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        帶有閾值捕獲功能型反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

        2021-10-27 07:21:06劉煒
        魅力中國(guó) 2021年33期
        關(guān)鍵詞:模型系統(tǒng)研究

        劉煒

        (湖北警官學(xué)院,湖北 武漢 430034)

        一、引言

        生物科學(xué)的研究主要包括微觀和宏觀兩方面,微觀主要指細(xì)胞、分子等的形態(tài)研究,宏觀主要指生物體與周?chē)姝h(huán)境的關(guān)系,即生態(tài)學(xué)。生態(tài)學(xué)中的這種“關(guān)系”我們也可以看成生物體和周?chē)h(huán)境共同形成的“系統(tǒng)”,如果我們用“分析”的方法來(lái)研究系統(tǒng),就是數(shù)學(xué)中的建立模型,這個(gè)模型叫作種群生態(tài)學(xué)模型。

        當(dāng)前,隨著科技文明的不斷進(jìn)步,自然資源明顯匱乏,人與自然如何良性共存是世界熱點(diǎn)問(wèn)題,人與生物自然資源的關(guān)系屬于生物體與周?chē)h(huán)境的關(guān)系,用建模和分析的方法研究這類(lèi)生態(tài)系統(tǒng)可以對(duì)人類(lèi)的行為有科學(xué)的指導(dǎo)。捕食-食餌系統(tǒng)屬于種群生態(tài)學(xué)模型中的兩種群模型,它可以反應(yīng)很多自然界中生物體之間和生物體與環(huán)境之間的關(guān)系。兩種群模型主要包含三種關(guān)系,即食餌與捕食者、競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系、互惠互存關(guān)系。本文中研究的模型是基于Lotka-Volterra模型,屬于食餌與捕食者的關(guān)系,模型中用線性化來(lái)近似表示種群A、B的密度增長(zhǎng)。

        我們以魚(yú)類(lèi)資源和捕魚(yú)業(yè)為例。近幾年,過(guò)度捕撈致使物種滅絕的情況很常見(jiàn),過(guò)度捕撈的目標(biāo)是為了追求經(jīng)濟(jì)利潤(rùn),如何在保護(hù)自然資源的同時(shí),能使捕撈和魚(yú)類(lèi)繁殖形成良性發(fā)展關(guān)系,就是模型需要研究的問(wèn)題。例如,B.Ghosh在2014年研究了一類(lèi)帶有生態(tài)閾值和經(jīng)濟(jì)共同制約的捕食-食餌模型的食餌種群可持續(xù)利用問(wèn)題,很多學(xué)者也利用捕獲和經(jīng)濟(jì)效益的微分代數(shù)系統(tǒng)模型得到了許多有價(jià)值的結(jié)論,為經(jīng)濟(jì)和生態(tài)環(huán)境的平衡發(fā)展做出了有指導(dǎo)意義的推理結(jié)論。

        在之前的研究中,關(guān)于微分代數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及分支的研究有很多,也得到了很多好的結(jié)論,但在其模型中,關(guān)于捕獲函數(shù)的描述并不確切,在實(shí)際生產(chǎn)中捕獲并不是以常數(shù)進(jìn)行正比例增長(zhǎng)的,這些會(huì)影響整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性結(jié)果。因此,我們考慮加入一個(gè)更為實(shí)際的閾值捕獲函數(shù),建立了一個(gè)帶有閾值捕獲功能型反應(yīng)函數(shù)的微分代數(shù)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng),利用微分代數(shù)方程定義的動(dòng)力系統(tǒng)中平衡點(diǎn)及其局部穩(wěn)定性理論來(lái)分析上述模型的穩(wěn)定性,從而得出有實(shí)際價(jià)值的結(jié)論。

        二、帶有閾值捕獲功能型反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型的建立

        我們采用的基礎(chǔ)模型是帶有對(duì)捕食者捕獲的ratio-dependent捕食-食餌模型

        x和y表示食餌和捕食者在時(shí)間tf時(shí)的密度,其中αθε,,為正常數(shù),a,b分別代表食餌和捕食者兩種群的密度,C*指對(duì)捕食者的捕獲能力,αC*y表示在時(shí)間t捕獲與捕食者密度成正比關(guān)系。

        在捕魚(yú)業(yè)中,0=t時(shí)開(kāi)始捕撈是不能實(shí)現(xiàn)的,J.S.Collie曾在Technical Report中介紹過(guò)Threshold Policy的概念,若被捕獲量在閾值T水平以下不捕獲,若被捕獲量超過(guò)閾值T采用常數(shù)捕獲率進(jìn)行捕撈。即

        當(dāng)然,考慮到時(shí)滯和捕撈能力等因素的限制,當(dāng)被捕獲量達(dá)到閾值時(shí)立刻開(kāi)始捕撈是不能實(shí)現(xiàn)的,因此我們加入一個(gè)連續(xù)的閾值捕獲功能型反應(yīng)函數(shù),

        當(dāng)Ty= 時(shí),捕撈光滑增長(zhǎng),直到達(dá)到h。

        1954年,Gordon結(jié)合經(jīng)濟(jì)因素,提出了關(guān)于捕獲能力對(duì)生態(tài)系統(tǒng)影響的經(jīng)濟(jì)學(xué)原理,即Net Economic Revenue=Total Revenue - Total Cost,簡(jiǎn)稱(chēng)NER。依據(jù)此原理我們可以得到一個(gè)如下的經(jīng)濟(jì)效益方程:

        其中 )(tC代表時(shí)間t時(shí)的捕獲效率,p表示單位重量的捕獲效益,q表示單位捕獲成本,m表示經(jīng)濟(jì)效益,mqp,, 均為正參數(shù)。

        結(jié)合以上閾值捕獲功能型反應(yīng)函數(shù)和經(jīng)濟(jì)效益方程,我們可以得到以下帶有捕獲的捕食-食餌生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng):

        當(dāng)Tv< 時(shí),捕獲為0,關(guān)于閾值捕獲功能型反應(yīng)函數(shù)的研究以有成熟結(jié)論,因此在接下來(lái)的研究中我們之考慮Tv> 時(shí)的情況。

        三、穩(wěn)定性分析

        當(dāng) 0TT> 時(shí),系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的;

        當(dāng) 0TT< 時(shí),系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)是漸進(jìn)穩(wěn)定的;

        當(dāng) 0TT= 時(shí),系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)是一個(gè)非雙曲平衡點(diǎn)。

        四、結(jié)語(yǔ)

        上文中我們得到了系統(tǒng)局部穩(wěn)定的條件,我們還可以根據(jù)Hopf分支定理,選取T作為分支參數(shù),得到方程滿足Hopf分支存在的條件,進(jìn)一步應(yīng)用形式級(jí)數(shù)判別法來(lái)研究系統(tǒng)(1)的中心焦點(diǎn)問(wèn)題等。這樣我們能有更全面細(xì)致的結(jié)論,這會(huì)在后續(xù)研究中進(jìn)行。

        生物資源的合理利用和開(kāi)發(fā)一直是我們所提倡的,但在某些國(guó)家和地區(qū)仍然不顧環(huán)境一味追求經(jīng)濟(jì)利潤(rùn),給生態(tài)環(huán)境造成了很多不可逆的影響。如果將本文研究的帶有閾值捕獲功能型反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌系統(tǒng)應(yīng)用于捕魚(yú)業(yè),單從經(jīng)濟(jì)角度出發(fā),捕魚(yú)者趨向以最小成本收獲最大捕獲量,因此在局部范圍內(nèi)選擇的閾值T越大,經(jīng)濟(jì)效益越大。但通過(guò)上述研究我們發(fā)現(xiàn),閾值T的選擇會(huì)影響整個(gè)微分代數(shù)生態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,當(dāng) 0TT> 時(shí),食餌、捕食者和捕獲量會(huì)呈現(xiàn)不穩(wěn)定狀態(tài),這很大概率會(huì)影響生態(tài)系統(tǒng)平衡,影響生物體繁殖,甚至最終導(dǎo)致物種滅絕。因此我們需要計(jì)算出符合系統(tǒng)穩(wěn)定性的閾值0T,在超過(guò)該值時(shí)進(jìn)行捕撈,這樣才能在保證生態(tài)環(huán)境可持續(xù)發(fā)展的前提下提高經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)。

        當(dāng)然,我們的模型并不完善,沒(méi)有考慮時(shí)滯、染病等因素,沒(méi)有加入對(duì)食餌的捕獲,這些因素也會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生影響。因此這些研究也是十分有意義的,生態(tài)數(shù)學(xué)的研究可以幫助很多工、農(nóng)領(lǐng)域進(jìn)行科學(xué)的可持續(xù)發(fā)展,我們會(huì)在這個(gè)問(wèn)題上繼續(xù)進(jìn)行研究,持之以恒,做出更多有價(jià)值的成果,給人與自然的和諧發(fā)展給予積極的影響。

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