擺玉龍，潘星宇，段濟(jì)開，楊 陽(yáng)

(西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

1 引言

1971年，美籍華人蔡少棠教授根據(jù)電路理論的完備性，提出了電路中應(yīng)該存在一種無(wú)源器件，它能反映磁通量與電荷之間的關(guān)系，并稱這種元件為憶阻器(Memristor)[1]，但是，憶阻器在當(dāng)時(shí)并沒有引起人們的重視。直到2008年，HP公司采用納米技術(shù)成功研制了世界上首個(gè)憶阻器[2]。它的研制成功引起了社會(huì)的廣泛關(guān)注，引發(fā)了憶阻器的研究熱潮。憶阻器本質(zhì)上是一個(gè)具有記憶功能的非線性電阻，文獻(xiàn)[3]利用電壓控制浮地阻抗電路和電流積分器設(shè)計(jì)了一種憶阻器模擬器，通過(guò)PSpice仿真發(fā)現(xiàn)它可以很好地反映憶阻器的非線性特性；文獻(xiàn)[4]詳細(xì)地研究了HP公司的憶阻器模型，并對(duì)P型和N型憶阻器的串并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了詳細(xì)的分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)2個(gè)參數(shù)對(duì)偶的憶阻器串聯(lián)時(shí)呈現(xiàn)線性特性，但仍保持記憶特性。正是由于憶阻器具有非線性和記憶2個(gè)特性，使得憶阻器在阻變存儲(chǔ)器[5,6]、現(xiàn)場(chǎng)可編程邏輯門陣列[7]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[8 - 10]、混沌系統(tǒng)[11 - 14]、圖像處理[15,16]和語(yǔ)音處理[17]等領(lǐng)域中發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用。

近些年來(lái)，混沌系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)正在穩(wěn)步快速發(fā)展，除了經(jīng)典的Lorenz系統(tǒng)[18]、Chen系統(tǒng)[19,20]和Chua系統(tǒng)[21]等外，一些新的混沌系統(tǒng)[22,23]也相繼被提出。這些系統(tǒng)一般都是通過(guò)增加或者改變系統(tǒng)的乘積項(xiàng)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，但是在通信加密領(lǐng)域，動(dòng)力學(xué)行為越復(fù)雜的混沌系統(tǒng)加密性能越好，抗破譯能力越高。為了滿足這方面的需求，研究者們采用經(jīng)典的反饋控制法來(lái)設(shè)計(jì)更復(fù)雜的混沌系統(tǒng)。常用的反饋方式有線性反饋和非線性反饋，其中非線性反饋的復(fù)雜程度強(qiáng)于線性反饋。然而，傳統(tǒng)的非線性反饋都采用的是四象限乘法器和運(yùn)算放大器等元件與電阻、電容和電感配合實(shí)現(xiàn)，該方法設(shè)計(jì)的電路比較復(fù)雜，實(shí)現(xiàn)較困難。而憶阻器本身就是一種無(wú)源的非線性元件，這使得混沌系統(tǒng)的設(shè)計(jì)難度大大降低，再加上它對(duì)流過(guò)的電流具有記憶功能，這也是常規(guī)元件所不具備的性能。

由于憶阻器的實(shí)際物理模型還難以實(shí)現(xiàn)，對(duì)它的研究主要是在理論模型上，一般來(lái)說(shuō)，其模型主要有2類：一種是三次光滑模型，另一種是分段線性模型。文獻(xiàn)[15]提出了一種基于雙曲正弦函數(shù)的憶阻器模型，分析了電壓與流經(jīng)其2端電流的關(guān)系特性，發(fā)現(xiàn)該模型具有憶阻特性。本文利用該模型，采用正反饋設(shè)計(jì)了一個(gè)四維的具有4個(gè)翅膀的憶阻混沌系統(tǒng)，通過(guò)數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)繪制了系統(tǒng)各個(gè)平面的相圖、Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖等，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)力學(xué)特性做了詳細(xì)的分析，最后利用FPGA與數(shù)模轉(zhuǎn)換器(DAC)設(shè)計(jì)了電路，利用數(shù)字示波器觀察其結(jié)果與數(shù)值結(jié)果基本一致。

2 雙曲正弦憶阻模型

本文采用的憶阻器模型為文獻(xiàn)[15]提出的雙曲正弦函數(shù)磁控憶阻器，如式(1)所示:

(1)

其中，φ為磁通量，q(φ)為電荷，W(φ)為憶導(dǎo)。對(duì)該模型施加了一個(gè)正弦電壓作為激勵(lì)，利用四階龍格庫(kù)塔算法求解該模型得到其伏安特性曲線，如圖1所示，發(fā)現(xiàn)該模型所得到的電壓與電流關(guān)系為一條斜“8”字形類緊磁滯回線，其結(jié)果與文獻(xiàn)[2，15]中描述的電壓電流關(guān)系基本一致。

Figure 1 V-A relationship of memristor圖1 憶阻器V-A關(guān)系

3 四翼憶阻混沌模型

本文提出的憶阻混沌系統(tǒng)是在一個(gè)三維混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上通過(guò)添加一個(gè)憶阻器作為正反饋?lái)?xiàng)來(lái)實(shí)現(xiàn)，具體模型如式(2)所示:

(2)

其中x,y,z和u為系統(tǒng)的狀態(tài)變量;W(φ)=cosh(ηu);α,β,γ,σ和η為系統(tǒng)參數(shù)。選取系統(tǒng)的初始條件為x0= 0.1,y0= 0,z0= 0.1,u0= 0，仿真步長(zhǎng)為0.001，采用四階龍格庫(kù)塔算法對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)α=10，β=28，γ=20，η=0.2時(shí)，系統(tǒng)存在一個(gè)吸引子，該吸引子在x-y,x-z,y-z和z-u平面的投影如圖2所示。

Figure 2 Chaotic attractor圖2 混沌吸引子

當(dāng)初始值發(fā)生微小的改變時(shí)，仿真之后發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象消失，不存在混沌吸引子。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)等特征也隨之變化，這就是混沌系統(tǒng)對(duì)于初始值和初始條件的高度敏感性。為了研究系統(tǒng)的特征，本文將對(duì)該系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析。

3.1 系統(tǒng)特性分析

(1)耗散性。

系統(tǒng)的散度如式(3)所示:

(3)

當(dāng)α=11，γ=20時(shí)，▽V= -30<0，因此該系統(tǒng)為耗散系統(tǒng)，即系統(tǒng)整體是穩(wěn)定的且相體積會(huì)以一定的速率收縮，最終達(dá)到平衡態(tài)。

(2)平衡點(diǎn)與穩(wěn)定性。

(4)

則平衡點(diǎn)集A的特征方程如式(5)所示:

λ[λ3+(α+γ-σ)λ2+

(αγ-σ(α+γ))λ-αγσ]=0

(5)

由式(5)得到系統(tǒng)有一個(gè)特征值λ1=0，還有3個(gè)非0特征值分別為：λ2=1，λ3=-11，λ4=-20，相應(yīng)的特征向量為e1=[0,0,0,1],e2=[0,1,0,0],e3=[1,0,0,0],e4=[0,0,1,0]。根據(jù)特征值與特征向量，系統(tǒng)在x方向上不穩(wěn)定，在y方向和z方向上穩(wěn)定，在z-u方向上系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，平衡點(diǎn)E為鞍點(diǎn)。也就是說(shuō)系統(tǒng)相軌跡在x方向發(fā)散，y和z方向收斂的共同作用下，出現(xiàn)了如圖2所示的混沌吸引子。

3.2 動(dòng)力學(xué)特性分析

為了進(jìn)一步研究系統(tǒng)復(fù)雜的行為，對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。

(1)Lyapunov指數(shù)。

混沌對(duì)初值具有高度敏感性，為了反映其對(duì)初值的敏感程度，采用Lyapunov指數(shù)來(lái)描述它。Lyapunov指數(shù)反映了動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)相空間中軌跡的整體行為，也就是說(shuō)只要系統(tǒng)存在一個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，系統(tǒng)中任何相鄰的2條軌道必然會(huì)以指數(shù)速率分離而進(jìn)入混沌狀態(tài)，因此，通過(guò)計(jì)算該指數(shù)可以判斷系統(tǒng)是否為混沌系統(tǒng)，其定義如式(6)所示:

(6)

其中,δxi(0)為t=0時(shí)相鄰2條軌道的差，LEi表示第i個(gè)坐標(biāo)方向的Lyapunov指數(shù)。保持系統(tǒng)參數(shù)不變，利用Wolf方法[16]計(jì)算系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)為L(zhǎng)E1=0.4384,LE2=0.0364,LE3=0.0299,LE4=-30.4449。發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在正的Lyapunov指數(shù)，表明系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，且LEall=-30<0,說(shuō)明該系統(tǒng)的相體積整體上是收斂的，這與前面提到的系統(tǒng)散度的結(jié)論一致，即系統(tǒng)整體穩(wěn)定。固定其他參數(shù)不變，選取σ∈(0,13),步長(zhǎng)為0.013，時(shí)間步長(zhǎng)為0.5 s,時(shí)間為100 s,初始值設(shè)為(0.1,0,0.1,0)時(shí)，Lyapunov指數(shù)譜和z平面的分岔圖分別如圖3和圖4所示。

Figure 3 Lyapunov vs. parameter σ圖3 參數(shù)σ變化時(shí)的Lyapunov指數(shù)

Figure 4 Bifurcation diagram of parameter σ vs. variable z圖4 z變量隨參數(shù)σ變化的分岔圖

對(duì)比發(fā)現(xiàn)，Lyapunov指數(shù)圖與分岔圖基本保持一致。當(dāng)σ=0時(shí)，最大Lyapunov指數(shù)為負(fù)，此時(shí)系統(tǒng)做周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)σ∈(0,7.748)時(shí)，系統(tǒng)由周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，在此區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)均為正；當(dāng)σ∈(7.748,13)時(shí)，2個(gè)Lyapunov指數(shù)等于0，2個(gè)Lyapunov指數(shù)小于0，系統(tǒng)進(jìn)入擬周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即出現(xiàn)極限環(huán)。分別取σ為0,7,9,12時(shí)，系統(tǒng)在y-z平面的投影如圖5所示。

Figure 5 y-z plan phase spectrum of parameter σ圖5 參數(shù)σ變化時(shí)y-z平面相圖

可以看到，當(dāng)σ取0時(shí)，系統(tǒng)為周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)σ取7時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)；當(dāng)σ取9和12時(shí)，系統(tǒng)由混沌退化到極限環(huán)，其結(jié)果與Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖的結(jié)果一致。

4 FPGA實(shí)現(xiàn)

本文設(shè)計(jì)的混沌系統(tǒng)基本原理如圖6所示，利用FPGA定制一個(gè)32位的軟核CPU NIOS II,通過(guò)Avalon總線與片上外設(shè)的IP核進(jìn)行數(shù)據(jù)交換；DAC的IP核驅(qū)動(dòng)DAC輸出混沌信號(hào)；ROM IP驅(qū)動(dòng)Flash芯片保存程序代碼；RAM IP驅(qū)動(dòng)外部的SDRAM保存運(yùn)算過(guò)程中的臨時(shí)數(shù)據(jù)；PLL IP將外部晶振提供的50 MHz時(shí)鐘倍頻為2路相位相差-75度的100 MHz時(shí)鐘，一路作為CPU時(shí)鐘送至NIOS II,另一路作為存儲(chǔ)器時(shí)鐘送至外部SDRAM；JTAG IP用來(lái)下載和調(diào)試程序。選用的FPGA為Altera公司的Cyclone IV EP4CE6F- 17C8N芯片，DAC選用德州儀器的程控12位雙通道TLC5618A,開發(fā)環(huán)境為英特爾的Quartus Prime 18.0，軟核與片上IP采用Platform Designer開發(fā)，其中NIOS II CPU類型設(shè)置為Float型，其內(nèi)部集成了硬件乘法器，有利于提高運(yùn)算速度。

Figure 6 Schematic of FPGA chaotic system圖6 FPGA混沌系統(tǒng)原理圖

考慮到龍格庫(kù)塔算法會(huì)占用FPGA大量的邏輯資源，因此選用歐拉算法來(lái)減小運(yùn)算量，對(duì)系統(tǒng)式(2)進(jìn)行離散化得到式(7)：

(7)

其中,h=0.001為步長(zhǎng)。將式(7)轉(zhuǎn)化為C代碼，經(jīng)過(guò)編譯、綜合、分配引腳后，下載至FPGA，最后通過(guò)數(shù)字示波器得到系統(tǒng)的時(shí)域波形圖和x-z平面的相圖分別如圖7和圖8所示?？梢钥吹皆摻Y(jié)果與數(shù)值結(jié)果基本一致。

Figure 7 Time domain wave form on the oscilloscope圖7 示波器時(shí)域波形圖

Figure 8 x-z plane phase diagram on the oscilloscope圖8 示波器x-z平面相圖

5 結(jié)束語(yǔ)

本文基于雙曲正弦函數(shù)的憶阻器模型作為正反饋設(shè)計(jì)了一種新的憶阻混沌系統(tǒng)。通過(guò)數(shù)值仿真發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)出現(xiàn)4個(gè)翅膀的混沌吸引子，接著對(duì)系統(tǒng)的耗散性、平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)為耗散系統(tǒng)且只有一個(gè)平衡點(diǎn)，且該點(diǎn)為鞍點(diǎn)，由于系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處不穩(wěn)定而出現(xiàn)了混沌吸引子，為此對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)特性分析，研究了系統(tǒng)隨著參數(shù)變化時(shí)其運(yùn)動(dòng)形態(tài)的變化情況。最后，利用FPGA設(shè)計(jì)了混沌電路系統(tǒng)，驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)其結(jié)果與數(shù)值結(jié)果基本一致。