朱國成

(廣東創(chuàng)新科技職業(yè)學院通識教育學院，523960，廣東省東莞市)

0 引 言

生產實踐中,由于資源的有限性及人們認知周圍環(huán)境思維的局限性,在面對眾多選擇結果時往往猶豫不決,怎樣科學合理的選出最優(yōu)方案是擺在人們面前必須解決的難題.決策理論對于解決此類問題大有裨益,理論分為經典決策理論與不確定信息環(huán)境下決策理論.由于傳統(tǒng)的精確數(shù)值很難完整刻畫決策對象的特征信息,人們經常用不確定信息來描述事物性質,例如區(qū)間數(shù)據(jù)[1,2]、三角模糊信息[3]、梯形模糊信息[4]、直覺模糊信息[5]及語言信息[6]等.因為模糊信息數(shù)據(jù)蘊含更加豐富的信息量,在表征事物性質方面具有明顯優(yōu)勢,很快引起了學者關注,模糊信息理論的發(fā)展源頭則始于1965年Zadeh L A[7]提出的模糊集(Fuzzy Sets,FS)理論.隨著FS的大范圍應用,其只考慮隸屬度這一單一因素的缺點開始顯現(xiàn),為了彌補FS只有單一隸屬的不足,Atanassov k等[8,9]定義了直覺模糊集(Intuitionistic Fuzzy Set,IFS)概念,IFS充分考慮了隸屬度、非隸屬度及猶豫度,相較于FS，IFS擁有更加強大的信息儲存能力,在具體應用上能更好服務于生活.例如,梁美社等[10]從相似度的角度出發(fā),給出一種新的直覺模糊相似度計算方法并研究了方法性質,最后將該理論用在模式識別中;石乙英等[11]為了解決IFS中蘊含算子構造方法缺乏理論依據(jù)問題,利用重截集與表現(xiàn)定理構造模糊蘊含關系也即直覺模糊蘊含算子,詳細討論了算子性質,算子豐富了IFS理論;連強[12]為了拓寬直覺模糊環(huán)境下群決策問題中屬性間相互作用的集成算子使用范圍,在Hamy平均基礎上,將另一種HGA平均算子推廣到多屬性信息集成中,文中實例驗證了方法的可行性.由于IFS中的隸屬度為單一量,不能表現(xiàn)決策者猶豫心理,在具體應用中隨著解決多屬性群決策(Multi-Attribute Group Decision Making,MAGDM )問題水平的更高要求,該理論在使用時漸漸“力不從心”.鑒于此,Torra[13]提出猶豫模糊集(Hesitant Fuzzy Sets,HFS)概念:可以使用多個隸屬度來表達決策者的猶豫思想,能夠更加全面照顧決策者的判斷標準.生產實踐中,楊延璞[14]通過引入猶豫模糊語言術語集與粒子群優(yōu)化算法解決了產品設計評價問題;劉文等[15]在研究猶豫模糊粗糙算子方面向前邁進了一大步,具體做法是利用猶豫模糊拓撲空間與猶豫模糊粗糙近似空間之間關系,完美揭示了猶豫模糊粗糙近似算子的更深層次的本質特征;曲國華等[16]將對偶猶豫模糊(DHFS)結合Heronian平均算子,得到一種新的對偶猶豫模糊幾何DHFG-Heronian平均算子和對偶猶豫模糊幾何加權DHFGW-Heronian平均算子,通過比較系統(tǒng)分析了2種算子的性質并將DHFGW-Heronian平均算子應用到多屬性決策當中,取得了較好決策效果;文獻[17]在HFS的基礎上定義了一種新模糊集合:區(qū)間值q階猶豫模糊集(IV-q-ROHFS),建立了一類IV-q-ROHFS-Frank集成算子模型并詳細分析了其性質,最后將該算子用在解決投資公司的優(yōu)選問題中.HFS雖完美解決了決策者猶豫隸屬關系,但是卻忽略了各隸屬度發(fā)生的可能情況,不能體現(xiàn)決策群體的整體決策偏好,為了解決此類問題,朱斌[18]在其博士論文中將決策群體中對于某個隸屬度的認可決策者數(shù)量與總體決策者占比作為該隸屬度發(fā)生的可能性,并將添加可能性后的HFS命名為概率猶豫模糊集(Probabilistic Hesitant Fuzzy Sets,PHFS).概念引起了學者注意后不久,其理論與應用范圍既得到了極大豐富與拓展,例如,曹倩等[19]研究了PHFS中概率信息未知情況下的PHFS多屬性決策問題;李寶萍等[20]構建一種基于概率猶豫模糊Maclaurin對稱平均算子的決策算法,算法可使決策者根據(jù)決策風險偏好選擇自己信任的參數(shù)值進行決策;付超等[21]定義了PHFS基本運算法則并討論了運算法則的相關性質.類似于HFS,PHFS在應用中也顯現(xiàn)出局限性,首先,概率猶豫模糊元(Probabilistic Hesitant Fuzzy Elements,PHFE)中隨著隸屬度數(shù)量的增加其對應的概率在集結時快速衰減的速率尤其明顯;其次,PHFE中隸屬度對應的概率求解默認各位決策者重要性程度一致,顯然現(xiàn)實決策問題中對于評價專家的偏好時有發(fā)生,在PHFS環(huán)境下的多屬性群決策問題中怎樣解決以上2種不足顯得很有必要,本文從概率語言評價術語(Probabilistic Linguistic Terms Sets,PLTS)的角度出發(fā),對解決以上2個問題進行了有益嘗試.

文章按照文獻[21]中方法確定語言評價術語(Linguistic Terms Sets,LTS)的相關概率,將決策專家給予屬性的LTS信息轉換為PLTS信息,屬性的PLTS信息中考慮決策專家權重,構造考慮決策專家權重的PLTS模型P(W)LTS,把屬性的P(W)LTS信息轉化為概率區(qū)間值猶豫模糊元(Probabilistic Interval-Valued Hesitant Fuzzy Elements,PIVHFE),將PLTS情境下MAGDM問題映射為概率區(qū)間值猶豫模糊集(Probabilistic Interval-Valued Hesitant Fuzzy Sets,PIVHFS )的MAGDM問題.為了防止方案屬性進行集結時損失決策信息及避免概率運算衰減問題,利用區(qū)間數(shù)(Interval Numbers,IN)的積型貼近度公式對各方案屬性值兩兩測度,通過統(tǒng)計各方案屬性優(yōu)勝個數(shù)鑒定方案優(yōu)劣.方法為PLTS環(huán)境下的MAGDM問題的解決提供了一種新的思路,文中案例驗證了思路的可行性.

1 基礎知識

本節(jié)描述PHFS定義、PIVHFS定義、PIVHFE定義及其得分函數(shù)、IN定義、基本運算法則及IN的積型貼近度公式、LTS、PLTS定義.

定義3 為了最大化保留有限集PIVHFE信息,其基本得分函數(shù)用區(qū)間數(shù)表示,具體計算定義如下式

(1)

定義6 語言評價術語采用九段制,為了突出較差與較好程度的模糊性,在轉換成區(qū)間數(shù)時加大區(qū)分力度,具體對應轉換分數(shù)如表1.

表1 語言評價術語轉換表

定義7[24]在MAGDM問題中,A為決策專家集,X為評價方案集,C為屬性集,一個語言術語集S={sα|α=0,1,…,τ},方案x∈X關于屬性c∈C的一個PLTS定義為

(2)

其中L(k)(p(k))為方案x∈X關于屬性c∈C的語言術語L(k)及對應的概率p(k),#L(P)為L(P)中概率語言術語個數(shù).

定義8 在定義7基礎上,考慮決策專家權重的PLTS用P(W)LTS表示,定義為

2 屬性權重確定路徑與方法

定義11 根據(jù)定義7,將第n′個方案的第m′個屬性評價信息的集合記為PLTS,形式為

(3)

定義12 根據(jù)定義8,考慮決策專家權重,將第n′個方案的第m′個屬性評價信息的集合PLTS記為P(W)LTS

定義13 根據(jù)定義6,將P(W)LTS中的ql′,n′,m′進行置換,置換以后考慮決策專家權重的PIVHFS用P(W)IVHFS表示,

ql′,n′,m′∈L,l′∈{1,2,…,l},0≤Pqn′,m′≤1,0≤ωql′,n′,m′≤1}.

(5)

定義14 考慮決策專家權重的概率區(qū)間值猶豫模糊元用P(W)IVHFE表示,定義為

(6)

定義15 根據(jù)定義3,第n′個方案的第m′個屬性的P(W)IVHFE得分函數(shù)計算方法為

(7)

由于公式(7)中表達P(W)IVHFE得分函數(shù)符號較復雜,可寫為

(8)

定義16 根據(jù)定義9,各屬性的理想屬性值確定方法

(9)

按照本文定義確定屬性權重步驟如下:

步驟1 將評價專家以LTS形式給出的評分表,按照定義11～定義14將其轉換為對應的由P(W)-IVHFN構成的評分表;

3 多屬性群決策步驟建構

在MAGDM問題中,假設方案集A={a1,a2,…,an},屬性集C={c1,c2,…,cm},評價專家集R={r1,r2,…,rl},屬性權重ωcm′(m′=1,2,…,m)未知,評價專家權重ωrl′(l′=1,2,…,l)已知,第l′位專家給第n′個方案的第m′個屬性評價值用語言評價術語ql′,n′,m′表示.決策中的屬性皆默認為效益型.

第1步 計算屬性權重ωcm′(m′=1,2,…,m);

第2步 利用定義11～定義14將決策問題中語言評價術語ql′,n′,m′置換為P(W)IVHFN并匯總屬性P(W)IVHFE;

①當T+(an′,an″)>T-(an′,an″)時,說明方案an′優(yōu)于方案an″.

②當T+(an′,an″)

③當T+(an′,an″)=T-(an′,an″)時,說明方案an′與方案an″等同.

第7步 決策結果比較及說明.

4 應用舉例

現(xiàn)實生活中“男大未婚,女大不嫁”已經成為困擾很多父母的家庭問題,對于還沒“上岸”的大齡男女儼然成為父母及親戚共同“研究”對象,隨著社會經濟的發(fā)展及擇偶條件的理性選擇,男女雙方更看重對方綜合條件.以某父母擇婿為例,女兒為某相親公司會員,根據(jù)女兒選擇另一半的要求,公司給該家庭提供了3個滿足要求男士資料供選擇并排序,家庭成員對3位男士從8個方面進行考察:財產、工作、家庭出身、健康、學歷、才能、相貌、興趣等,用符號cm(m=1,2,…,8)表示,家庭4位成員依次為:女兒、母親、父親及弟弟，用符號分別刻畫為rl(l=1,2,3,4),各位家庭成員參與對3位男士評價,權重為ωr1=0.6,ωr2=0.25,ωr3=0.10,ωr4=0.05,3位男士用符號an(n=1,2,3)代替,討論結果以語言評價術語形式給出,如表2,利用本文知識對3位男士進行量化分析并排序.

表2 家庭成員討論評價表

學 歷才 能相 貌興 趣a1{AG|(r1,r2,r3,r4)}{VG|(r2,r3,r4)}{AG|r1}{G|(r2,r3,r4)}{F|r1}{MP|(r1,r4)}{MG|(r2,r3)}a2{MP|(r2,r3,r4)}{F|r1}{F|(r2,r3,r4)}{MG|r1}{VG|(r2,r3,r4)}{G|r1}{F|r3}{MP|(r1,r2,r4)}a3{VG|(r2,r3,r4)}{G|r1}{MG|(r3,r4)}{F|(r1,r2)}{VG|(r1,r2)}{G|(r3,r4)}{F|(r2,r3,r4)}{MG|r1}

4.1 屬性權重計算

本節(jié)主要討論屬性權重計算步驟及方法.

(1)利用定義11～定義14將家庭成員討論表(表2)轉換為P(W)IVHFN評價表,如表3所示.

表3 P(W)IVHFN評價表

c5c6c7c8a1[0.9,1.0](11,1.0){}[0.8,0.9](34,0.4){}[0.9,1.0](14,0.6){}[0.7,0.8](34,0.4){}[0.45,0.55](14,0.6){}[0.3,0.45](12,0.65){}[0.55,0.7](12,0.35){}a2[0.3,0.45](34,0.4){}[0.45,0.55](14,0.6){}[0.45,0.55](34,0.4){}[0.55,0.7](14,0.6){}[0.8,0.9](34,0.4){}[0.7,0.8](14,0.6){}[0.45,0.55](14,0.1){}[0.3,0.45](34,0.9){}a3[0.8,0.9](34,0.4){}[0.7,0.8](14,0.6){}[0.55,0.7](12,0.15){}[0.45,0.55](12,0.85){}[0.8,0.9](12,0.85){}[0.7,0.8](12,0.15){}[0.45,0.55](34,0.4){}[0.55,0.7](14,0.6){}

4.2 決策過程

在4.1節(jié)權重計算基礎上,說明決策步驟及方法.

表4 考慮決策者重要性程度的屬性值的積型貼近度測度表

4.3 決策結果比較

本節(jié)與4.1節(jié)中的權重計算結果、4.2節(jié)中的決策結果做系統(tǒng)比較.

(1)若不考慮概率對應下的決策者重要性程度,則表2利用定義6將家庭成員討論表轉換為由PIVHFN構成的評價表,如表5所示.

表5 PIVHFN評價表

c5c6c7c8a1[0.9,1.0](11){}[0.8,0.9](34){}[0.9,1.0](14){}[0.7,0.8](34){}[0.45,0.55](14){}[0.3,0.45](12){}[0.55,0.7](12){}a2[0.3,0.45](34){}[0.45,0.55](14){}[0.45,0.55](34){}[0.55,0.7](14){}[0.8,0.9](34){}[0.7,0.8](14){}[0.45,0.55](14){}[0.3,0.45](34){}a3[0.8,0.9](34){}[0.7,0.8](14){}[0.55,0.7](12){}[0.45,0.55](12){}[0.8,0.9](12){}[0.7,0.8](12){}[0.45,0.55](34){}[0.55,0.7](14){}

(2) 利用定義3,將表5轉換為PIVHFE基本得分函數(shù)矩陣S[hn′×m′]n×m，按照4.1節(jié)中做法,可得屬性權重為:ωc1=0.1455,ωc2=0.1769,ωc3=0.0057,ωc4=0.2431,ωc5=0.0069,ωc6=0.1007,ωc7=0.2430,ωc8=0.0782.

(3) 根據(jù)4.2節(jié)中決策步驟,繪制不考慮決策者重要性程度的屬性值的積型貼近度測度表,可得Q1,2=5>4,Q1,3=3<4,Q2,3=1<4, 3位男士排序a3?a1?a2.

(4) 決策結果說明

在考慮概率對應的評價者重要性程度后,有兩方面差異顯著,首先在屬性重要性認可程度上,考慮女兒及各位家庭成員權重前后,屬性c1,c3,c5,c7重要性發(fā)生極大變化;其次,在最優(yōu)男士排序認同上也發(fā)生了變化,具體如表6所示.

表6 決策比較表

事實上,PIVHFS中概率反應的是決策整體偏好,只強調“整體性”,而考慮了概率對應決策者重要性程度后,兼顧了決策整體中的個體重要性,所以在決策過程中考慮的因素更加全面.結合例題,雖然是家庭成員集體對所有男士進行評價,但是作為選擇另一半的女兒,其觀點的重要性“不言而喻”,排序結果也證明了這一點.

5 結 語

文章把決策專家給出的語言評價術語轉換為區(qū)間數(shù),并將專家對該區(qū)間數(shù)的認可度換算為概率,構造P(W)IVHFS,與經典PIVHFS多屬性群決策相比,兼顧了隸屬度發(fā)生概率對應下的決策專家總的權重,例子說明了這樣做的必要性.為了防止P(W)IVHFE中數(shù)據(jù)集結損失決策信息,本文利用區(qū)間數(shù)的積型貼近度公式對不同方案對應的相同屬性進行測度,通過統(tǒng)計大于1的測度結果數(shù)量來達到鑒定方案優(yōu)劣目的,做法優(yōu)點是無需定義集結算子,計算簡單,由于采用區(qū)間數(shù)刻畫決策信息,能夠最大限度保留決策群體及個人評價信息數(shù)據(jù),缺點是對于具有“一票否決”式重要的屬性存在,該決策方法不太適合.未來,在P(W)IVHFS的多屬性群決策當中基于方案序關系的研究或決策信息當中蘊含的代數(shù)結構還需要研究者給予更多關注與探索.