董 艷

（陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西 渭南 714000）

一、目的意義

1.研究目的

金融衍生產(chǎn)品定價(jià)是金融數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是近年來(lái)人們?cè)诮鹑跀?shù)學(xué)領(lǐng)域研究的一個(gè)重要課題。此外本課題的研究也具備一定的實(shí)踐意義，本課題所得結(jié)果方便投資者和金融機(jī)構(gòu)量化各種金融衍生產(chǎn)品的價(jià)值，對(duì)金融市場(chǎng)上的投資活動(dòng)具有指導(dǎo)意義。

此外在生活中，期權(quán)也有諸多應(yīng)用，期權(quán)與人們的日常生活息息相關(guān)。雖然“期權(quán)”二字沒(méi)能出現(xiàn)在每個(gè)人的生活當(dāng)中，但是期權(quán)的觀念早已深入人心。除了上面論述的理財(cái)產(chǎn)品和定期存款問(wèn)題以外，按揭買房和抵押貸款問(wèn)題也可以通過(guò)期權(quán)找到合理解釋[1-2]。

2.研究意義

近年來(lái)，金融理財(cái)產(chǎn)品得到了長(zhǎng)足發(fā)展，針對(duì)人們不同的風(fēng)險(xiǎn)偏好和投資回報(bào)期望，一些金融機(jī)構(gòu)推出一系列金融理財(cái)產(chǎn)品以滿足人們投資理財(cái)?shù)男枰?，?jiàn)表1。

表1羅列了農(nóng)業(yè)銀行公布的諸多理財(cái)產(chǎn)品，總計(jì)6500多項(xiàng)，受篇幅的限制，這里只列出其中比較有代表性的8項(xiàng)。理財(cái)產(chǎn)品大概分為以下三類：非保本浮動(dòng)收益型、保本浮動(dòng)收益型和保本固定收益型。保本固定收益型理財(cái)產(chǎn)品，其收益率是固定不變的，投資者按照實(shí)現(xiàn)約定好的利率、投資期限和本金金額進(jìn)行投資，到期之后領(lǐng)取約定的本金和利息。保本浮動(dòng)收益型理財(cái)產(chǎn)品在國(guó)內(nèi)外風(fēng)行多年，不論市場(chǎng)走空還是走多，其本金是可以保證的，不會(huì)因?yàn)槭袌?chǎng)的變動(dòng)影響生活，但是其收益是得不到保證的，其收益率往往隨著金融市場(chǎng)發(fā)生變動(dòng)。相比之下，非保本浮動(dòng)收益型理財(cái)產(chǎn)品的本金和利息完全暴露在風(fēng)險(xiǎn)之下，其本金和利息都不是固定的（非保本浮動(dòng)收益型理財(cái)產(chǎn)品的期望收益率高），可能要面臨一定的本金虧損。

表1 農(nóng)業(yè)銀行部分理財(cái)產(chǎn)品

（1）理財(cái)產(chǎn)品中歐式期權(quán)的嵌入

對(duì)比保本浮動(dòng)收益型理財(cái)產(chǎn)品和非保本浮動(dòng)收益型理財(cái)產(chǎn)品：①對(duì)于保本浮動(dòng)收益型理財(cái)產(chǎn)品，理財(cái)產(chǎn)品公司承諾本金的同時(shí)，還事先約定一個(gè)最低的收益率，這樣一來(lái)，投資人在到期日T 是可以保證本金和最低的收益的，同時(shí)還可以保留因理財(cái)產(chǎn)品溢價(jià)而帶來(lái)的意外獲利的機(jī)會(huì)；②對(duì)于非保本浮動(dòng)收益型理財(cái)產(chǎn)品，其本金和利息都是有風(fēng)險(xiǎn)的，其價(jià)值由市場(chǎng)決定。

因此，保本浮動(dòng)收益型理財(cái)產(chǎn)品相當(dāng)于在非保本浮動(dòng)收益型理財(cái)產(chǎn)品的基礎(chǔ)之上嵌入了一個(gè)歐式期權(quán)。對(duì)于這兩種理財(cái)產(chǎn)品如果到期日相同，那么其單位本金的利息之差就應(yīng)當(dāng)恰好是一個(gè)歐式期權(quán)。

本文具體分析嵌入期權(quán)的種類。一方面，由于理財(cái)產(chǎn)品只有到期之后才可以獲得利息和本金，從而理財(cái)產(chǎn)品中嵌入的期權(quán)只能是歐式類型。另一方面，大部分理財(cái)產(chǎn)品只與到期日的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格有關(guān)，與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在理財(cái)產(chǎn)品合同續(xù)存期內(nèi)的價(jià)格無(wú)關(guān)，那么此類理財(cái)產(chǎn)品中嵌入應(yīng)當(dāng)是標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)；有些理財(cái)產(chǎn)品（例如表1第一項(xiàng)和第二項(xiàng)）則規(guī)定了觀察日，使得理財(cái)產(chǎn)品的收益依賴觀察日風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格，那么此類理財(cái)產(chǎn)品中嵌入應(yīng)當(dāng)是歐式重置期權(quán)；最后還有一些理財(cái)產(chǎn)品（例如表1中第八項(xiàng)）其收益還依賴風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格在某個(gè)區(qū)間停留的天數(shù)，此類理財(cái)產(chǎn)品中嵌入應(yīng)當(dāng)是歐式階梯期權(quán)。

（2）金融理財(cái)產(chǎn)品中美式期權(quán)的嵌入

這三種類型理財(cái)產(chǎn)品還有一個(gè)共同的特征：在投資期限內(nèi)，擁有100%的資金使用權(quán)，通常不允許投資人提前支取理財(cái)產(chǎn)品，即便允許，也面臨著高額的提前支取費(fèi)用。相比之下，銀行存款就便利許多，儲(chǔ)戶在以定期存款的形式將本金存入銀行之后，如因?yàn)閭€(gè)人原因急需使用該本金時(shí)可以提前支取，但是提前支取的錢款按支取當(dāng)日的活息利率計(jì)息。因此，定期存款相當(dāng)于在理財(cái)產(chǎn)品的基礎(chǔ)之上嵌入了一個(gè)美式期權(quán)。

（3）國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀及分析

由于定期存款和理財(cái)產(chǎn)品中所嵌入的期權(quán)分別為歐式期權(quán)和美式期權(quán)，本節(jié)對(duì)這兩種期權(quán)的研究進(jìn)展以及發(fā)展現(xiàn)狀做一個(gè)簡(jiǎn)要的說(shuō)明。期權(quán)定價(jià)問(wèn)題的研究始于 20 世紀(jì) 70 年代初。首先研究的是幾何布朗運(yùn)動(dòng)情形下的期權(quán)定價(jià)。Panini和Srivastav使用Mellin變換將期權(quán)適合的拋物方程轉(zhuǎn)化為常微分方程并求解，然后利用Mellin逆變換給出了歐式期權(quán)的定價(jià)公式并給出了美式期權(quán)價(jià)格適合的積分方程。由于Mellin變換僅僅在波動(dòng)率和利率為常數(shù)時(shí)候才可以進(jìn)行，F(xiàn)rontczak和Sch?bel在Panini和Srivastav結(jié)論的基礎(chǔ)之上，考慮有連續(xù)紅利支付情形下的歐式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。通過(guò) Mellin變換方法，得到了相應(yīng)的歐式期權(quán)和美式期權(quán)定價(jià)結(jié)論。Company等人則對(duì)Panini和Srivastav的結(jié)論做了另一種推廣，假定期權(quán)在到期日的收益是原生資產(chǎn)價(jià)格的一般函數(shù)，甚至允許收益函數(shù)包含有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，利用傅里葉變換方法得到了歐式期權(quán)定價(jià)公式。Chanane用變量分離方法代替Mellin變換方法研究了歐式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。Chanane提供的方法允許收益函數(shù)存在有限個(gè)間斷點(diǎn)（第一類和第二類間斷點(diǎn)均可），得到了更為一般情形下的期權(quán)定價(jià)結(jié)論。由于美式期權(quán)沒(méi)有解析定價(jià)結(jié)論，除了采用數(shù)值方法（有限差分、有限元，Monte-Carlo）以外，易法槐老師及其研究團(tuán)隊(duì)采用懲罰方法研究了美式期權(quán)定價(jià)的自由邊界問(wèn)題，給出了美式期權(quán)弱解的存在性和唯一性，并研究了自由邊界的光滑性。

分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)或者混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的Black-Scholes模型下的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題研究相對(duì)較晚。有學(xué)者研究了時(shí)變分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的B-S模型下的歐式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，他們提供了一種新的隨機(jī)微分展開(kāi)方法用以代替Ito公式，據(jù)此給出了歐式期權(quán)滿足的偏微分方程及其精確解的表達(dá)式。Chen.W研究了混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)情形下的美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。第一種是利用迎風(fēng)差分格式研究了美式期權(quán)滿足的變分不等式，給出了美式期權(quán)定價(jià)的數(shù)值算法。由于混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)情形下的美式期權(quán)變分不等式是分?jǐn)?shù)階的，第二種采用Liouville導(dǎo)數(shù)定義了變分不等式的弱解，并采用懲罰方法證明了該弱解的存在性。同時(shí)第二種還給出了美式期權(quán)價(jià)格的若干估計(jì)。

Levy模型適合用于模擬那些突發(fā)事件引起的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)。因此期權(quán)定價(jià)之Levy模型的提出受到了眾多學(xué)者的歡迎。很多學(xué)者研究了Levy模型下的歐式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，都將歐式期權(quán)轉(zhuǎn)化成了一種Integro-differential型拋物偏微分方程。由于Integro-differential型拋物偏微分方程是非線性的，沒(méi)有解析解，M.C.Mariania、M.Fakharany等采用數(shù)值方法研究了Levy模型下的歐式期權(quán)和美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。M.C.Mariania采用有限差分方法，得到了歐式和美式期權(quán)的一個(gè)二階差分格式。此外，他還重點(diǎn)研究了差分格式的誤差估計(jì)問(wèn)題。M.Fakharany采用鞅方法研究了美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，得到了美式期權(quán)價(jià)格的一個(gè)半解析近似公式。

近些年來(lái)，CEV模型已經(jīng)成功地應(yīng)用于期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。J.Lee采用鞅方法研究了CEV模型下的歐式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，采用無(wú)窮多個(gè)Bessel函數(shù)的線性組合表示出了歐式期權(quán)的價(jià)格公式，實(shí)際上其結(jié)果是半解析的。文獻(xiàn)J.Lee也間接表明，由于CEV模型下的B-S方程不是常系數(shù)的，期權(quán)定價(jià)問(wèn)題是不可能有精確解析解的。F.Kleinert利用有限差分方法研究了美式看跌期權(quán)的價(jià)格，Y.L.Hsu則研究了美式期權(quán)自由邊界的位置。

隨機(jī)波動(dòng)模型也是學(xué)者研究的一個(gè)重要方向。隨機(jī)波動(dòng)模型克服了傳統(tǒng)Black-Scholes模型中波動(dòng)率為常數(shù)的假設(shè)。在金融實(shí)踐中波動(dòng)率常常呈現(xiàn)一定的隨機(jī)因素，隨機(jī)波動(dòng)模型正好解決了這一問(wèn)題。R.Griego通過(guò)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，給出了某些風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的波動(dòng)率遵循的特定分布，并在此基礎(chǔ)之上研究了隨機(jī)波動(dòng)率下的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。文獻(xiàn)引入了各種形式的隨機(jī)微分方程刻畫波動(dòng)率，形成了一系列的隨機(jī)波動(dòng)方程，也研究了期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。Heston模型用CIR方程來(lái)刻畫隨機(jī)波動(dòng)率，預(yù)示著波動(dòng)率在一定的水平上進(jìn)行隨機(jī)擾動(dòng)，當(dāng)波動(dòng)率偏離平均水平后很快會(huì)恢復(fù)。S.Fallah研究了雙隨機(jī)項(xiàng)下Heston模型解的存在性和收斂性，A.Aghda則研究了延遲Heston模型解的收斂性，并且構(gòu)造了一種Euler網(wǎng)格劃分方法，在此差分格式下研究了解的非負(fù)性。E.Berthe在Heston模型下，研究了外匯期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，利用攝動(dòng)方法給出了期權(quán)的近似定價(jià)結(jié)果。S.Corsaro構(gòu)造了Heston模型網(wǎng)格查分的平行算法，并研究了亞式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。 F.Soleymani研究了帶有Hull-White隨機(jī)率項(xiàng)的Heston模型，利用Feymann-Kac公式獲取了相應(yīng)的拋物偏微分方程，并給出了一種自Heston模型的適應(yīng)網(wǎng)格劃分算法。

二、目標(biāo)任務(wù)

本課題在Levy噪聲和分?jǐn)?shù)Brownian運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的市場(chǎng)環(huán)境下對(duì)金融市場(chǎng)上存在的理財(cái)產(chǎn)品進(jìn)行數(shù)值定價(jià)分析，所得研究結(jié)果方便投資者和金融機(jī)構(gòu)量化各種金融衍生產(chǎn)品的價(jià)值。本課題針對(duì)理財(cái)產(chǎn)品適合的偏微分方程初邊值問(wèn)題，進(jìn)行網(wǎng)格差分，以期在特定的偏微分方程初邊值問(wèn)題的差分方法上獲取更高精度的差分格式。

在Levy噪聲和分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的Heston隨機(jī)利率模型（以下簡(jiǎn)稱“分?jǐn)?shù)Levy-Heston模型”）下，本項(xiàng)目嘗試以理財(cái)產(chǎn)品的定價(jià)問(wèn)題為研究對(duì)象，以理財(cái)產(chǎn)品價(jià)值的網(wǎng)格劃分為研究手段，找出理財(cái)產(chǎn)品價(jià)值的一個(gè)有效的差分格式，既能進(jìn)行理論分析，也便于數(shù)值模擬。

三、主要內(nèi)容

本項(xiàng)目主要研究那些分?jǐn)?shù)Levy-Heston模型的金融理財(cái)產(chǎn)品的定價(jià)問(wèn)題。具體地講，我們將采理論推導(dǎo)和數(shù)值模擬相結(jié)合的方法研究理財(cái)產(chǎn)品的定價(jià)問(wèn)題。

首先，基于網(wǎng)格差分方法，討論分?jǐn)?shù)Levy-Heston模型下、不附帶提前實(shí)施條款的理財(cái)產(chǎn)品的定價(jià)問(wèn)題，給出精度更好的迎風(fēng)差分格式以及相應(yīng)的穩(wěn)定性、收斂性和相容性分析。

其次，討論分?jǐn)?shù)Levy-Heston模型下可自動(dòng)續(xù)期類型的理財(cái)產(chǎn)品的定價(jià)問(wèn)題。建立相應(yīng)的變分不等式模型，計(jì)算其差分格式并討論其自由邊界（最佳實(shí)施邊界）的性質(zhì)。

最后，構(gòu)造一種不依賴人工邊界的并行算法。通常情況下，不依賴人工邊界的差分算法只有顯式差分格式，而顯式差分格式往往是條件穩(wěn)定的，本課題嘗試構(gòu)造一種并行差分格式，既滿足無(wú)條件穩(wěn)定又無(wú)需人工邊界。

四、可行性分析

近年來(lái)，項(xiàng)目申請(qǐng)者一直從事期權(quán)定價(jià)方面的研究工作，并密切跟蹤國(guó)內(nèi)外在期權(quán)定價(jià)理論方面的研究現(xiàn)狀，收集了豐富的數(shù)據(jù)資料，對(duì)相關(guān)期權(quán)定價(jià)理論和方法都進(jìn)行了細(xì)致的分析，比較了解同類問(wèn)題的研究現(xiàn)狀和存在的問(wèn)題。同時(shí)，項(xiàng)目申請(qǐng)者經(jīng)常與項(xiàng)目成員進(jìn)行討論，對(duì)網(wǎng)格差分方法和Levy-Heston模型有了一定的了解，其研究思路已經(jīng)基本熟悉。

本項(xiàng)目的研究思路是在以往期權(quán)定價(jià)理論的基礎(chǔ)上，結(jié)合網(wǎng)格差分方法提出的，涉及的關(guān)鍵研究?jī)?nèi)容和研究路線是可行的，具體分析如下。

首先，用網(wǎng)格差分方法研究理財(cái)產(chǎn)品定價(jià)問(wèn)題是可行的：許多理財(cái)產(chǎn)品定價(jià)問(wèn)題經(jīng)過(guò)Feymann-Kac公式或者金融資產(chǎn)的復(fù)制策略可以轉(zhuǎn)化成各種形式的偏微分方程初邊值問(wèn)題。目前，項(xiàng)目申請(qǐng)人已經(jīng)掌握了這些偏微分方程初邊值問(wèn)題的網(wǎng)格差分方法。

其次，對(duì)理財(cái)產(chǎn)品適合的偏微分方程的空間變量進(jìn)行必要的轉(zhuǎn)換是可行的： 項(xiàng)目申請(qǐng)人對(duì)這些偏微分方程的初邊值問(wèn)題已經(jīng)有了細(xì)致的分析，通過(guò)何種方式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，達(dá)到空間變量降維的效果，已有一定的了解。

最后，對(duì)差分格式進(jìn)行穩(wěn)定性、收斂性和相容性分析是可行的：網(wǎng)格差分有相對(duì)完善的穩(wěn)定性、收斂性和相容性理論，項(xiàng)目申請(qǐng)人對(duì)這些也已掌握。