◎米秀旭 (江蘇省清江中學(xué),江蘇 淮安 223001)

1 概述

當(dāng)今，人們已經(jīng)跨入信息時(shí)代，出現(xiàn)了各種基于信息技術(shù)的教育方法，如遠(yuǎn)程教育、網(wǎng)絡(luò)直播等，美國(guó)MathWorks公司所開(kāi)發(fā)的MATLAB軟件在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域也得到了長(zhǎng)足的發(fā)展，該軟件在實(shí)現(xiàn)數(shù)值分析、計(jì)算、可視化研究方面作用突出.

該軟件主要應(yīng)用于科學(xué)計(jì)算、交互式程序設(shè)計(jì)等領(lǐng)域，可以使得矩陣計(jì)算、數(shù)值分析等具有可視化，同時(shí)還能對(duì)非線性動(dòng)態(tài)軟件建模給予支持.同時(shí)，在數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域擁有較高的知名度，尤其是在函數(shù)繪制、矩陣計(jì)算、算法實(shí)現(xiàn)、可視化頁(yè)面、和其他高級(jí)語(yǔ)言兼容性等方面都有著自身獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，在控制設(shè)計(jì)、通信、信號(hào)處理和檢測(cè)、工程計(jì)算、圖形處理等諸多領(lǐng)域都有著頗為廣泛的使用.基于這款軟件豐富的優(yōu)勢(shì)，結(jié)合筆者在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的教學(xué)實(shí)踐，為了更好地提升高中生的學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，增強(qiáng)教師的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)，將該軟件引入到高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程，并對(duì)其應(yīng)用進(jìn)行了有益嘗試.

2 將MATLAB引入高中教學(xué)環(huán)節(jié)的原因

數(shù)學(xué)無(wú)疑是諸多科學(xué)研究的基礎(chǔ)學(xué)科，隨著當(dāng)前科技的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用日益重要，而MATLAB軟件在數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域有著極為顯著的優(yōu)勢(shì)，為此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中對(duì)這款軟件進(jìn)行應(yīng)用就十分必要，具體原因體現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：

2.1 軟件的數(shù)學(xué)淵源使之能夠與高中數(shù)學(xué)有效結(jié)合

這款軟件開(kāi)發(fā)的最初目的就是數(shù)學(xué)分析，這款軟件發(fā)展至今已經(jīng)超過(guò)三十多年，它在運(yùn)算、數(shù)學(xué)分析等領(lǐng)域已經(jīng)接近完美.從具體知識(shí)結(jié)構(gòu)層面來(lái)分析，這款軟件所具有的功能基本上涉及數(shù)學(xué)全部的解題技巧、方法和理論.同時(shí)這款軟件還具有較為豐富的可視化功能，能將書(shū)本上一些數(shù)學(xué)原理、公式推導(dǎo)等諸多過(guò)程通過(guò)可視化的曲線、動(dòng)態(tài)頁(yè)面進(jìn)行展示.另外，該軟件還能直接應(yīng)用于習(xí)題解答領(lǐng)域，并對(duì)傳統(tǒng)解題方法進(jìn)行相應(yīng)的驗(yàn)證，并能對(duì)師生的創(chuàng)新思維進(jìn)行啟發(fā).由于這款軟件在編程頁(yè)面上呈現(xiàn)出“便簽”式特點(diǎn)，為此，可以借助于較為簡(jiǎn)單的程序語(yǔ)言來(lái)完成應(yīng)用開(kāi)發(fā)，因此該軟件的使用門(mén)檻也不高.

2.2 符合新型數(shù)學(xué)教學(xué)理念的發(fā)展趨勢(shì)

運(yùn)用該軟件對(duì)高中數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行驗(yàn)證與重現(xiàn)，需要基于有關(guān)原理、方法、編程技巧來(lái)進(jìn)行實(shí)現(xiàn).這一系列的過(guò)程就是仿真，它的實(shí)質(zhì)就是將理論知識(shí)進(jìn)行實(shí)踐轉(zhuǎn)換，為典型的實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，因此這也十分契合當(dāng)前《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》)中所明確的“動(dòng)手實(shí)踐、自主探索”等基本要求.另外，該軟件與教科書(shū)上明確的解題套路相比較，前者可以通過(guò)自由的程序設(shè)計(jì)來(lái)進(jìn)行解決，這樣就能更好地培養(yǎng)高中生的獨(dú)立研究能力，因此與《標(biāo)準(zhǔn)》中所要求的“提升學(xué)生能動(dòng)性，讓學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程通過(guò)教師引導(dǎo)實(shí)現(xiàn)再創(chuàng)造”，具有較高的契合性.為此，將該軟件在高中數(shù)學(xué)中進(jìn)行科學(xué)應(yīng)用，使之成為重要的數(shù)學(xué)工具就顯得極為重要，而且這也是今后數(shù)學(xué)教學(xué)的重要趨勢(shì).

2.3 促使師生共同進(jìn)步，提高教學(xué)效率

實(shí)際上，在課堂教學(xué)中，可以借助于該數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行可視化展現(xiàn)，并將其展示過(guò)程通過(guò)電子課件在課堂上進(jìn)行更好的延時(shí)，能夠很好地提升授課效果，這種動(dòng)態(tài)化展示還能進(jìn)一步增加對(duì)學(xué)生的吸引.當(dāng)然，教師在對(duì)程序進(jìn)行設(shè)計(jì)之時(shí)，本身也是對(duì)這些知識(shí)進(jìn)行深入理解、鞏固的重要過(guò)程，可以幫助教師提升自身的專(zhuān)業(yè)能力.而學(xué)生借助于該軟件進(jìn)行解題，或者對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行驗(yàn)證，則能幫助他們將理論和實(shí)踐進(jìn)行有效聯(lián)系，借助于程序代碼設(shè)計(jì)來(lái)檢驗(yàn)他們的學(xué)習(xí)效果，引導(dǎo)學(xué)生利用軟件對(duì)教科書(shū)的插圖進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，可以進(jìn)一步增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)興趣，并能更好地培養(yǎng)他們的創(chuàng)造力.

3 MATLAB在高中函數(shù)圖像教學(xué)中的應(yīng)用研究

在具體教學(xué)之時(shí)，可以借助于該數(shù)學(xué)軟件來(lái)進(jìn)行仿真，在明確教育目標(biāo)后，不需要提前給出具體的數(shù)學(xué)結(jié)論，而是要引導(dǎo)高中生對(duì)圖形進(jìn)行觀察，對(duì)比數(shù)據(jù)，激發(fā)他們進(jìn)行總結(jié)，而教師則可以對(duì)他們給出的結(jié)論進(jìn)行點(diǎn)評(píng).以下展示了該軟件常見(jiàn)的命令，而且這些命令在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用較為廣泛.

表1 MATLAB常用命令

案例1：指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較.

指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中非常重要的兩類(lèi)函數(shù)，通過(guò)這些知識(shí)的教學(xué)，可以讓高中生更加深刻地理解函數(shù)，并可以通過(guò)不同函數(shù)來(lái)描述客觀規(guī)律，而且這些函數(shù)也是極為常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型.對(duì)這些知識(shí)進(jìn)行教學(xué)，還可以讓學(xué)生可以借助于函數(shù)概念來(lái)進(jìn)行建模，更好體會(huì)函數(shù)的重要性，可以初步借助于函數(shù)思想對(duì)現(xiàn)實(shí)中的簡(jiǎn)單問(wèn)題進(jìn)行處理.同時(shí)還可以進(jìn)一步通過(guò)函數(shù)知識(shí)培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)他們的思維創(chuàng)新能力、數(shù)學(xué)交流和建模能力等.基于上面課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，筆者在教學(xué)中嘗試用MATLAB軟件演示函數(shù)的動(dòng)態(tài)變化.

圖1 指數(shù)函數(shù)變化圖

圖2 對(duì)數(shù)函數(shù)變化圖

對(duì)這兩種函數(shù)概念進(jìn)行簡(jiǎn)單復(fù)習(xí)，并通過(guò)程序?qū)χ笖?shù)函數(shù)圖形利用MATLAB軟件演示不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，幫助學(xué)生分析其函數(shù)性質(zhì)，如定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性等.用軟件繪制的圖形比較準(zhǔn)確，而且直觀反映函數(shù)的特性.

案例2：一元二次函數(shù)

以下給出了典型的一元二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式:y=ax2+bx+c(a≠0)，下面是對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的具體要求：

第一，要對(duì)該函數(shù)的圖像繪制方法與主要特征進(jìn)行全面掌握，譬如對(duì)稱(chēng)軸、開(kāi)口大小和方向等；

第二，對(duì)該函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行了解，并借助于該性質(zhì)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行解決；

第三，找出該函數(shù)區(qū)間的最大值、最小值；

第四，對(duì)該函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系進(jìn)行掌握.

對(duì)于這些性質(zhì)的學(xué)習(xí)，可以基于解析式、圖像特征這兩個(gè)層面來(lái)開(kāi)展，對(duì)于前者而言，可以通過(guò)相應(yīng)代數(shù)推理來(lái)獲得解；對(duì)于后者而言，則可以借助數(shù)形結(jié)合來(lái)進(jìn)行理解，這亦為高中生需要掌握的重要思想方法.

通過(guò)MATLAB軟件，可以對(duì)有關(guān)參量進(jìn)行調(diào)整，這樣就能繪制圖形，進(jìn)而得到具體的圖像特征，以下給出了部分實(shí)現(xiàn)代碼：

for a=[1 2 6 9];

b=1;

c=1;

x=-30∶0.1∶30;

y=a*x.*x+b*x+c;

y1=0*x;

plot(x,y1,′m′,y1,x,′m′,x,y);

title([′一元二次函數(shù)y=ax*x+b*x+c的圖像′])；

text(-1,a*(-1)^2+b*(-1)+c,[′y=′,num2str(a),′x^2+bx+c′]);

grid on

axis([-3 3 0 20]);

pause(1)

hold on

end

在上述三個(gè)參量產(chǎn)生改變后，相應(yīng)的函數(shù)圖像就會(huì)有變化，這樣就能獲得圖形與參數(shù)之間的關(guān)系.從中可知，a值產(chǎn)生改變之后，拋物線開(kāi)口方向與大小會(huì)產(chǎn)生變化，相應(yīng)的頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱(chēng)軸也會(huì)有所改變.其中a值為整數(shù)，那么其值越大，對(duì)應(yīng)的開(kāi)口越小，而且開(kāi)口朝上，頂點(diǎn)也越高，對(duì)稱(chēng)軸越向右靠近.若是a為負(fù)值，且越大，那么開(kāi)口朝下，而頂點(diǎn)越高，越向右靠近.另外，b值產(chǎn)生改變，其開(kāi)口方向、大小不會(huì)改變，但是其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸會(huì)改變，而c產(chǎn)生改變后，拋物線外形不會(huì)有變化，僅僅是上下進(jìn)行平移.

案例3 冪函數(shù)圖像以及性質(zhì)

編寫(xiě)有關(guān)代碼，可以得到下圖的運(yùn)行結(jié)果，具體程序?yàn)椋?/p>

for a=[-1/2-1/3];

x=-100∶0.05∶100;

y=x.^a;

y1=0*x;

plot(x,y1,′m′,y1,x,′m′,x,y);

%plot(x,y);

title([′冪函數(shù)x^a的圖像′])；

if a<1;

text(5,(5)^a,[′y=x^′,num2str(a)];

else

text(2,2^a,[′y=x^′,num2str(a)]);

end

grid on

axis([-10 10-2 2]);

pause(1)

hold on

end

圖a

圖b

圖c

圖d圖3 冪函數(shù)的圖像

對(duì)上圖進(jìn)行分析，對(duì)于y=xa(a∈R)這個(gè)冪函數(shù)圖像，能夠通過(guò)下面幾種方式進(jìn)行探討：

第一，當(dāng)指數(shù)a≥1 成立，可以參見(jiàn)圖a，其中a若是為偶數(shù)，那么此冪函數(shù)就成了偶函數(shù)，為此，它將會(huì)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，同時(shí)在x軸左側(cè)呈現(xiàn)出單調(diào)遞減趨勢(shì)，而在右側(cè)則是單調(diào)遞增.若a是奇數(shù)，那么在對(duì)應(yīng)的定義域之內(nèi)則是增函數(shù).

第二，指數(shù)a≤-1 成立，此時(shí)可參考圖b，對(duì)應(yīng)的a為奇偶數(shù)時(shí)，相應(yīng)的就是奇、偶函數(shù)，前者會(huì)在第一、三象限內(nèi)部呈現(xiàn)出單調(diào)遞減的特點(diǎn)，后者則是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，并在x軸左、右側(cè)，分別是單調(diào)遞增、遞減函數(shù).

第三，在0

第四，在-1

第五，冪函數(shù)圖像不會(huì)處于第四象限.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文介紹了 MATLAB在數(shù)學(xué)函數(shù)圖像性質(zhì)教學(xué)中的應(yīng)用，雖然簡(jiǎn)單地介紹了一些應(yīng)用實(shí)例，但是 MATLAB軟件的應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這么多，在以后的教學(xué)過(guò)程中，可以嘗試?yán)迷摂?shù)學(xué)軟件求解更多的問(wèn)題.通過(guò)這些內(nèi)容的介紹我們可以清楚地發(fā)現(xiàn)，利用 MATLAB語(yǔ)言求解問(wèn)題是相當(dāng)簡(jiǎn)便、快速的，它不僅克服了數(shù)據(jù)多，數(shù)字繁等計(jì)算上的困難，而且?guī)椭覀兏睢⒏娴乩斫夂驼莆沼嘘P(guān)內(nèi)容，解決更多的與其相關(guān)的問(wèn)題，使得數(shù)學(xué)中復(fù)雜的問(wèn)題變的更容易解決.