◎于子杰 (吉林師范大學(xué),吉林 長(zhǎng)春 130000)

1 教材地位分析

球體積公式的內(nèi)容位于2019年人教A版必修2第八章第三節(jié)的內(nèi)容，在以往的教學(xué)過程中，受學(xué)生所學(xué)知識(shí)的限制，大部分的體積公式都沒有給出推導(dǎo)過程，直接要求學(xué)生能夠應(yīng)用即可.并且球的體積公式的推導(dǎo)過程也是教學(xué)中的難點(diǎn).在新版教材課后的探究與發(fā)現(xiàn)中新增了祖暅原理與探究?jī)?nèi)容，這對(duì)于推導(dǎo)球的體積公式做出了重要幫助.并且新課改要求學(xué)生學(xué)會(huì)逐步探究知識(shí)的來源，形成一定的數(shù)學(xué)推理能力.柱、錐、臺(tái)、球等基本空間幾何體是學(xué)生在生活中經(jīng)常遇到的、承載數(shù)學(xué)抽象性的重要模型.因此，祖暅原理與球體積公式推導(dǎo)的教學(xué)，對(duì)于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)起到了不可替代的作用.[1]

2 球體積公式、祖暅原理、牟合方蓋三者聯(lián)系

在球體積公式推導(dǎo)過程中，以祖暅原理為基礎(chǔ)，可以運(yùn)用祖暅原理與圓柱體結(jié)合進(jìn)行推導(dǎo)，也可以將祖暅原理與牟合方蓋結(jié)合推導(dǎo)球的體積.也就是說，利用祖暅原理推導(dǎo)球體積公式的關(guān)鍵是找到一個(gè)可以求出體積的空間幾何體模型，而圓柱體模型與牟合方蓋模型都匹配了推導(dǎo)體積的要求，成為推導(dǎo)球體積公式的依托.祖暅原理與牟合方蓋是高中數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中推導(dǎo)球體積公式的必要基礎(chǔ).

3 祖暅原理可視化模型

祖暅原理是祖暅于5世紀(jì)提出的體積計(jì)算原理：“緣冪勢(shì)既同，則積不容異”其中“勢(shì)”是高，“冪”是面積.[2]祖暅原理用現(xiàn)代語(yǔ)言可以描述為：夾在兩平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.

在Geogebra軟件中，

第一步：創(chuàng)建新點(diǎn)A(-2,2)、B(2,2)、C(-4,1)、D(4,1)、E(-5,-1)、F(5,-1)、G(-2,-2)、H(2,-2),并且連接AB，CD，EF，GH構(gòu)造定長(zhǎng)線段，其長(zhǎng)度分別為：AB=4，CD=8，EF=10，GH=4.定長(zhǎng)線段在平移一端點(diǎn)時(shí)可以保證線段長(zhǎng)不變.

第二步：在運(yùn)算區(qū)創(chuàng)建滑動(dòng)變量L1，L2，L3，L4，設(shè)置其滑動(dòng)變量范圍均為(5,20)，滑動(dòng)變量即四條線段向右平移的單位長(zhǎng)度.通過調(diào)節(jié)滑動(dòng)變量，得到兩面積相等的平面圖形ABCDEFGH和A′B′C′D′E′F′G′H′.

第三步：點(diǎn)擊屏幕上方的3D繪圖區(qū)，找到錐體工具，分別以ABCDEFGH和A′B′C′D′E′F′G′H′為底面拉起錐體.高度可以任意選擇.用一平行于平面xOy的平面同時(shí)截取兩個(gè)空間幾何體.

第四步：拖動(dòng)滑動(dòng)變量，觀察在底面形狀不同，但面積相等時(shí)，空間幾何體體積是否發(fā)生變化，進(jìn)行驗(yàn)證.

如圖，可以在Geogebra軟件中的代數(shù)區(qū)看到兩個(gè)空間幾何體上下底面面積是相等的.其中Surface(S1)=Surface(S2)=7.75.由于Geogebra軟件沒有直接計(jì)算空間幾何體體積的工具，可以自定義計(jì)算工具或在運(yùn)算區(qū)指令欄進(jìn)行手動(dòng)輸入.此時(shí)在指令欄輸入：“V1=1/3*OS1*(sqrt(m*m1)+m+m1)”得到截取棱臺(tái)V1的體積.再輸入：“V2=1/3*OS2*(sqrt(n*n1)+n+n1)”得到截取棱臺(tái)V2的體積.在運(yùn)算區(qū)進(jìn)行數(shù)值比較.

圖1 祖暅原理驗(yàn)證

在課堂展示過程中，保持空間幾何體S1不動(dòng)，拖動(dòng)空間幾何體S2中任意端點(diǎn)橫向平移，由于線段為定長(zhǎng)直線，因此面積不會(huì)改變，可以觀察到無論空間幾何體V2以何種形式出現(xiàn)，在平行平面截取后，代數(shù)區(qū)兩棱臺(tái)體積V1與V2在數(shù)值上始終保持相等.通過大量的試驗(yàn)驗(yàn)證，可以發(fā)現(xiàn)二者的體積是一直保持相等的，通過教師歸納總結(jié)就能得到更一般的規(guī)律，即祖暅原理.在祖暅原理的引入過程中，要考慮學(xué)生認(rèn)知的規(guī)律，盡量符合數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的要求，為學(xué)生提供從感性到理性、循序漸進(jìn)、逐步嚴(yán)格的學(xué)習(xí)過程.在對(duì)祖暅原理進(jìn)行可視化呈現(xiàn)過程中，3D繪圖區(qū)的立體圖形的直觀與代數(shù)區(qū)的面積、體積等變量要進(jìn)行一一對(duì)應(yīng)，切實(shí)做到數(shù)形結(jié)合.

4 牟合方蓋可視化模型

4.1 參數(shù)方程構(gòu)造法

牟合方蓋最早由劉徽設(shè)計(jì)，用兩個(gè)直徑與正方體棱長(zhǎng)相同的圓柱體，一縱一橫截取正方體，所得到的剩余的空間幾何體叫作牟合方蓋，其引入的目的是為了計(jì)算球體的體積.牟合方蓋在Geogebra軟件中的模擬主要由兩部分曲面構(gòu)成.已知x2+z2=1和y2+z2=1是兩個(gè)分別貫穿于x，y軸的柱面.但因?yàn)槠矫婢哂袩o限延展的性質(zhì)，在Geogebra中對(duì)其局部進(jìn)行觀察演示極不方便，因此對(duì)圓柱面設(shè)置參數(shù)，對(duì)其范圍進(jìn)行限制.

以兩圓柱公共中心為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.打開網(wǎng)狀基準(zhǔn)平面顯示.

指令欄輸入：“[Surface(k,cos(θ),sin(θ),θ,o,2PI,k,-1,1)]”，指令欄輸入：“[Surface(cos(θ),k,sin(θ),θ,0,2PI,k,1,-1)]”，即構(gòu)造出兩個(gè)半徑為1，高度為2，母線平行于x軸和y軸的兩個(gè)柱面.如圖2.

圖2 兩圓柱相交

圖3 牟合方蓋截取模型

模型的建立可以根據(jù)兩部分完成牟合方蓋，限制k為區(qū)間[-1,1]內(nèi)，使得圖形恰好與正方體內(nèi)切.避免了平面傾角過大或過小導(dǎo)致與圓柱面截得橢圓的方程不方便計(jì)算的問題.Geogebra軟件中語(yǔ)法基本模式為：表面[x表達(dá)式，y表達(dá)式，z表達(dá)式，參數(shù)1，初始值，終止值，參數(shù)2，初始值，終止值].

指令欄輸入：[Surface(cos(θ)*k,cos(θ),sin(θ),θ,0,2PI，K,-1,1)]

指令欄輸入：[Surface(cos(θ),cos(θ)*k,sin(θ),θ,0,2PI，K,-1,1)]

綜上所述，曲面方程所表示的牟合方蓋曲面通過Geogebra運(yùn)行的結(jié)果如圖3所示.

4.2 軌跡曲面構(gòu)造法

第一步：構(gòu)造一軸線為x軸，半徑為2的柱面和空間平面y=x，此時(shí)可以看出空間平面y=x與圓柱面的交線，即為構(gòu)造的軌跡.

指令欄輸入：x2+y2=2;x=y構(gòu)造上述圖形，Geogebra中運(yùn)行后如圖4.

圖4 圓柱面與平面相交

第二步：構(gòu)建兩平面相交的橢圓曲線，利用Interrect指令；在Geogebra中Interrect指令格式如下：Intersect(