◎于 祥 (揚州大學(xué)附屬中學(xué)，江蘇 揚州 225000)

筆者認(rèn)為，高中數(shù)學(xué)中很多解題思想和方法只要稍稍變形，就能和常用的四大數(shù)學(xué)思想產(chǎn)生密切聯(lián)系.在實際教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)教師需要結(jié)合四大數(shù)學(xué)思想的定義、特點和作用，把數(shù)學(xué)解題思想和方法變形成為符合數(shù)學(xué)思想的相關(guān)內(nèi)容，從而優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，降低教學(xué)難度.下面，筆者將以分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程以及化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想方法為例進(jìn)行分析，文中涉及的教學(xué)實例請參照人教版高中數(shù)學(xué)教材.

一、四大數(shù)學(xué)思想對高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的作用

(一)降低學(xué)生的解題難度

對于高中生來說，有一些數(shù)學(xué)習(xí)題并不是自己努力想、努力做就能夠做出來的，只有依靠數(shù)學(xué)思想才能解決，所以四大數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用實則是大幅度降低了學(xué)生的解題難度，使之在解題過程中能保證大致的思路是正確的，不會出現(xiàn)一些根本性的錯誤.

(二)提高學(xué)生的解題能力

高中數(shù)學(xué)練習(xí)題不同于初中，難度非常大，而且有特定的解題思路和方法，四大數(shù)學(xué)思想是基于高中數(shù)學(xué)題目所總結(jié)出來的解題利器，如果學(xué)生能充分理解并應(yīng)用好這些數(shù)學(xué)思想，在解題時就能得心應(yīng)手，久而久之就能大幅度提升自己的解題能力.

二、高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中四大數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用基礎(chǔ)

(一)轉(zhuǎn)變教學(xué)要求

新課改要求學(xué)生要實現(xiàn)邏輯思維、邏輯分析能力上的有效突破，故現(xiàn)代高中數(shù)學(xué)教育除了要讓學(xué)生學(xué)習(xí)硬知識外，還需要學(xué)習(xí)探究數(shù)學(xué)問題、總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，而后者將比前者更加重要.所謂“一通百通”，解題方法和規(guī)律總結(jié)能力的提升將使學(xué)生從容面對不同類型的問題，繼而有效提高學(xué)習(xí)成績和應(yīng)試水平.因此，為實現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教育“要成績”“要能力”的雙重目標(biāo)，教師在應(yīng)用四大數(shù)學(xué)思想之前必須要主動轉(zhuǎn)變教學(xué)要求，將數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)擺在首位，不要只注重學(xué)生的解題結(jié)果，而是注重其解題思路和方法.

(二)把“要我學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤拔乙獙W(xué)”

所謂“要我學(xué)”其實是一種“被動學(xué)”，學(xué)生只能根據(jù)教師設(shè)定的教學(xué)計劃去理解、分析、探究知識，知其然而不知其所以然，雖然能在短時間內(nèi)積累大量知識，但其思維能力卻沒有任何長進(jìn)和突破.反觀“我要學(xué)”則完全不同，它是一種“主動學(xué)”，學(xué)生根據(jù)教師設(shè)定的學(xué)習(xí)目標(biāo)自主選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容，根據(jù)自身的學(xué)習(xí)水平把握學(xué)習(xí)進(jìn)度，同時還能夠和他人交流以獲得新知識和經(jīng)驗，雖然在短時間內(nèi)無法積累大量知識，但卻容易形成良好的學(xué)習(xí)思維和習(xí)慣，學(xué)習(xí)心態(tài)也會發(fā)生積極轉(zhuǎn)變.

三、高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中四大數(shù)學(xué)思想的實踐應(yīng)用

(一)分類討論思想

1.何為分類討論思想

分類討論思想簡而言之就是先分類再討論，這種方式可幫助學(xué)生理清思路，降低分析難度.以集合為例，按照集體元素的個數(shù)可分為有限集、無限集、空集三種，而按照集合之間的關(guān)系可分為子集、交并集、補集.利用分類討論思想，學(xué)生就能更加全面地認(rèn)識集合的特性.

2.分類討論的一般步驟

研究對象指的是問題的核心，需要討論研究的主體是什么，可不可以細(xì)分，每一部分有何特點等等.先將研究主體進(jìn)行分類，然后集中討論每一類中的問題.在實際教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生按照先分類再討論的方式進(jìn)行分析，從易到難逐層深入，就能讓學(xué)生掌握分類討論的核心.

3.分類討論的實際案例

在教學(xué)“隨機事件的概率”時，有這樣一道題：“一個袋子中有標(biāo)號為1，2，3的三個大小相同的球，隨機抽取三次，按抽取順序組成123的概率是多少？”在計算概率的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生先分類后討論.根據(jù)題目要求，實則是求1，2，3三個數(shù)組合成不同數(shù)的個數(shù)，其中三個數(shù)的組合就是整體研究對象，那么就可以分為個位、十位、百位三個研究部分.分類進(jìn)行討論就是對每一個研究部分進(jìn)行分析，比如百位數(shù)是1，那么十位數(shù)和個位數(shù)就不能是1，而2，3兩個數(shù)誰占十位、誰占個位則需要繼續(xù)細(xì)分討論.歸納整體結(jié)果就是在分類討論的基礎(chǔ)上把結(jié)果匯總出來，得出正確的答案.

(二)數(shù)形結(jié)合思想

1.何為數(shù)形結(jié)合思想

“數(shù)形結(jié)合”作為新時代數(shù)學(xué)教學(xué)的創(chuàng)新方式，分為“數(shù)”和“形”兩部分，通過數(shù)形結(jié)合分析問題，可以將一些抽象性的、枯燥的數(shù)學(xué)文字轉(zhuǎn)化為生動、直觀的圖形，最大限度地降低了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度，也極大地提高了學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解能力.數(shù)形結(jié)合思想的核心是“以形化數(shù)，以數(shù)代形”，數(shù)學(xué)中“數(shù)”和“形”本就是密不可分的關(guān)系，數(shù)學(xué)中的圖表、圖形等都可以看成“形”，而公式、定理等都可以看成“數(shù)”，以計算空間幾何體的表面積和體積為例，空間幾何體就是“形”，而空間幾何體的表面積和體積則為數(shù)，數(shù)形結(jié)合，能讓學(xué)生更加直觀地想象空間幾何體的長、寬、高等屬性，也能通過公式更容易解得空間幾何體的表面積和體積.

2.數(shù)形結(jié)合的兩種方式

“以數(shù)助形”即以數(shù)代形，比如計算正方形的面積，我們用眼是看不出面積的，必須要借助公式進(jìn)行計算.“以形助數(shù)”即以形代數(shù)，就是以圖形直觀展示抽象的數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系.在高中階段，最典型的就是用數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系表示某個函數(shù)方程.

3.數(shù)形結(jié)合的實際案例

在學(xué)習(xí)“一元二次不等式(組)”時，教師為學(xué)生設(shè)置以下問題：“一元二次不等式(x-3)(x+1)<0是否有解？如果有，這個不等式有多少個正整數(shù)解？”從題目難度上分析，題目相對較簡單，但是這里主要考查學(xué)生對“不等式解集的數(shù)軸表示”的理解，經(jīng)過計算得到結(jié)果為-1

(三)函數(shù)與方程思想

1.何為函數(shù)與方程思想

函數(shù)與方程思想作為四大數(shù)學(xué)思想中最重要也是最普遍的一類教學(xué)思想，幾乎在每堂課中都能夠用到.函數(shù)與方程思想是簡化數(shù)學(xué)算法、反映數(shù)理邏輯的最好方式，因為在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用最為廣泛，所以幾乎能和所有的高中數(shù)學(xué)知識相結(jié)合.數(shù)學(xué)題目中有著非常多的未知數(shù)求解題，結(jié)果即為未知數(shù)x，通過未知數(shù)x構(gòu)造合乎邏輯的數(shù)學(xué)方程，進(jìn)而通過數(shù)學(xué)運算推導(dǎo)，這就是函數(shù)與方程思想的內(nèi)核，所以以函數(shù)與方程思想求解未知數(shù)是數(shù)學(xué)教師常用的方法.

2.函數(shù)與方程思想的應(yīng)用范圍

函數(shù)與方程思想主要是讓學(xué)生形成以“未知推導(dǎo)已知，已知求解未知”的數(shù)學(xué)解題思維，所以凡是涉及數(shù)理計算、函數(shù)求解等題型時都可以用到函數(shù)與方程思想.縱觀高中數(shù)學(xué)知識，函數(shù)與方程思想最常用在三角函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)的求解中，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目設(shè)未知數(shù)x,y,z，然后根據(jù)已知條件將未知數(shù)代入，以形成完整的求解方程.例如在解答三角形題目時，要計算出某個三角形的三邊關(guān)系，則要設(shè)三邊為x,y,z，將之帶入sin，cos和tan三類三角函數(shù)中，就能通過已知條件(例如三角函數(shù)值和三角形的一條邊)推導(dǎo)求得x,y,z，進(jìn)而計算三邊關(guān)系.

3.函數(shù)與方程思想的實際案例

(四)化歸與轉(zhuǎn)化思想——化繁為簡，化難為易

1.何為化歸與轉(zhuǎn)化思想

化歸與轉(zhuǎn)化思想直白地說就是在解決數(shù)學(xué)問題時，如果很難直接求解的話，就需要把這個問題轉(zhuǎn)化成已知問題進(jìn)行求解.化歸與轉(zhuǎn)化思想說明了數(shù)學(xué)知識萬變不離其宗，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，就能將未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題進(jìn)行求解.因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，化歸與轉(zhuǎn)化思想常被用來分析和簡化復(fù)雜的問題.例如學(xué)完了一元一次方程、因式分解等知識后，在學(xué)習(xí)一元二次方程的時候我們其實就是通過因式分解等方法，將它化歸為一元一次方程來解的.再到高中特殊的一元高次方程求解時，又是將其化歸為一元一次和一元二次方程來求解，更加直白地說，就是由1+1=2，我們可以推出1+2=3，通過化歸與轉(zhuǎn)化思想可將其轉(zhuǎn)化為1+1+1=3這種最直接、最簡單、最好理解的方式.

2.化歸與轉(zhuǎn)化思想的實際案例

在解答復(fù)雜的函數(shù)問題時，我們可以通過化歸與轉(zhuǎn)化思想由已知函數(shù)推導(dǎo)出新的函數(shù)方程，之后對新的函數(shù)方程進(jìn)行分析解答，就能快速地得出答案.比如在解答題目：“f(x)=ax2+ax+a-1，當(dāng)f(x)<0的解集為R時，求a的取值范圍.”這個題目的解答過程需要用到化歸與轉(zhuǎn)化思想，然后基于函數(shù)圖像的基本性質(zhì)確定a的取值范圍.具體解答過程如下：

解：當(dāng)a=0時，函數(shù)f(x)=-1<0，此時符合題意，即對x屬于R恒成立，故此時f(x)<0的解集為R.而當(dāng)a≠0時，由f(x)<0的解集為R恒成立，可推導(dǎo)a<0且Δ<0，即a<0且a2-4a(a-1)<0，即a<0且-3a2+4a<0，即a<0且3a2-4a>0，解得a<0.綜上，知a的范圍是a≤0.

在這個題目中，我們將復(fù)雜的函數(shù)問題轉(zhuǎn)化成簡單的“a<0且Δ<0”問題，直接列出不等式進(jìn)行求解，這樣就通過消元方式排除了“x”的干擾，以此求解a的取值范圍就變得非常容易.

結(jié)束語

數(shù)學(xué)中的分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想以及化歸與轉(zhuǎn)化思想都能讓高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)變得更有效率.只要教師能設(shè)計科學(xué)的應(yīng)用策略和方法，把握好數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)知識的融合點，就能發(fā)揮其教學(xué)作用，成為提升課堂教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量的好幫手.綜上，高中數(shù)學(xué)和初中、小學(xué)數(shù)學(xué)完全不同，高中數(shù)學(xué)講究培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，而非簡單的理解公式、定理定義.故應(yīng)用四大數(shù)學(xué)思想可在很大程度上優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，在面對問題時懂得化繁為簡、逐層深入，既能夠面面俱到地解決問題，又能夠節(jié)省時間和精力，應(yīng)試教育背景下，高中生應(yīng)當(dāng)以提高學(xué)習(xí)成績?yōu)橹?，?shù)學(xué)思想可幫助學(xué)生快速掌握解題方法和技巧，也是一種非常重要的學(xué)習(xí)工具，值得推廣學(xué)習(xí).當(dāng)然，上述分析只是筆者的淺見，不足之處還請各位讀者朋友批評指正.