溫中凱，徐明明，張慶君,*，李爽

1. 南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院，南京 211106 2. 中國空間技術(shù)研究院 遙感衛(wèi)星總體部，北京 100094

1 引言

五棱鏡具有使光軸恒轉(zhuǎn)90°且不產(chǎn)生鏡像的光學(xué)特性，在理論設(shè)計(jì)和工程應(yīng)用中的使用十分廣泛。國內(nèi)方面，文獻(xiàn)[1-2]利用五棱鏡進(jìn)行多光譜光學(xué)系統(tǒng)的光軸平行性標(biāo)校；文獻(xiàn)[3-4]利用五棱鏡實(shí)現(xiàn)對大口徑平面鏡的面形檢測；文獻(xiàn)[5-6]利用五棱鏡進(jìn)行光學(xué)系統(tǒng)的波前檢測等。國外方面，文獻(xiàn)[7]利用五棱鏡實(shí)現(xiàn)線性光學(xué)量子CNOT門的設(shè)計(jì)；文獻(xiàn)[8]利用五棱鏡實(shí)現(xiàn)對大型光學(xué)表面的原位測量；文獻(xiàn)[9]利用五棱鏡實(shí)現(xiàn)快速、高精度的表面坡度測量等。在空間光電跟瞄系統(tǒng)的多光軸平行性標(biāo)校中，常利用五棱鏡將目標(biāo)靶和CCD分別定位在平行光管的焦面和共軛焦面處，以檢測主動式發(fā)射系統(tǒng)與被動式接收系統(tǒng)的光軸平行性。而五棱鏡制造誤差的存在將破壞其垂直折轉(zhuǎn)特性，引起出射光線的轉(zhuǎn)向角偏差，從而影響多光軸平行性的檢測精度。因此，有必要對五棱鏡進(jìn)行誤差分析以便對結(jié)果進(jìn)行修正。

目前，對五棱鏡誤差分析的研究多集中在角度制造誤差、垂直度誤差和姿態(tài)誤差的影響上，對面形誤差影響的研究較少。如文獻(xiàn)[10-13]對五棱鏡角度制造誤差的研究，文獻(xiàn)[14-15]對五棱鏡垂直度誤差的研究，文獻(xiàn)[16-20]對五棱鏡姿態(tài)誤差的研究等，均未涉及對五棱鏡面形誤差影響的研究。此外，面形誤差的綜合影響十分復(fù)雜，需要提出一種降低其研究復(fù)雜度的方法。

本文在五棱鏡不規(guī)則度較小的前提下，利用最佳擬合球面的矢量高度Power適當(dāng)簡化其工作面模型，提出了一種研究五棱鏡面形誤差對出射光線轉(zhuǎn)向角影響的新方法。在保證計(jì)算精度的前提下，降低了出射光線轉(zhuǎn)向角誤差數(shù)據(jù)的維度，推導(dǎo)出了轉(zhuǎn)向角誤差的降維計(jì)算公式。利用該公式計(jì)算主截面方向上轉(zhuǎn)向角誤差的最大相對誤差為2.14%，最大相對誤差低于1.23%的數(shù)據(jù)占全部計(jì)算數(shù)據(jù)的99%以上，且計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測試平均值的偏差在±0.25″以內(nèi)；計(jì)算垂直于主截面方向上轉(zhuǎn)向角誤差的最大相對誤差僅有0.31%，且計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)測試平均值的偏差在±0.15″以內(nèi)。

2 出射光線轉(zhuǎn)向角求解

2.1 建立空間分析坐標(biāo)系

圖1 五棱鏡光路Fig.1 Light path map of pentaprism

2.2 面形誤差的判定方法

傳統(tǒng)檢測光學(xué)平面面形的方法是光學(xué)樣板法，使用光圈數(shù)N與局部光圈數(shù)ΔN來衡量面形質(zhì)量的高低。由于光圈形狀的多樣性、光圈檢查的復(fù)雜性，檢驗(yàn)員只能憑借經(jīng)驗(yàn)對干涉圖形進(jìn)行判斷。隨著光學(xué)表面檢測技術(shù)的發(fā)展，特別是數(shù)字型激光干涉儀的出現(xiàn)，使得光學(xué)零件表面面形誤差的精密測量得以實(shí)現(xiàn)。利用這種干涉測量設(shè)備測出的干涉圖形，使用峰谷值PV、均方根值RMS和Power作為衡量面形誤差的數(shù)字化指標(biāo)，能精確評估面形誤差。

當(dāng)前航天應(yīng)用中使用的五棱鏡各工作面不規(guī)則度很小，即有ΔN≈2|PV-Power|≈0，而Power≠0。根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，該情況下可用最佳擬合球面的矢高Power表示工作面面形和理想平面波前的光焦度偏差，代替PV與RMS作為衡量面形誤差的數(shù)字化指標(biāo)，從而將工作面適當(dāng)簡化成球面以分析其對出射光線轉(zhuǎn)向角的影響。

2.3 求解出射光線轉(zhuǎn)向角

如圖2所示，在圖1基礎(chǔ)上給五棱鏡各工作面添加用Power定義的面形誤差，設(shè)添加面形誤差后的五棱鏡各工作面為PS(S=1,2,3,4)，PS與光線的交點(diǎn)為AS(ASX,ASY,ASZ,)，PS在點(diǎn)AS處的單位法向量為NS，此時(shí)各光線的單位方向向量分別為R1(x1,y1,z1) ～R5(x5,y5,z5)。

圖2中L為干涉儀檢測區(qū)域口徑，|r|為該檢測區(qū)域曲率半徑。Power的符號與干涉儀的檢測方式有關(guān)，本文設(shè)定Power>0時(shí)，工作面凹向介質(zhì)，Power<0時(shí)，工作面凸向空氣，且令r與Power同號，則由幾何關(guān)系可得

圖2 面形誤差分析模型Fig.2 Surface error analysis model

(1)

(2)

(3)

式中：φ2=φ3=φ4=-φ1=1。

在實(shí)際應(yīng)用中，入射點(diǎn)A1(A1X,A1Y,A1Z)較易測量的參數(shù)是A1Y和A1Z，則A1X的計(jì)算公式為：

A1X=O1X+sgn(r1)·

(4)

根據(jù)空間解析幾何[21]、折射定律與反射定律[22-23]以及式(1)～(4)推導(dǎo)可得出射光線求解公式如下：

(5)

光線在五棱鏡主截面即XOY方向的轉(zhuǎn)向角為

(6)

角度符號定義為：逆著Z軸的方向在五棱鏡主截面方向上觀察，入射光線在180°以內(nèi)轉(zhuǎn)向出射光線，順指針轉(zhuǎn)動為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動為負(fù)。

光線在垂直于五棱鏡主截面方向上的轉(zhuǎn)向角為

θZ=arcsinz5-arcsinz1

(7)

角度符號定義為：以XOY面為底，并設(shè)Z軸正方向?yàn)樯?，在垂直于五棱鏡主截面方向上觀察，入射光線在180°以內(nèi)轉(zhuǎn)向出射光線，向上轉(zhuǎn)動為正，向下轉(zhuǎn)動為負(fù)。

設(shè)五棱鏡面形誤差所造成出射光線在主截面方向上的轉(zhuǎn)向角誤差為ΔθXOY，在垂直于主截面方向上的轉(zhuǎn)向角誤差為ΔθZ，則有

(8)

3 轉(zhuǎn)向角誤差的降維分析

3.1 五棱鏡初始參數(shù)設(shè)置

3.2 五棱鏡典型應(yīng)用場景分析

五棱鏡常用來對光線進(jìn)行垂直折轉(zhuǎn)，其典型應(yīng)用場景之一便是光線以一定入射角從入射面中心區(qū)域入射。本文用入射角I和入射方向ω兩個(gè)變量來定義入射光線的單位方向向量。如圖3所示，紅色矢量是入射光線的單位方向向量，藍(lán)色矢量是其在YOZ面上的投影，兩矢量所構(gòu)成的平面與XOY面間的二面角便是ω，其符號定義為：右手握住X軸，大拇指指向X軸正向，那么四指的指向就是ω的旋轉(zhuǎn)方向。

圖3 入射向量示意Fig.3 Schematic diagram of incident vector

由式(5)～(8)可知，五棱鏡出射光線轉(zhuǎn)向角誤差受入射角I、入射方向ω和4個(gè)工作面Power的共同作用。本文以0.01°為間隔將I從0°取到5°，以1°為間隔將ω從0°取到360°，以0.001λ為間隔分別將Power1～Power4從-0.5λ取到0.5λ，共約1.8×1017個(gè)組合，每個(gè)組合分別計(jì)算ΔθXOY和ΔθZ，共約3.6×1017項(xiàng)7維數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)形式如下：

(9)

式中：Power1～Power4分別用Pr1～Pr4表示。顯然6個(gè)變量對轉(zhuǎn)向角誤差的影響不是獨(dú)立的，而是存在相互影響關(guān)系，分析該類7維數(shù)據(jù)將占用巨大的計(jì)算資源。為解決該問題，需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行降維從而去除各變量間的相互關(guān)聯(lián)。對計(jì)算數(shù)據(jù)分析后發(fā)現(xiàn)，若適當(dāng)舍棄部分計(jì)算精度，便可拆解4個(gè)面Power的關(guān)聯(lián)性，從而得到以下近似：

(10)

式中：ΔθSXOY和ΔθSZ分別為只有PS存在面形誤差而其他面為理想平面時(shí)主截面方向和垂直于主截面方向的轉(zhuǎn)向角誤差，S=1,2,3,4。式(10)的計(jì)算精度如表1所示。

表1 式(10)計(jì)算精度統(tǒng)計(jì)表

式(10)和表1表明，將五棱鏡面形誤差對出射光線轉(zhuǎn)向角誤差的綜合影響轉(zhuǎn)換為各工作面單獨(dú)對轉(zhuǎn)向角誤差的影響是完全可行的，即可將每一個(gè)7維數(shù)據(jù)的計(jì)算轉(zhuǎn)換成4個(gè)4維數(shù)據(jù)的計(jì)算。

通過對不同入射角I下ΔθSXOY和ΔθSZ的圖像進(jìn)行對比后發(fā)現(xiàn)，無論入射角I為何值，對應(yīng)的ΔθSXOY和ΔθSZ均擁有相同的形狀和相同的變化趨勢，且不同入射角I對應(yīng)的ΔθSXOY和ΔθSZ存在明顯的倍數(shù)關(guān)系，故本文合理假設(shè)：當(dāng)入射角I變?yōu)镵I，而其他參數(shù)保持不變時(shí)，ΔθSXOY和ΔθSZ近似變?yōu)镵ΔθSXOY和KΔθSZ。如I=1°和I=3°時(shí)，各工作面Power和光線入射方向ω影響下的轉(zhuǎn)向角誤差的數(shù)值變化分別如圖4和圖5所示。根據(jù)計(jì)算，當(dāng)光線從入射面中心入射時(shí)，P1的面形誤差幾乎不產(chǎn)生任何轉(zhuǎn)向角誤差，故圖4和圖5中省略了有關(guān)P1的數(shù)據(jù)。

圖4 I = 1°時(shí)轉(zhuǎn)向角誤差數(shù)值變化趨勢Fig.4 Numerical variation trend of steering angle error when I=1°

圖5 I = 3°時(shí)轉(zhuǎn)向角誤差數(shù)值變化趨勢Fig.5 Numerical variation trend of steering angle error when I=3°

通過計(jì)算可得該假設(shè)方法在I= 3°作為對比基準(zhǔn)時(shí)的計(jì)算精度如表2所示。

表2 近似方法計(jì)算精度統(tǒng)計(jì)

由表2可知該方法完全可行，即可通過舍棄部分計(jì)算精度將7維數(shù)據(jù)中入射角I的影響除去，結(jié)合式(10)便可將6個(gè)非獨(dú)立隨機(jī)變量影響下的7維數(shù)據(jù)的計(jì)算分析問題轉(zhuǎn)換為各工作面Power和光線入射方向ω影響下的3維數(shù)據(jù)的計(jì)算分析問題。

由圖4和圖5知，當(dāng)PowerS(S=1,2,3,4)分別為定值時(shí)，轉(zhuǎn)向角誤差與ω近似成正弦或余弦關(guān)系，近似計(jì)算如下：

(11)

式中：幅值A(chǔ)SXOY和ASZ分別由該P(yáng)owerS下ΔθSXOY和ΔθSZ波峰或波谷處的取值確定，且式(11)的計(jì)算精度如表3所示。

表3 式(11)計(jì)算精度統(tǒng)計(jì)

當(dāng)ω為定值時(shí)，轉(zhuǎn)向角誤差與PowerS(S=1,2,3,4)近似成線性關(guān)系，且近似計(jì)算如下：

(12)

式中：斜率KSXOY和KSZ分別由該ω下ΔθSXOY和ΔθSZ在PowerS= ±0.5λ處的取值確定，式(12)的計(jì)算精度如表4所示。

由表3和表4可知，3維數(shù)據(jù)可進(jìn)一步去除Power和ω的相互影響，從而完全去除影響出射光線轉(zhuǎn)向角誤差的6個(gè)非獨(dú)立隨機(jī)變量間的相互關(guān)聯(lián)。由式(10)～(12)以及表2中的近似方法可得ΔθXOY和ΔθZ的降維計(jì)算公式為:

表4 式(12)計(jì)算精度統(tǒng)計(jì)

(13)

式中：Power以λ為單位，I和ω均以度為單位，且降維公式的計(jì)算精度如表5所示。

表5 降維公式計(jì)算精度統(tǒng)計(jì)表

由表5可知，降維公式的計(jì)算誤差和最大相對誤差均較小，且進(jìn)一步分析可知，應(yīng)用降維公式計(jì)算ΔθXOY的最大相對誤差低于1.23%的數(shù)據(jù)占全部計(jì)算數(shù)據(jù)的99%以上。此外，由式(13)可知，只需五棱鏡各工作面的Power值配置合理，便可減小甚至消除五棱鏡面形誤差對出射光線轉(zhuǎn)向角的影響。

4 試驗(yàn)測試與結(jié)果

如圖6所示，將五棱鏡固定在高精度調(diào)整平臺上并放置在干涉儀前，干涉儀發(fā)出的632.8 nm波段的平行光束一部分經(jīng)五棱鏡入射面反射，另一部分經(jīng)五棱鏡到達(dá)經(jīng)緯儀。保持五棱鏡固定，將入射面反射像的干涉條紋調(diào)整至一個(gè)條紋以內(nèi)，用經(jīng)緯儀瞄準(zhǔn)干涉儀光軸，將此時(shí)經(jīng)緯儀的讀數(shù)清零，保持經(jīng)緯儀不動，用其瞄準(zhǔn)經(jīng)五棱鏡折轉(zhuǎn)后的光束光軸，并記錄讀數(shù)，該讀數(shù)為干涉儀正入射時(shí)的轉(zhuǎn)角，可通過該值計(jì)算五棱鏡角度制造誤差的影響。轉(zhuǎn)動高精度調(diào)整平臺，即可測試平行光束的光軸變化。此外，在五棱鏡入射面前放置一個(gè)可移動并且可以調(diào)節(jié)口徑大小的小孔光闌，從而確保平行光束從入射面中心入射。對入射光線的每一種入射角I和光線入射方向ω下的五棱鏡均重復(fù)進(jìn)行100次測試，對測試數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)修正以去除五棱鏡角度制造誤差的影響，并取平均值作為最終測試結(jié)果。

圖6 試驗(yàn)裝置Fig.6 Experimental devices

將降維公式的計(jì)算結(jié)果與最終測試結(jié)果的偏差絕對值整理成表6和表7，由于0～180°與180°～360°之間的數(shù)據(jù)存在對稱相似現(xiàn)象，故表中省略了180°～360°的數(shù)據(jù)，且表中第一列為入射方向ω的數(shù)據(jù)，表中第一行為入射角I的數(shù)據(jù)，表中其余部分為相應(yīng)轉(zhuǎn)向角誤差ΔθXOY和ΔθZ的偏差絕對值數(shù)據(jù)。

將表6和表7的試驗(yàn)結(jié)果與降維計(jì)算公式的計(jì)算結(jié)果對比后發(fā)現(xiàn)：主截面方向和垂直于主截面方向上轉(zhuǎn)向角誤差的試驗(yàn)測試平均值與降維公式計(jì)算值的偏差分別在±0.25″和±0.15″以內(nèi)，這是完全可以接受的。

表6 降維公式計(jì)算結(jié)果與主截面方向測試結(jié)果偏差

表7 降維公式計(jì)算結(jié)果與垂直于主截面方向測試結(jié)果偏差

5 結(jié)論

針對五棱鏡面形誤差造成出射光線轉(zhuǎn)向角誤差的問題，本文通過適當(dāng)簡化模型，將影響出射光線轉(zhuǎn)向角誤差的因素限定在了6個(gè)非獨(dú)立隨機(jī)變量的共同作用上，并通過降維分析去除了6個(gè)變量間的相互關(guān)聯(lián)，推導(dǎo)出了降維后的出射光線轉(zhuǎn)向角誤差計(jì)算公式，并得出以下結(jié)論：

1)保證光線從入射面中心區(qū)域入射可消除五棱鏡入射面面形誤差對出射光線轉(zhuǎn)向角的影響。

2)光線入射角越大，面形誤差造成的出射光線轉(zhuǎn)向角誤差越大，故光線垂直于入射面入射可降低五棱鏡面形誤差對出射光線轉(zhuǎn)向角的影響。

3)五棱鏡精度越高，面形誤差造成的轉(zhuǎn)向角誤差越小，但成本也越高。由降維公式分析可知，對主截面方向轉(zhuǎn)向角精度要求較高的情況，只需選用0.881 8·Pr2+1.611 5·Pr3+0.423 2·Pr4最小的五棱鏡便可減小面形誤差的影響，從而用低精度五棱鏡實(shí)現(xiàn)高精度五棱鏡的效果；對垂直于主截面方向轉(zhuǎn)向角精度要求較高的情況，只需選用0.748 8·Pr2+1.369 2·Pr3+0.423 2·Pr4最小的五棱鏡便可減小面形誤差的影響，從而用低精度五棱鏡實(shí)現(xiàn)高精度五棱鏡的效果。