◎趙 岷 (無錫市育紅小學,江蘇 無錫 214000)

前 言

受應(yīng)試教育的影響，傳統(tǒng)教學局限于低階思維，課堂注重傳遞知識和培養(yǎng)技能，忽視培養(yǎng)學生的高階思維能力.數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)意義是在數(shù)量的精準刻畫和圖形的形象直觀之間實現(xiàn)優(yōu)勢互補，促進解決問題.教師可以以數(shù)形結(jié)合為載體，改善學生的思維方式，培育學生高階思維能力.

一、以“數(shù)形結(jié)合”培養(yǎng)分析性思維能力

(一)依托數(shù)意 提升抽象思維

數(shù)的認識和數(shù)的計算是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中最基礎(chǔ)的部分，是小學數(shù)學的重要學習內(nèi)容.由于小學生在學習這些內(nèi)容時常常需要借助直觀形象的材料進行思考.教師在教學認數(shù)和計算等有關(guān)知識時，需要引導(dǎo)學生用圖形的結(jié)構(gòu)把數(shù)之間的關(guān)系清晰地表達出來,繼而借助圖形進行分析、比較、歸納，提升學生的抽象綜合能力.

比如，在“小數(shù)的近似數(shù)”教學過程中，學生根據(jù)四舍五入法得到1.496億千米≈1.5億千米，1.496億千米≈1.50億千米后，因為1.5=1.50.那么“1.50比1.5更精準”，對學生來說很難理解.此時，借助圖形的形象直觀，可以幫助學生理解知識的內(nèi)在含義.在學生畫出數(shù)軸后，讓學生小組合作，討論思考1.5可能是哪些三位數(shù)近似的結(jié)果.1.50可能是哪些三位數(shù)近似的結(jié)果.在學生自主找出它們的取值范圍后，及時用弧線標注.如圖1屏幕上同時呈現(xiàn)兩個數(shù)軸，進行分析比對，學生對“1.50比1.5更精準”的內(nèi)在含義就非常清晰了.

圖1

數(shù)軸是小學數(shù)學知識中數(shù)形緊密結(jié)合的形象體現(xiàn)，用具體的“形”(點)表示一個個抽象的“數(shù)”，在數(shù)形之間搭起了一座橋梁.學生通過自主查找有形的區(qū)域，使原本一些模糊的感性認識變得清晰具體，讓抽象概念變得具體可視.

(二)理解算理 拓展推理思維

計算滲透在學生小學數(shù)學學習的每一個環(huán)節(jié)，是一項必不可缺的技能.計算教學要遵從學生已有的知識內(nèi)容和操作經(jīng)驗，設(shè)計相關(guān)教學活動，引導(dǎo)學生在操作實踐中發(fā)現(xiàn)運算規(guī)律，在合作交流中領(lǐng)悟運算方法，在實踐活動中明晰運算道理.這就要求教師清晰引導(dǎo)，步步有依據(jù)，環(huán)環(huán)合邏輯.

圖2

二、以“數(shù)形結(jié)合”，培養(yǎng)實踐性思維能力

教學設(shè)計要在學生的日常生活環(huán)境中，尋找與數(shù)學有關(guān)的信息，把現(xiàn)實情境中的條件、問題以及它們之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化成合適的圖形，再借助圖形直觀地進行分析、推理，進而形成解決問題的思路.

(一)借助形象 改造問題情境

在具體教學實踐中，遇到復(fù)雜的、陌生的、不熟悉的題目，在不改變問題結(jié)果的情況下，運用數(shù)形結(jié)合，優(yōu)化改造部分問題情境，通過觀察圖形、化繁為簡、化難為易，可以清晰地分析數(shù)量關(guān)系，最終促進解決問題.這種做法能夠有效地提升學生的實踐性思維能力.

以行程問題例:南北，東西兩條路相交成直角.A距交點3000米處,自南向北行走，B在交點，自西向東行走，5分鐘后，A，B離交點距離相等(A未到交點);A，B兩人繼續(xù)前行,又經(jīng)過了35分鐘,A，B和交點的距離再次相等.問A每分鐘行走多少米?

這道題直接讓學生解答，題目的表述容易給學生造成困擾，思路上不能清晰整理.遇到行程問題，學生會重點關(guān)注參與行程的物體(一個物體、兩個物體、多個物體)，物體的運動方向(相向、相背、同向)，運動的軌跡(直線、環(huán)形)，以便尋找物體的運動關(guān)系.這道題雖然是兩個物體參與行程，令學生困惑的是兩個物體沒有在一條直線上運動，兩個物體之間的運動關(guān)系中沒有清晰的提示，這和學生已有經(jīng)驗產(chǎn)生了極大差距.教師引導(dǎo)學生通過畫路徑圖，改變問題情境，幫助學生突破思維困惑點.改變B的行走方向，假設(shè)第一次B不是“從交點向正東方向行走”，而是“從交點向正南方向行走”會出現(xiàn)什么情況？學生通過畫路徑圖，觀察交流后發(fā)現(xiàn)：如果B改變運動方向，結(jié)果就會和A相遇；同理，若B再次改變運動方向，假設(shè)B一開始就沒有“從交點向正東方向行走”，而是“B從交點向正北方向行走”，那么最終結(jié)果會出現(xiàn)什么情況？學生繼續(xù)畫圖分析結(jié)果：A就會追上B.

通過畫路徑圖，改變B的運動方向，改變部分問題情境，把學生不熟悉的兩條運動軌跡的條件情境改造成學生熟悉的、運動軌跡在一條直線上的相遇問題或追擊問題情境，從而把原本陌生的問題情境轉(zhuǎn)化成熟悉的情境.

(二)基于直觀 展示真實情形

合理營造問題情境,通過問題串帶動深度探究活動,在教學過程中靈活運用數(shù)形結(jié)合,引導(dǎo)學生通過圖形思考，帶動問題探究,明確數(shù)量關(guān)系,[3]能成功完成知識的構(gòu)建,使學生的應(yīng)用意識、思考能力、探究能力都得到發(fā)展.

例如，園林公司需在小區(qū)門口60米長的道路一邊種樹，要求兩個樹苗之間留3米間距,道路兩端都要種樹，一共需要種樹多少棵?教師幫助學生構(gòu)建種樹情境，用手指表示樹苗，指縫表示間隔，研究樹苗和間隔的關(guān)系.基于對自身手指的理解,學生很快得出結(jié)論:樹苗總數(shù)比間隔數(shù)多1，間隔數(shù)比樹苗總數(shù)少1.如果教學止于此，那學生對知識的理解是淺層的，還需經(jīng)歷問題的深度探究過程.教師應(yīng)適時改變題目中關(guān)鍵詞語，將“兩端植樹”改做“一端植樹”“兩端都不植樹”“兩側(cè)植樹”.隨著題目條件的改動，圖形需要做出相應(yīng)的變化，學生的思維在探究中逐漸深刻.分析與探究實際問題的經(jīng)歷，展現(xiàn)問題情境真實情形的做法，將算式直觀化.看到算式可以聯(lián)想到算式，看到算式也能為學生提供解決此類問題的抓手，培養(yǎng)了學生的實踐性思維能力.

三、以“數(shù)形結(jié)合”，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力

創(chuàng)造性思維就是利用已有的知識、經(jīng)驗、思維把表面看來互不相關(guān)的事情連接在一起，用以創(chuàng)造性地解決新問題.創(chuàng)造思維能力的養(yǎng)成需要經(jīng)過創(chuàng)造、設(shè)計、想象、假設(shè)、發(fā)明、展示、預(yù)測等思維活動.在教學中教師可以利用數(shù)形結(jié)合思想，運用多元構(gòu)形、聯(lián)系對比等方法，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力.

(一)多元構(gòu)形 輔助創(chuàng)造思維

創(chuàng)造性思維能力就是對新的數(shù)學問題，通過觀察，能夠準確把握問題的具體特征，轉(zhuǎn)化成對應(yīng)的圖形，從而分析、理解，創(chuàng)造性地解決問題.

通過畫圖，問題直觀形象，避免了煩瑣的計算，而且結(jié)果準確易得.多元構(gòu)“形”深刻體現(xiàn)了數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系，學生借助正方形的“形”把加法轉(zhuǎn)化成減法，借助圓和線段圖的“形”體會隨著加數(shù)的增加，結(jié)果越來越接近整個圖形(單位“1”)的極限思想.學生在課堂中能夠基于原有知識，用不同的圖形構(gòu)建單位“1”，并進行深入探究，都得到了不同的結(jié)果，在匯報小組結(jié)果的過程中進行交流、分析、評價，讓學生的創(chuàng)造性思維得到發(fā)展.

(二)聯(lián)系對比 培育創(chuàng)新思維

解決幾何圖形的問題離不開數(shù)和算式,有時僅憑直觀觀察看不出特征和規(guī)律,需要借助運算的過程和結(jié)果,進行觀察、分析,發(fā)現(xiàn)本質(zhì)規(guī)律.教師在課堂上要重視方法的傳遞和提升.數(shù)學的學習方法不是教師講清楚、講明白，關(guān)鍵需要學生通過觀察、操作、思考、討論、探究一系列的學習活動，自己領(lǐng)悟出來.

如圖3，兩個正方形的邊長都是6厘米.

(1)圓的半徑是多少厘米？

(2)兩個正方形里圓的面積各是多少？各占正方形面積的百分之幾？

(3)如果像這樣在正方形里畫9個相同的盡量大的圓，這9個圓面積的和占正方形面積的百分之幾？你發(fā)現(xiàn)了什么？

圖3

此題通過數(shù)據(jù)計算，學生可以很快得出結(jié)論：在同一個正方形里，無論畫幾個圓，圓的面積之和都占正方形面積的78.5%.如果僅僅停留在數(shù)據(jù)證明、圖形觀察階段，學生會發(fā)現(xiàn)，圓的個數(shù)只能是1，4，9…等完全平方數(shù).教師引導(dǎo)啟發(fā)：“請小組內(nèi)每個同學剪一個正方形，一起合作拼一拼，看看有什么發(fā)現(xiàn)？”學生們首先按照書上的圖形動手操作，用四個小正方形拼成一個大正方形.由于有上圖的知識，學生可以進行合情推理，4個圓的面積和、9個圓的面積和，與大正方形的面積比都具有78.5%的關(guān)系.教師繼續(xù)追問：“圓的個數(shù)一定是n2個嗎？”學生把重點放在圓的個數(shù)上再次開始探究.很快學生得出結(jié)論:解決這類問題，采用分割法，只要能依據(jù)圓把正方形分成若干個小正方形，那么小圓的面積和就是小正方形面積和的78.5%.這樣正方形內(nèi)圓的個數(shù)就不一定是n2個.

圖4

綜上所述，數(shù)形結(jié)合是解決問題過程中具體直觀的“形”與概括抽象的“數(shù)”相互作用、相互轉(zhuǎn)化的體現(xiàn)，這種結(jié)合可以促進小學生形象思維和抽象思維的協(xié)同發(fā)展.數(shù)學教學中滲透數(shù)形結(jié)合，有助于培育學生分析性思維能力、實踐性思維能力、創(chuàng)新性思維能力，從而促進提升高階思維能力.