(fā)生剪縮，而后剪脹，并伴隨著輕微的軟化現(xiàn)象?？梢钥闯觯傮w的模擬結(jié)果與試驗結(jié)果基本一致，但孔隙比較大時模擬結(jié)果與試驗結(jié)果有一定的偏差。一方面由于模型參數(shù)均是以較小孔隙比的試樣進行標定(圖2、3)，使得在較小孔隙比下的模擬效果更好。另一方面對于排水剪切，模擬過程假設(shè)孔隙水壓力為0，而實際試驗過程中，對于孔隙比較大的試樣排水剪切發(fā)生體縮，會有較小的正的孔隙水壓力產(chǎn)生，在一定程度上可加速排水過程，使得試驗結(jié)果孔隙比的變化率要比模擬結(jié)果的大，剪切強度隨軸向應變的增加速率要比模擬結(jié)果的小，并且孔隙比越大，這種現(xiàn)象越明顯。盡管模擬結(jié)果與試驗結(jié)果存在一定的偏差，但可以反映出總體的變化趨勢。

圖排水剪切試驗模擬

3 結(jié) 語

由于耗散對砂土的力學行為有很大影響，一般用熵和熱力學語言來闡述最為方便和可靠，還能保證模型與基本物理原理不相沖突。本文基于顆粒層次上的能量耗散機制，結(jié)合引入狀態(tài)參數(shù)的剪脹方程，提出了一個可描述飽和砂土剪脹性的熱力學本構(gòu)模型。模型引入顆粒熵和顆粒溫度的概念，通過混合物理論構(gòu)建飽和砂土的熱力學恒等式，得出飽和砂土非彈性變形的本構(gòu)關(guān)系。改進了原有的彈性勢能函數(shù)形式，使得其更適合描述飽和砂土的力學行為，并通過遷移系數(shù)和能量函數(shù)模型將飽和砂土的耗散機制與宏觀的物理力學行為建立聯(lián)系。模型的形式較為簡單，不涉及傳統(tǒng)模型中的屈服準則、流動法則等概念，對于具有多尺度的砂土類材料，這種處理方法簡單有效，從能量耗散的角度出發(fā)，抓住材料多尺度行為的本質(zhì)特征。通過一組模型參數(shù)便可以描述飽和砂土在剪切過程中由于相對密度和有效圍壓的變化對強度和變形特性的影響?；谀M計算與Toyoura砂等向壓縮、三軸不排水以及排水剪切試驗結(jié)果的對比，驗證了模型描述飽和砂土壓縮和剪切特性的能力。

本文嘗試從顆粒物質(zhì)熱動力學角度出發(fā)，建立砂土的本構(gòu)模型，盡管模型體現(xiàn)出了一定的優(yōu)勢，相對于經(jīng)典的彈塑性本構(gòu)模型也有其不足之處，如模型暫不能考慮與率相關(guān)的硬化特性和各向異性，以及級配效應等，這也是模型后續(xù)逐步完善的地方。