張 橫 丁曉紅 沈 磊 徐世鵬

上海理工大學(xué)機械工程學(xué)院，上海,200093

0 引言

航天航空、航海等工程裝備日益向高速重載方向發(fā)展，三明治結(jié)構(gòu)由于具有多功能性的特點被廣泛應(yīng)用于這些工程裝備中。這些工程裝備在工作中經(jīng)常承受動態(tài)載荷，容易引發(fā)結(jié)構(gòu)振動噪聲問題，如潛艇的隱身性能與艦體的振動噪聲息息相關(guān)，減小艦體的振動噪聲可以有效提高潛艇的隱身性能。為保證這些裝備能夠正常有效工作，通常要將結(jié)構(gòu)的振動水平控制在某一范圍內(nèi)。結(jié)構(gòu)振動控制通常采用主動控制和被動控制方法。被動控制方法由于其可靠性高、可控頻帶寬等優(yōu)點，成為結(jié)構(gòu)振動噪聲控制的有效方法，其中在結(jié)構(gòu)上施加阻尼材料，通過提高結(jié)構(gòu)阻尼來達到減振目的是一種行之有效的措施。另外，結(jié)構(gòu)還需要保證高剛度特性，以滿足承受載荷的需求。

三明治阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的宏觀性能與中間阻尼層材料的性能息息相關(guān)，針對高剛度高阻尼的設(shè)計要求，有效且直接的方法是設(shè)計阻尼復(fù)合材料的微結(jié)構(gòu)。為了實現(xiàn)高剛度高阻尼，阻尼復(fù)合材料在微觀結(jié)構(gòu)上可由兩相材料組成，一相為剛度較大的材料，用于保證結(jié)構(gòu)的剛度，另一相為阻尼較大的材料，用于提高結(jié)構(gòu)的阻尼。通過對這兩相具有競爭性的材料進行拓撲優(yōu)化設(shè)計，可以得到高剛度高阻尼的三明治阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)。

針對材料微結(jié)構(gòu)設(shè)計問題，SIGMUND[1-2]提出了基于逆均勻化方法的材料微結(jié)構(gòu)設(shè)計方法，實現(xiàn)了材料特定剛度和負泊松比設(shè)計。對于阻尼復(fù)合材料的設(shè)計，YI等[3-4]研究表明，微觀拓撲形態(tài)的改變可以提高黏彈性復(fù)合結(jié)構(gòu)的剛度和阻尼性能，并通過將逆均勻化方法[1-2]應(yīng)用于阻尼復(fù)合材料的設(shè)計中，實現(xiàn)了以提高阻尼復(fù)合材料剛度和阻尼性能為目標(biāo)的微結(jié)構(gòu)設(shè)計。ANDREASSEN等[5]針對阻尼復(fù)合材料不同的微結(jié)構(gòu)形式對材料的帶隙特性的影響進行了研究。CHEN等[6]對阻尼材料剪切模量和阻尼因子之間的關(guān)系進行了研究，并通過對剪切模量進行優(yōu)化設(shè)計，來提高結(jié)構(gòu)阻尼。ANDREASEN等[7]以提高結(jié)構(gòu)阻尼性能為目標(biāo)對黏彈性復(fù)合材料的微結(jié)構(gòu)進行了優(yōu)化設(shè)計。HUANG等[8]研究了阻尼復(fù)合材料設(shè)計中目標(biāo)問題，對比了分別以剛度和阻尼為設(shè)計目標(biāo)時微結(jié)構(gòu)的構(gòu)型問題。

針對以結(jié)構(gòu)宏觀性能為目標(biāo)的微結(jié)構(gòu)設(shè)計問題，CHEN等[9]分別以結(jié)構(gòu)第一階阻尼比、第二階阻尼比、第三階阻尼比和前三階加權(quán)阻尼比加權(quán)和為目標(biāo)對約束阻尼層結(jié)構(gòu)的微結(jié)構(gòu)問題進行設(shè)計研究，結(jié)果表明，在這4種設(shè)計目標(biāo)下，當(dāng)體積分?jǐn)?shù)為0.4和0.5時微結(jié)構(gòu)的構(gòu)型基本相同。YUN等[10]針對動態(tài)載荷作用下三明治阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)中的阻尼層進行了微結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計研究，設(shè)計結(jié)果表明，進行微結(jié)構(gòu)設(shè)計后整體結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)大幅減小。LIU等[11]在考慮結(jié)構(gòu)頻率約束情況下對阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的微結(jié)構(gòu)進行了設(shè)計，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)相較于經(jīng)驗設(shè)計明顯減小。ZHANG等[12]研究了阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的多尺度設(shè)計問題，研究表明阻尼復(fù)合材料可以有效提高結(jié)構(gòu)阻尼、減小振動響應(yīng)。

盡管對阻尼復(fù)合材料進行微結(jié)構(gòu)設(shè)計可以有效提高材料阻尼性能，達到減振的目的，但是通常以阻尼為目標(biāo)的阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)設(shè)計中[4-5，7-8，12]，都是阻尼較大相材料保持連接性，剛度相被分割為孤島，這主要是因為阻尼相連接能保證結(jié)構(gòu)的虛部較大、實部較小，從而可以有效提高結(jié)構(gòu)的阻尼，但是這種結(jié)構(gòu)不利于后續(xù)的加工制造。ANDREASEN等[5]研究發(fā)現(xiàn)，通過剛度約束并不能保證微結(jié)構(gòu)的連接性。HUANG等[8]研究表明，以阻尼因子為目標(biāo)可以有效提高材料阻尼性能，微結(jié)構(gòu)中阻尼材料保持連接性；而以剛度為目標(biāo)可以保證微結(jié)構(gòu)中剛度相材料保持連接，但是微結(jié)構(gòu)的阻尼性能較差。

為了提高結(jié)構(gòu)的可制造性，需要研究考慮制造約束的三明治阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的設(shè)計方法。針對連接性設(shè)計問題，ZHOU等[13]采用強制性連接約束法、虛載荷法和非線性擴散法針對單相材料進行了設(shè)計和比較，由于是單相材料，微結(jié)構(gòu)構(gòu)型的連接性變化對設(shè)計目標(biāo)的影響較??；對于由性能相反的兩相材料構(gòu)成的微結(jié)構(gòu)而言，材料的構(gòu)型變化對目標(biāo)函數(shù)和設(shè)計約束有很大的影響，無法直接采用上述方法解決微結(jié)構(gòu)的連接性約束設(shè)計問題。本文提出通過組合強制性約束法和非線性擴散法的新方法，來實現(xiàn)具有剛度相連接的兩相材料阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的最大阻尼設(shè)計。

1 三明治阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)計算模型

為實現(xiàn)三明治阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的連接性優(yōu)化設(shè)計，需要首先建立三明治阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的計算模型，并進行有限元分析。

1.1 三明治阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)

為了確保結(jié)構(gòu)的可加工性要求，需要對結(jié)構(gòu)中易加工相材料進行連接性約束設(shè)計。兩相材料分別為鋁合金和環(huán)氧樹脂，在三明治阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)制造中，可事先將鋁合金部分通過3D打印或者其他方式加工出來，然后將另外一相澆筑進去，即可得到最終的三明治阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)。圖1a所示為三明治結(jié)構(gòu)，其中，中間層為阻尼層，上下層為金屬層。對阻尼層進行微結(jié)構(gòu)設(shè)計，使微結(jié)構(gòu)中剛度相材料與上下表層相連接，這樣可以整體打印出上下表層及阻尼層的剛度相材料，最終得到圖1b所示的連結(jié)性結(jié)構(gòu)。

(a)三明治結(jié)構(gòu)

(b)連接性剛度相材料圖1 三明治結(jié)構(gòu)及其連接性描述Fig.1 Sandwich structures with connectivephase material

1.2 結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比的計算

阻尼材料的阻尼特性使用復(fù)模量表示，公式如下(本文不考慮阻尼材料性能隨溫度和頻率而改變特性的情況)：

E=E′+jE″=E′(1+jη)

(1)

式中，E′、E″和η分別為黏彈性材料的儲能模量、損耗模量和材料損耗因子；j為虛數(shù)單位。

結(jié)構(gòu)自由振動的運動微分方程為

(2)

其中，u為位移向量，M和K分別是結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，由于阻尼材料模量的復(fù)數(shù)形式，可知K為復(fù)剛度矩陣，表達式為

K=Kp+Kv=KR+jKI

(3)

這里，Kp和Kv分別為上下金屬層和阻尼層的剛度矩陣。上角標(biāo)“p”和“v”分別代表金屬層和阻尼層。KR和KI分別為復(fù)剛度矩陣的實部和虛部，其表達式分別如下：

KR=Kp+ReKv

(4)

KI=ImKv

(5)

基于模態(tài)應(yīng)變能法[14]計算結(jié)構(gòu)的第k階模態(tài)阻尼比可表達為

(6)

2 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型及靈敏度分析

2.1 連接性約束

以阻尼為目標(biāo)的設(shè)計通常都會得到高阻尼材料相互連接的結(jié)構(gòu)，但是這樣的結(jié)構(gòu)很難制造。考慮到微結(jié)構(gòu)中剛度相材料的連接性，通過組合強制性連接約束法和非線性擴散法實現(xiàn)。強制性連接約束通過選定部分非設(shè)計域來實現(xiàn)，三明治結(jié)構(gòu)上下表層與阻尼層中剛度相材料連接，考慮將單胞的四角點作為強制性連接約束的非設(shè)計域，如圖2所示。

圖2 強制性連接約束示意圖Fig.2 Schematic of kinematical connectiveconstraints method

非線性擴散可以有效抑制棋盤模式和模糊邊界，確保適當(dāng)?shù)耐負浠ミB。從理論上講，密度梯度發(fā)生在材料交界處，因此，最小化密度梯度的范數(shù)可以有效避免非連接的發(fā)生。非線性擴散方程可以表示為

?tx=div(D×x)

(7)

式中，D為擴散張量；x為對應(yīng)的質(zhì)量濃度，也就是材料密度；t為尺度參數(shù)，如時間系數(shù)。

擴散過程的性質(zhì)由擴散張量決定，當(dāng)D為單位矩陣時，擴散過程沿四周均勻進行，如熱傳導(dǎo)方程；當(dāng)D是結(jié)構(gòu)密度差分的函數(shù)形式時，就形成了非線性擴散：

?tx=div(g(|x|2)x)

(8)

其中，g(│x│2)為擴散函數(shù)，引入一個勢函數(shù)，使其梯度與擴散函數(shù)有如下關(guān)系：

φ(|x|)=g(|x|2)x

(9)

在變分法中，非線性擴散可以被描述為能量的形式，因此，形成非線性擴散方程的能量泛函最小化可以表示為

(10)

其中，Y為微結(jié)構(gòu)的設(shè)計域。為使結(jié)構(gòu)內(nèi)部連續(xù)性良好，應(yīng)滿足內(nèi)部材料單元密度梯度│x│盡可能小，盡量接近線性擴散；同時，為了保證結(jié)構(gòu)邊界清晰，應(yīng)滿足密度擴散沿著邊界的切向進行，而避免沿著法向穿過邊界擴散。因此，需選用合適的φ(│x│)，根據(jù)上述要求，本文中選取φ(s) =s/(1+s2)。

2.2 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

為了最大化結(jié)構(gòu)的阻尼性能，考慮以結(jié)構(gòu)的模態(tài)阻尼因子為目標(biāo)對結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化設(shè)計；同時為了考慮微結(jié)構(gòu)中剛度相材料的連接性，基于非線性擴散法，將結(jié)構(gòu)整體密度梯度的能量泛函加權(quán)至模型目標(biāo)函數(shù)中，得到優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型：

findX(xi)

(11)

(12)

(13)

0

(14)

其中，X是設(shè)計變量，即復(fù)合阻尼材料微結(jié)構(gòu)設(shè)計變量xi。式(12)為目標(biāo)函數(shù)，第一項為結(jié)構(gòu)阻尼目標(biāo)函數(shù)，wk為第k階模態(tài)阻尼比的權(quán)重，當(dāng)kmin=kmax時, 僅對結(jié)構(gòu)第k階模態(tài)阻尼比進行優(yōu)化，當(dāng)kmin

2.3 靈敏度分析

在以結(jié)構(gòu)宏觀性能為目標(biāo)的微結(jié)構(gòu)設(shè)計模型中，對微結(jié)構(gòu)單元的靈敏度分析要建立在對結(jié)構(gòu)宏觀性能分析的基礎(chǔ)上。在宏觀尺度上對結(jié)構(gòu)進行有限元分析，計算出整體結(jié)構(gòu)的性能，然后通過將宏觀性能目標(biāo)對微結(jié)構(gòu)設(shè)計變量求導(dǎo)，即可得到微結(jié)構(gòu)設(shè)計單元的靈敏度。阻尼復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)單胞的等效彈性矩陣DH為

(15)

式中，ui為微結(jié)構(gòu)中第i個單元的位移場;│Y│為微結(jié)構(gòu)單胞的體積;Y為微結(jié)構(gòu)的設(shè)計域，Yi為單胞上第i個單元的體積；I為單位矩陣；b為應(yīng)變位移矩陣；DMI為微結(jié)構(gòu)上第i個單元的彈性矩陣。

為了獲得清晰的設(shè)計結(jié)果，基于SIMP插值方法，微結(jié)構(gòu)上第i個單元彈性矩陣的插值模型為

(16)

式中，p為懲罰系數(shù)，本文中p=3；D1和D2分別為剛度相材料和阻尼相材料的彈性矩陣。

根據(jù)式(15)和式(16)，可得優(yōu)化過程中復(fù)合阻尼材料的等效復(fù)彈性矩陣DH為

(17)

對于式(12)目標(biāo)函數(shù)的靈敏度分析，可分別對兩項進行求導(dǎo)再相加。第一項對設(shè)計變量靈敏度可通過式(6)對設(shè)計變量xi求導(dǎo)得到

(18)

其中，剛度矩陣Kv為

(19)

式中，B應(yīng)變位移矩陣；n為結(jié)構(gòu)阻尼層劃分的單元數(shù)；Ω為單元體積。

通過式(19)，可得式(18)中Kv的虛部和實部對設(shè)計變量xi的靈敏度分別為

(20)

(21)

等效彈性矩陣對設(shè)計變量xi為

(22)

(23)

將式(22)和式(23)分別代入式(20)和式(21)，復(fù)合阻尼材料剛度矩陣虛部和實部對設(shè)計變量的靈敏度分別為

(24)

(25)

將式(24)和式(25)代入式(18)，可得到結(jié)構(gòu)第k階模態(tài)阻尼因子對微觀結(jié)構(gòu)設(shè)計變量的靈敏度。

目標(biāo)函數(shù)第二項對設(shè)計變量的靈敏度為

(26)

當(dāng)對設(shè)計域劃分單元后，設(shè)xi在總體結(jié)構(gòu)中的位置為圖3所示的xa,b位置，則與其相鄰的單元分別為xa-1,b、xa+1,b、xa,b-1、xa,b+1，如圖3所示。根據(jù)散度的定義可得

圖3 鄰接單元示意圖Fig.3 Adjacent element

div(g(|xi|2)xi)=w1xa-1,b+w2xa+1,b+

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

將式(27)代入式(26)即可得到目標(biāo)函數(shù)中第二項對設(shè)計變量的靈敏度。

2.4 優(yōu)化設(shè)計流程

考慮連接性的三明治阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計方法的主要設(shè)計步驟如圖4所示，包括如下幾個設(shè)計步驟：

圖4 優(yōu)化設(shè)計流程Fig.4 Flowchart of the proposed topologyoptimization procedure

(1)初始模型的建立。建立優(yōu)化的幾何模型，阻尼層設(shè)置為可設(shè)計域，其他為非設(shè)計域。

(2)微結(jié)構(gòu)的有限元分析。對復(fù)合阻尼材料微結(jié)構(gòu)進行網(wǎng)格劃分，建立有限元模型，除四角點外所有單元設(shè)置為設(shè)計變量。通過式(17)計算單胞的等效復(fù)彈性矩陣DH。

(3)結(jié)構(gòu)宏觀性能有限元分析。使用步驟(2)得到的復(fù)合阻尼材料的等效復(fù)彈性矩陣DH計算整體結(jié)構(gòu)的性能。

(4)靈敏度分析。使用式(18)和式(26)計算設(shè)計變量xi的靈敏度。

(5)使用移動漸近線法[15](method of moving asymptotes，MMA)更新設(shè)計變量。MMA方法是一種基于梯度的迭代尋優(yōu)算法，通過引入移動漸近線，將隱式的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成一系列顯式的、可分離的、嚴(yán)格凸的近似子優(yōu)化問題。每一步迭代中，通過用梯度類算法求解凸近似子問題來更新設(shè)計變量，適于處理目標(biāo)函數(shù)復(fù)雜且具有多約束的拓撲優(yōu)化問題。

(6)收斂判斷。如果優(yōu)化迭代的目標(biāo)函數(shù)連續(xù)兩次的差值小于收斂容差，或者迭代次數(shù)到達設(shè)定的最大值N，則退出循環(huán)，否則返回繼續(xù)迭代，直到達到收斂條件。

3 數(shù)值算例

為了驗證所提設(shè)計方法的有效性，對兩個不同邊界條件的三明治阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化設(shè)計，第一個為懸臂結(jié)構(gòu)，第二個為兩邊固支結(jié)構(gòu)。材料具體參數(shù)如表1所示。微結(jié)構(gòu)優(yōu)化中選取圖5所示的構(gòu)型，初始密度為微結(jié)構(gòu)中體積分?jǐn)?shù)設(shè)定值，四角點初始密度設(shè)置為0.001(鋁合金)，且迭代過程中保持不變，作為強制性連接約束。微結(jié)構(gòu)劃分為40×40個單元。

圖5 初始微結(jié)構(gòu)構(gòu)型Fig.5 Initial guess microstructure

表1 材料屬性

懸臂結(jié)構(gòu)如圖6所示，長1500 mm，總厚度為100 mm，上下表層厚度分別為25 mm，阻尼層厚度50mm?；搴妥枘岵牧蠀?shù)如表1所示，結(jié)構(gòu)左側(cè)固定約束，構(gòu)成懸臂板。

圖6 懸臂結(jié)構(gòu)Fig.6 A cantilever structure

為了研究阻尼材料在微結(jié)構(gòu)中所占的體積分?jǐn)?shù)對設(shè)計結(jié)果的影響，以結(jié)構(gòu)前三階模態(tài)阻尼比加權(quán)最大為目標(biāo)，通過設(shè)置不同的體積約束條件對懸臂結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化設(shè)計。圖7所示為微結(jié)構(gòu)不同阻尼材料體積分?jǐn)?shù)約束下的設(shè)計結(jié)果，可以看出，不同體積分?jǐn)?shù)下微結(jié)構(gòu)的構(gòu)型形態(tài)相似，都是“1”字形，隨著體積分?jǐn)?shù)的增大，阻尼材料的分布逐漸變寬，微結(jié)構(gòu)等效彈性模量的實部和虛部都逐漸減小。表2所示為不同體積分?jǐn)?shù)設(shè)計結(jié)果的模態(tài)頻率和模態(tài)阻尼的對比，從表中可知，隨著阻尼材料體積分?jǐn)?shù)的增大，結(jié)構(gòu)的頻率逐漸減小，同時結(jié)構(gòu)的阻尼逐漸增大，但是阻尼增大的幅度越來越小。圖8所示為不同體積分?jǐn)?shù)設(shè)計結(jié)果在第一階模態(tài)頻率處的頻率響應(yīng)對比，激勵點和響應(yīng)點都為懸臂結(jié)構(gòu)右上角點。從圖中頻率響應(yīng)曲線可得，結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)隨著阻尼材料體積分?jǐn)?shù)的增加先是逐漸減小，當(dāng)fMI=0.6時達到最小值后，隨體積分?jǐn)?shù)的增大響應(yīng)逐漸變大。由此可得，當(dāng)微結(jié)構(gòu)種阻尼材料的體積分?jǐn)?shù)為0.6時結(jié)構(gòu)的性能最優(yōu)。

表2 不同體積分?jǐn)?shù)設(shè)計結(jié)果性能對比

(a)fMI=0.4時設(shè)計結(jié)果

(b)fMI=0.5時設(shè)計結(jié)果

(c)fMI=0.7時設(shè)計結(jié)果

(d)fMI=0.8時設(shè)計結(jié)果圖7 不同微結(jié)構(gòu)體積分?jǐn)?shù)設(shè)計結(jié)果Fig.7 Design results with different volume fractions

因為目標(biāo)函數(shù)中加權(quán)了密度梯度的能量，所以設(shè)計問題已不再是純粹的以阻尼比最大為目標(biāo)的設(shè)計問題。文中以第k階模態(tài)阻尼比為目標(biāo)時并不會使設(shè)計結(jié)果的第k階模態(tài)阻尼比是最優(yōu)的，因此可認為設(shè)計結(jié)果性能的優(yōu)劣對目標(biāo)函數(shù)中模態(tài)阻尼比階次的選取相關(guān)性較小。

圖8 不同體積分?jǐn)?shù)設(shè)計結(jié)果頻率響應(yīng)對比Fig.8 The simulated frequency response of thedifferent design result

4 實驗驗證

為了進一步驗證本文所提方法的有效性，對設(shè)計結(jié)果進行實驗驗證。考慮到成本以及測試精度，采用縮小的比例模型對三明治結(jié)構(gòu)進行實驗，長度和寬度方向縮放比例為1∶10，厚度方向為5 mm(易于粘貼加速度傳感器的最小尺寸)。采用3D打印技術(shù)，分別打印阻尼材料體積分?jǐn)?shù)為0.4、0.5、0.6、0.7和0.8的模型，打印后結(jié)構(gòu)的尺寸為165 mm(長) ×6 mm(寬) ×10 mm (高)，如圖9所示。三明治阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的制造過程如下：首先通過3D打印技術(shù)打印出具有連接性的鋁合金相結(jié)構(gòu)，然后將環(huán)氧樹脂填充于打印好的金屬結(jié)構(gòu)中，即可完成三明治阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的制造。

(a)三明治阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)試件 (b)圖a局部放大圖(c)單胞示意圖圖9 制作的三明治阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)試件Fig.9 The 3D printed sandwich composite structures

采用對比試驗方法，在相同的實驗條件下對不同的試件進行測試，以此來對比不同結(jié)構(gòu)性能的優(yōu)劣，圖10為實驗布置圖，具體測試流程如下：

(1)邊界條件的施加。通過夾具將結(jié)構(gòu)一端夾持來模擬懸臂結(jié)構(gòu)。

(2)實驗測試。通過錘擊法對結(jié)構(gòu)進行模態(tài)實驗，錘擊點如圖10中箭頭所指的點所示，拾取自由端響應(yīng)。通過測試得到試件的模態(tài)頻率和模態(tài)阻尼比，如表3所示。表3與表2的結(jié)果有所不同，主要原因在于對算例進行優(yōu)化設(shè)計時使用的是平面應(yīng)力單元，結(jié)構(gòu)的厚度為1 mm，由于厚度較小，制作的試件很難粘貼傳感器進行測試，因此在厚度方向上加大了結(jié)構(gòu)尺寸；同時結(jié)構(gòu)尺寸較大，不便于制作，采用模型實驗對結(jié)構(gòu)進行測試，盡管樣件與仿真算例有所不同，但是實驗都是在相同的條件下進行的，實驗結(jié)果仍能夠反映優(yōu)化設(shè)計結(jié)果的性能。從表3中可知，隨著阻尼材料體積分?jǐn)?shù)的減小，結(jié)構(gòu)的前三階頻率逐漸增大，結(jié)構(gòu)的前三階模態(tài)阻尼逐漸減小，這與表2所示的仿真結(jié)果趨勢相同。試件在第一階模態(tài)處的頻率響應(yīng)如圖11所示，由圖可知，隨著微結(jié)構(gòu)阻尼相體積分?jǐn)?shù)的增大，結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)隨微結(jié)構(gòu)阻尼相體積分?jǐn)?shù)呈現(xiàn)非線性變化，隨著體積分?jǐn)?shù)增大，結(jié)構(gòu)在第一階模態(tài)處的頻率響應(yīng)依次為32.42g/N、29.40g/N、20.64g/N、21.22g/N、23.27g/N，結(jié)構(gòu)響應(yīng)首先逐漸減小，當(dāng)體積分?jǐn)?shù)為0.6時響應(yīng)值最小，隨后隨著體積分?jǐn)?shù)的增大，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)逐漸增大。這主要是因為結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)與結(jié)構(gòu)的剛度和阻尼同時相關(guān)，以犧牲結(jié)構(gòu)剛度為代價獲得更大的阻尼并不能有效減小結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。對于復(fù)合結(jié)構(gòu)而言，存在一個最優(yōu)的剛度和阻尼使得結(jié)構(gòu)的響應(yīng)最小。

圖10 實驗布置圖Fig.10 Experimental setup

表3 不同試件實驗測試結(jié)果

圖11 實驗測試頻響函數(shù)Fig.11 The experimental frequency response of thedifferent design result

5 結(jié)論

(1)本文提出了一種考慮連接性的三明治阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計方法，通過組合強制性連接約束和非線性擴散法，實現(xiàn)了對阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的連接性設(shè)計，并結(jié)合3D打印技術(shù)實現(xiàn)了三明治阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)的材料-結(jié)構(gòu)-設(shè)計-制造協(xié)同優(yōu)化。優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)阻尼變大，結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)變小。

(2)在考慮微結(jié)構(gòu)連接性時，因在阻尼目標(biāo)函數(shù)中加權(quán)了密度梯度的泛函，所以不同阻尼比目標(biāo)函數(shù)下得到的設(shè)計結(jié)果的性能差異較小，目標(biāo)函數(shù)的選擇對設(shè)計結(jié)果的影響很小。 不同體積分?jǐn)?shù)的仿真和實驗結(jié)果表明，在微結(jié)構(gòu)上存在最優(yōu)的阻尼材料體積分?jǐn)?shù)使優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)最小。