毛安民

(曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,273165,山東省曲阜市)

0 引 言

在我國的高等教育課程體系中，數(shù)學(xué)專業(yè)課程《數(shù)學(xué)分析》是一門非常重要的專業(yè)基礎(chǔ)課和入門課程; 對連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的教學(xué)研究一直是個很重要的研究課題，究其原因在于該類課題研究涉及到《數(shù)學(xué)分析》最基本、最核心的知識點，而且此類研究往往會激發(fā)很多富有智慧的數(shù)學(xué)思想，極具啟迪意義.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的有界性定理，就是連續(xù)函數(shù)的非常重要的一條性質(zhì)，該性質(zhì)的證明涉及到函數(shù)連續(xù)性、函數(shù)極限、歸結(jié)原則和反證法等若干重要知識點和證明技巧的運用，故對該性質(zhì)的證明思路和技巧的掌握，是非常重要的教學(xué)目標.

我們列舉兩個不同的連續(xù)函數(shù)有界性定理的證明，證明分別來自于華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院編著的數(shù)學(xué)分析教材[1]、北京大學(xué)數(shù)學(xué)系伍勝健教授編著的數(shù)學(xué)分析教材[2]，后者給出的證明與復(fù)旦大學(xué)陳紀修等編著的數(shù)學(xué)分析教材[3]給出的證明如出一轍.上述3種不同的數(shù)學(xué)分析教材是目前國內(nèi)諸多高校廣為采用的教材，極具代表性.

定理1[1]設(shè)函數(shù)f∈C[a,b].則f在[a,b]上有界.

證明若不然，不妨假設(shè)f在[a,b]上無上界.那么存在xn∈[a,b],使得

f(xn)>n,n=1,2,3,…,

a≤xnk≤b,

利用極限的保不等式性質(zhì)推得

a≤x0≤b,

故由f在點x0連續(xù)，結(jié)合歸結(jié)原則導(dǎo)出

矛盾，故原結(jié)論成立.

上述證明所用方法為反證法，結(jié)合致密性定理、數(shù)列極限保不等式性及歸結(jié)原則等重要知識點完成了證明.下面給出有界性定理的另一種證明，該證明來自北京大學(xué)數(shù)學(xué)系伍勝健編著的數(shù)學(xué)分析教材[2].

定理2[2]設(shè)函數(shù)f∈C[a,b].則f在[a,b]上有界.

證明倘若f在[a,b]上無界，則將[a,b]等分成兩個區(qū)間，f必在其中一個區(qū)間上無界，取定這樣的一個區(qū)間并將其設(shè)為[a1,b1].同理，再將[a1,b1]二等分，f必在其中一個子區(qū)間上無界，取定這樣的一個區(qū)間將其記為[a2,b2].如此進行下去，我們得到一個閉區(qū)間列{[an,bn]}，滿足

(1)[an,bn]?[an+1,bn+1];

(3)f在每一個[an,bn]上都無界.

于是，由閉區(qū)間套定理知，存在唯一的ξ∈[an,bn],n=1,2,3,….再由f∈C[a,b]和ξ∈[a,b]知，存在δ>0使得f在U(ξ,δ)∩[a,b]有界.而條件(2)又蘊含著，當n充分大時，有[an,bn]?U(ξ,δ)，從而f在[an,bn] 上有界.這與條件(3)矛盾，故原結(jié)論成立.

復(fù)旦大學(xué)陳紀修等人編著的數(shù)學(xué)分析教材[3]中對有界性定理的證明和上述證明如出一轍，也是反證法，核心思想是利用閉區(qū)間套定理獲得矛盾.

受以上工作的啟發(fā)，本文我們將給出一個新的證明思路，該證明思路的核心是確界原理的應(yīng)用，當然也涉及到確界的一些重要性質(zhì)的運用.作為進一步的研究，我們將此新的證明思路應(yīng)用于研究連續(xù)函數(shù)的其他性質(zhì)，諸如相鄰的兩個最值點區(qū)間的確定、連續(xù)函數(shù)介值定理.

1 研究成果及應(yīng)用舉例

下面給出本文的研究成果，一個完全不同于上述教材的有界性定理的證明.

定理3 設(shè)函數(shù)f∈C[a,b].則f在[a,b]上有界.

證明由于f∈C[a,b]，故根據(jù)函數(shù)在一點處連續(xù)的局部有界性性質(zhì)知，存在δ>0使得f在[a,a+δ]?[a,b)上有界.令

E={x∈[a,b]|f在區(qū)間[a,x]上有界},

知a+δ∈E,故E≠?.由確界原理知集合E有上確界,設(shè)supE=β,則a<β≤b.下證β∈E.由于f在β點連續(xù)，故存在δ′>0使得f在[β-δ′,β]有界.存在γ∈[β-δ′,β]使得f(x)在[a,γ]上有界，從而f(x)在[a,β]上有界，故β∈E.

下證β=b.若不然，假設(shè)β0,滿足對任意x∈[a,β],|f(x)|≤M.又由f在β點連續(xù)性知，存在δ′>0,使得f在[β,β+δ′]?[a,b]上有界.至此，知f在[a,β+δ′]?[a,b]上有界,故β+δ′≤supE=β,矛盾.故原結(jié)論成立.

從局部出發(fā)漸變到整體,將局部性質(zhì)推演為整體性質(zhì),是上述證明的出發(fā)點和入手點.利用這一思想，我們下面研究連續(xù)函數(shù)的相鄰的兩個最值點構(gòu)成的區(qū)間問題和連續(xù)函數(shù)的介值定理的證明.

例1 設(shè)函數(shù)f∈C[a,b]，m,M分別是f的最小值和最大值.則存在α,β∈,滿足

(1)[α,β]?[a,b];

(2)α,β或是最大值點和最小值點,或是最小值點和最大值點;

(3)任意x∈(α,β),m

證明由f∈C[a,b]知,f存在最大值M和最小值m,及最大值點x1和最小值點x2,f(x1)=M,f(x2)=m.不妨設(shè)x1

E1={x∈[a,b]|f(x)=m,x1

知x2∈E1,E1?[a,b].故E1是非空有界集合.由確界原理知,E1有下確界,令β=infE1,從而存在數(shù)列{xn′}?E1，xn′→β,n→∞.由f的連續(xù)性和歸結(jié)原理得

f(xn′)→f(β),n→∞,

又{xn′}?E1,得f(xn′)=m， 故f(β)=m.根據(jù)x1≤β≤x2和f(x1)=M,知x1<β,而且(x1,β) 里面再無其他最小值點.

下面尋找β左邊的相距最近的最大值點α.令

E2={x∈[a,b]|f(x)=M,x<β},

知x1∈E2,E2?[a,b].故E2是非空有界集合.由確界原理知,E2有上確界,令α=supE2,從而存在數(shù)列{xn″}?E2，xn″→α,n→∞.由f的連續(xù)性和歸結(jié)原理得

f(xn″)→f(α),n→∞,

又{xn″}?E2,得f(xn″)=M， 故f(α)=M.根據(jù)x1≤α≤β和f(β)=m,知α<β,而且(α,β) 里面再無其他最大值點.又 由(α,β)?(x1,β),可知(α,β)里面也無最小值點.

綜上可知，(α,β)里面沒有最大值點和最小值點，故即為所求.

采用同樣的思想，下面來證明連續(xù)函數(shù)的介值定理.

例2 設(shè)函數(shù)f∈C[a,b],f(a)≠f(b).若μ為介于f(a),f(b)之間的任何實數(shù)(f(a)<μμ>f(b)),則至少存在一個x0∈(a,b),使得f(x0)=μ.

證明依題意，不妨設(shè)f(a)

下面證明x0即為所求的點.首先，根據(jù)supE=x0知，存在數(shù)列{xn}?E,使得xn→x0(n→∞).根據(jù)函數(shù)f的連續(xù)性，得f(xn)→f(x0)(n→∞).由f(xn)<μ,利用數(shù)列極限的保不等式性質(zhì)知，f(x0)≤μ.其次，接下來用反證法證明f(x0)=μ.假設(shè)f(x0)<μ, 則由函數(shù)極限的保號性性質(zhì)知，存在x′∈(x0,b),f(x′)<μ,則x′∈E且x′≤supE=x0，矛盾！ 故反證假設(shè)不成立，知f(x0)=μ.