朱國成

(廣東創(chuàng)新科技職業(yè)學(xué)院通識教育學(xué)院，523960，廣東省東莞市)

0 引 言

生產(chǎn)實(shí)踐中,由于資源的有限性及人們認(rèn)知周圍環(huán)境思維的局限性,在面對眾多選擇結(jié)果時(shí)往往猶豫不決,怎樣科學(xué)合理的選出最優(yōu)方案是擺在人們面前必須解決的難題.決策理論對于解決此類問題大有裨益,理論分為經(jīng)典決策理論與不確定信息環(huán)境下決策理論.由于傳統(tǒng)的精確數(shù)值很難完整刻畫決策對象的特征信息,人們經(jīng)常用不確定信息來描述事物性質(zhì),例如區(qū)間數(shù)據(jù)[1,2]、三角模糊信息[3]、梯形模糊信息[4]、直覺模糊信息[5]及語言信息[6]等.因?yàn)槟：畔?shù)據(jù)蘊(yùn)含更加豐富的信息量,在表征事物性質(zhì)方面具有明顯優(yōu)勢,很快引起了學(xué)者關(guān)注,模糊信息理論的發(fā)展源頭則始于1965年Zadeh L A[7]提出的模糊集(Fuzzy Sets,FS)理論.隨著FS的大范圍應(yīng)用,其只考慮隸屬度這一單一因素的缺點(diǎn)開始顯現(xiàn),為了彌補(bǔ)FS只有單一隸屬的不足,Atanassov k等[8,9]定義了直覺模糊集(Intuitionistic Fuzzy Set,IFS)概念,IFS充分考慮了隸屬度、非隸屬度及猶豫度,相較于FS，IFS擁有更加強(qiáng)大的信息儲(chǔ)存能力,在具體應(yīng)用上能更好服務(wù)于生活.例如,梁美社等[10]從相似度的角度出發(fā),給出一種新的直覺模糊相似度計(jì)算方法并研究了方法性質(zhì),最后將該理論用在模式識別中;石乙英等[11]為了解決IFS中蘊(yùn)含算子構(gòu)造方法缺乏理論依據(jù)問題,利用重截集與表現(xiàn)定理構(gòu)造模糊蘊(yùn)含關(guān)系也即直覺模糊蘊(yùn)含算子,詳細(xì)討論了算子性質(zhì),算子豐富了IFS理論;連強(qiáng)[12]為了拓寬直覺模糊環(huán)境下群決策問題中屬性間相互作用的集成算子使用范圍,在Hamy平均基礎(chǔ)上,將另一種HGA平均算子推廣到多屬性信息集成中,文中實(shí)例驗(yàn)證了方法的可行性.由于IFS中的隸屬度為單一量,不能表現(xiàn)決策者猶豫心理,在具體應(yīng)用中隨著解決多屬性群決策(Multi-Attribute Group Decision Making,MAGDM )問題水平的更高要求,該理論在使用時(shí)漸漸“力不從心”.鑒于此,Torra[13]提出猶豫模糊集(Hesitant Fuzzy Sets,HFS)概念:可以使用多個(gè)隸屬度來表達(dá)決策者的猶豫思想,能夠更加全面照顧決策者的判斷標(biāo)準(zhǔn).生產(chǎn)實(shí)踐中,楊延璞[14]通過引入猶豫模糊語言術(shù)語集與粒子群優(yōu)化算法解決了產(chǎn)品設(shè)計(jì)評價(jià)問題;劉文等[15]在研究猶豫模糊粗糙算子方面向前邁進(jìn)了一大步,具體做法是利用猶豫模糊拓?fù)淇臻g與猶豫模糊粗糙近似空間之間關(guān)系,完美揭示了猶豫模糊粗糙近似算子的更深層次的本質(zhì)特征;曲國華等[16]將對偶猶豫模糊(DHFS)結(jié)合Heronian平均算子,得到一種新的對偶猶豫模糊幾何DHFG-Heronian平均算子和對偶猶豫模糊幾何加權(quán)DHFGW-Heronian平均算子,通過比較系統(tǒng)分析了2種算子的性質(zhì)并將DHFGW-Heronian平均算子應(yīng)用到多屬性決策當(dāng)中,取得了較好決策效果;文獻(xiàn)[17]在HFS的基礎(chǔ)上定義了一種新模糊集合:區(qū)間值q階猶豫模糊集(IV-q-ROHFS),建立了一類IV-q-ROHFS-Frank集成算子模型并詳細(xì)分析了其性質(zhì),最后將該算子用在解決投資公司的優(yōu)選問題中.HFS雖完美解決了決策者猶豫隸屬關(guān)系,但是卻忽略了各隸屬度發(fā)生的可能情況,不能體現(xiàn)決策群體的整體決策偏好,為了解決此類問題,朱斌[18]在其博士論文中將決策群體中對于某個(gè)隸屬度的認(rèn)可決策者數(shù)量與總體決策者占比作為該隸屬度發(fā)生的可能性,并將添加可能性后的HFS命名為概率猶豫模糊集(Probabilistic Hesitant Fuzzy Sets,PHFS).概念引起了學(xué)者注意后不久,其理論與應(yīng)用范圍既得到了極大豐富與拓展,例如,曹倩等[19]研究了PHFS中概率信息未知情況下的PHFS多屬性決策問題;李寶萍等[20]構(gòu)建一種基于概率猶豫模糊Maclaurin對稱平均算子的決策算法,算法可使決策者根據(jù)決策風(fēng)險(xiǎn)偏好選擇自己信任的參數(shù)值進(jìn)行決策;付超等[21]定義了PHFS基本運(yùn)算法則并討論了運(yùn)算法則的相關(guān)性質(zhì).類似于HFS,PHFS在應(yīng)用中也顯現(xiàn)出局限性,首先,概率猶豫模糊元(Probabilistic Hesitant Fuzzy Elements,PHFE)中隨著隸屬度數(shù)量的增加其對應(yīng)的概率在集結(jié)時(shí)快速衰減的速率尤其明顯;其次,PHFE中隸屬度對應(yīng)的概率求解默認(rèn)各位決策者重要性程度一致,顯然現(xiàn)實(shí)決策問題中對于評價(jià)專家的偏好時(shí)有發(fā)生,在PHFS環(huán)境下的多屬性群決策問題中怎樣解決以上2種不足顯得很有必要,本文從概率語言評價(jià)術(shù)語(Probabilistic Linguistic Terms Sets,PLTS)的角度出發(fā),對解決以上2個(gè)問題進(jìn)行了有益嘗試.

文章按照文獻(xiàn)[21]中方法確定語言評價(jià)術(shù)語(Linguistic Terms Sets,LTS)的相關(guān)概率,將決策專家給予屬性的LTS信息轉(zhuǎn)換為PLTS信息,屬性的PLTS信息中考慮決策專家權(quán)重,構(gòu)造考慮決策專家權(quán)重的PLTS模型P(W)LTS,把屬性的P(W)LTS信息轉(zhuǎn)化為概率區(qū)間值猶豫模糊元(Probabilistic Interval-Valued Hesitant Fuzzy Elements,PIVHFE),將PLTS情境下MAGDM問題映射為概率區(qū)間值猶豫模糊集(Probabilistic Interval-Valued Hesitant Fuzzy Sets,PIVHFS )的MAGDM問題.為了防止方案屬性進(jìn)行集結(jié)時(shí)損失決策信息及避免概率運(yùn)算衰減問題,利用區(qū)間數(shù)(Interval Numbers,IN)的積型貼近度公式對各方案屬性值兩兩測度,通過統(tǒng)計(jì)各方案屬性優(yōu)勝個(gè)數(shù)鑒定方案優(yōu)劣.方法為PLTS環(huán)境下的MAGDM問題的解決提供了一種新的思路,文中案例驗(yàn)證了思路的可行性.

1 基礎(chǔ)知識

本節(jié)描述PHFS定義、PIVHFS定義、PIVHFE定義及其得分函數(shù)、IN定義、基本運(yùn)算法則及IN的積型貼近度公式、LTS、PLTS定義.

定義3 為了最大化保留有限集PIVHFE信息,其基本得分函數(shù)用區(qū)間數(shù)表示,具體計(jì)算定義如下式

(1)

定義6 語言評價(jià)術(shù)語采用九段制,為了突出較差與較好程度的模糊性,在轉(zhuǎn)換成區(qū)間數(shù)時(shí)加大區(qū)分力度,具體對應(yīng)轉(zhuǎn)換分?jǐn)?shù)如表1.

表1 語言評價(jià)術(shù)語轉(zhuǎn)換表

定義7[24]在MAGDM問題中,A為決策專家集,X為評價(jià)方案集,C為屬性集,一個(gè)語言術(shù)語集S={sα|α=0,1,…,τ},方案x∈X關(guān)于屬性c∈C的一個(gè)PLTS定義為

(2)

其中L(k)(p(k))為方案x∈X關(guān)于屬性c∈C的語言術(shù)語L(k)及對應(yīng)的概率p(k),#L(P)為L(P)中概率語言術(shù)語個(gè)數(shù).

定義8 在定義7基礎(chǔ)上,考慮決策專家權(quán)重的PLTS用P(W)LTS表示,定義為

2 屬性權(quán)重確定路徑與方法

定義11 根據(jù)定義7,將第n′個(gè)方案的第m′個(gè)屬性評價(jià)信息的集合記為PLTS,形式為

(3)

定義12 根據(jù)定義8,考慮決策專家權(quán)重,將第n′個(gè)方案的第m′個(gè)屬性評價(jià)信息的集合PLTS記為P(W)LTS

定義13 根據(jù)定義6,將P(W)LTS中的ql′,n′,m′進(jìn)行置換,置換以后考慮決策專家權(quán)重的PIVHFS用P(W)IVHFS表示,

ql′,n′,m′∈L,l′∈{1,2,…,l},0≤Pqn′,m′≤1,0≤ωql′,n′,m′≤1}.

(5)

定義14 考慮決策專家權(quán)重的概率區(qū)間值猶豫模糊元用P(W)IVHFE表示,定義為

(6)

定義15 根據(jù)定義3,第n′個(gè)方案的第m′個(gè)屬性的P(W)IVHFE得分函數(shù)計(jì)算方法為

(7)

由于公式(7)中表達(dá)P(W)IVHFE得分函數(shù)符號較復(fù)雜,可寫為

(8)

定義16 根據(jù)定義9,各屬性的理想屬性值確定方法

(9)

按照本文定義確定屬性權(quán)重步驟如下:

步驟1 將評價(jià)專家以LTS形式給出的評分表,按照定義11～定義14將其轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的由P(W)-IVHFN構(gòu)成的評分表;

3 多屬性群決策步驟建構(gòu)

在MAGDM問題中,假設(shè)方案集A={a1,a2,…,an},屬性集C={c1,c2,…,cm},評價(jià)專家集R={r1,r2,…,rl},屬性權(quán)重ωcm′(m′=1,2,…,m)未知,評價(jià)專家權(quán)重ωrl′(l′=1,2,…,l)已知,第l′位專家給第n′個(gè)方案的第m′個(gè)屬性評價(jià)值用語言評價(jià)術(shù)語ql′,n′,m′表示.決策中的屬性皆默認(rèn)為效益型.

第1步 計(jì)算屬性權(quán)重ωcm′(m′=1,2,…,m);

第2步 利用定義11～定義14將決策問題中語言評價(jià)術(shù)語ql′,n′,m′置換為P(W)IVHFN并匯總屬性P(W)IVHFE;

①當(dāng)T+(an′,an″)>T-(an′,an″)時(shí),說明方案an′優(yōu)于方案an″.

②當(dāng)T+(an′,an″)

③當(dāng)T+(an′,an″)=T-(an′,an″)時(shí),說明方案an′與方案an″等同.

第7步 決策結(jié)果比較及說明.

4 應(yīng)用舉例

現(xiàn)實(shí)生活中“男大未婚,女大不嫁”已經(jīng)成為困擾很多父母的家庭問題,對于還沒“上岸”的大齡男女儼然成為父母及親戚共同“研究”對象,隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展及擇偶條件的理性選擇,男女雙方更看重對方綜合條件.以某父母擇婿為例,女兒為某相親公司會(huì)員,根據(jù)女兒選擇另一半的要求,公司給該家庭提供了3個(gè)滿足要求男士資料供選擇并排序,家庭成員對3位男士從8個(gè)方面進(jìn)行考察:財(cái)產(chǎn)、工作、家庭出身、健康、學(xué)歷、才能、相貌、興趣等,用符號cm(m=1,2,…,8)表示,家庭4位成員依次為:女兒、母親、父親及弟弟，用符號分別刻畫為rl(l=1,2,3,4),各位家庭成員參與對3位男士評價(jià),權(quán)重為ωr1=0.6,ωr2=0.25,ωr3=0.10,ωr4=0.05,3位男士用符號an(n=1,2,3)代替,討論結(jié)果以語言評價(jià)術(shù)語形式給出,如表2,利用本文知識對3位男士進(jìn)行量化分析并排序.

表2 家庭成員討論評價(jià)表

學(xué) 歷才 能相 貌興 趣a1{AG|(r1,r2,r3,r4)}{VG|(r2,r3,r4)}{AG|r1}{G|(r2,r3,r4)}{F|r1}{MP|(r1,r4)}{MG|(r2,r3)}a2{MP|(r2,r3,r4)}{F|r1}{F|(r2,r3,r4)}{MG|r1}{VG|(r2,r3,r4)}{G|r1}{F|r3}{MP|(r1,r2,r4)}a3{VG|(r2,r3,r4)}{G|r1}{MG|(r3,r4)}{F|(r1,r2)}{VG|(r1,r2)}{G|(r3,r4)}{F|(r2,r3,r4)}{MG|r1}

4.1 屬性權(quán)重計(jì)算

本節(jié)主要討論屬性權(quán)重計(jì)算步驟及方法.

(1)利用定義11～定義14將家庭成員討論表(表2)轉(zhuǎn)換為P(W)IVHFN評價(jià)表,如表3所示.

表3 P(W)IVHFN評價(jià)表

c5c6c7c8a1[0.9,1.0](11,1.0){}[0.8,0.9](34,0.4){}[0.9,1.0](14,0.6){}[0.7,0.8](34,0.4){}[0.45,0.55](14,0.6){}[0.3,0.45](12,0.65){}[0.55,0.7](12,0.35){}a2[0.3,0.45](34,0.4){}[0.45,0.55](14,0.6){}[0.45,0.55](34,0.4){}[0.55,0.7](14,0.6){}[0.8,0.9](34,0.4){}[0.7,0.8](14,0.6){}[0.45,0.55](14,0.1){}[0.3,0.45](34,0.9){}a3[0.8,0.9](34,0.4){}[0.7,0.8](14,0.6){}[0.55,0.7](12,0.15){}[0.45,0.55](12,0.85){}[0.8,0.9](12,0.85){}[0.7,0.8](12,0.15){}[0.45,0.55](34,0.4){}[0.55,0.7](14,0.6){}

4.2 決策過程

在4.1節(jié)權(quán)重計(jì)算基礎(chǔ)上,說明決策步驟及方法.

表4 考慮決策者重要性程度的屬性值的積型貼近度測度表

4.3 決策結(jié)果比較

本節(jié)與4.1節(jié)中的權(quán)重計(jì)算結(jié)果、4.2節(jié)中的決策結(jié)果做系統(tǒng)比較.

(1)若不考慮概率對應(yīng)下的決策者重要性程度,則表2利用定義6將家庭成員討論表轉(zhuǎn)換為由PIVHFN構(gòu)成的評價(jià)表,如表5所示.

表5 PIVHFN評價(jià)表

c5c6c7c8a1[0.9,1.0](11){}[0.8,0.9](34){}[0.9,1.0](14){}[0.7,0.8](34){}[0.45,0.55](14){}[0.3,0.45](12){}[0.55,0.7](12){}a2[0.3,0.45](34){}[0.45,0.55](14){}[0.45,0.55](34){}[0.55,0.7](14){}[0.8,0.9](34){}[0.7,0.8](14){}[0.45,0.55](14){}[0.3,0.45](34){}a3[0.8,0.9](34){}[0.7,0.8](14){}[0.55,0.7](12){}[0.45,0.55](12){}[0.8,0.9](12){}[0.7,0.8](12){}[0.45,0.55](34){}[0.55,0.7](14){}

(2) 利用定義3,將表5轉(zhuǎn)換為PIVHFE基本得分函數(shù)矩陣S[hn′×m′]n×m，按照4.1節(jié)中做法,可得屬性權(quán)重為:ωc1=0.1455,ωc2=0.1769,ωc3=0.0057,ωc4=0.2431,ωc5=0.0069,ωc6=0.1007,ωc7=0.2430,ωc8=0.0782.

(3) 根據(jù)4.2節(jié)中決策步驟,繪制不考慮決策者重要性程度的屬性值的積型貼近度測度表,可得Q1,2=5>4,Q1,3=3<4,Q2,3=1<4, 3位男士排序a3?a1?a2.

(4) 決策結(jié)果說明

在考慮概率對應(yīng)的評價(jià)者重要性程度后,有兩方面差異顯著,首先在屬性重要性認(rèn)可程度上,考慮女兒及各位家庭成員權(quán)重前后,屬性c1,c3,c5,c7重要性發(fā)生極大變化;其次,在最優(yōu)男士排序認(rèn)同上也發(fā)生了變化,具體如表6所示.

表6 決策比較表

事實(shí)上,PIVHFS中概率反應(yīng)的是決策整體偏好,只強(qiáng)調(diào)“整體性”,而考慮了概率對應(yīng)決策者重要性程度后,兼顧了決策整體中的個(gè)體重要性,所以在決策過程中考慮的因素更加全面.結(jié)合例題,雖然是家庭成員集體對所有男士進(jìn)行評價(jià),但是作為選擇另一半的女兒,其觀點(diǎn)的重要性“不言而喻”,排序結(jié)果也證明了這一點(diǎn).

5 結(jié) 語

文章把決策專家給出的語言評價(jià)術(shù)語轉(zhuǎn)換為區(qū)間數(shù),并將專家對該區(qū)間數(shù)的認(rèn)可度換算為概率,構(gòu)造P(W)IVHFS,與經(jīng)典PIVHFS多屬性群決策相比,兼顧了隸屬度發(fā)生概率對應(yīng)下的決策專家總的權(quán)重,例子說明了這樣做的必要性.為了防止P(W)IVHFE中數(shù)據(jù)集結(jié)損失決策信息,本文利用區(qū)間數(shù)的積型貼近度公式對不同方案對應(yīng)的相同屬性進(jìn)行測度,通過統(tǒng)計(jì)大于1的測度結(jié)果數(shù)量來達(dá)到鑒定方案優(yōu)劣目的,做法優(yōu)點(diǎn)是無需定義集結(jié)算子,計(jì)算簡單,由于采用區(qū)間數(shù)刻畫決策信息,能夠最大限度保留決策群體及個(gè)人評價(jià)信息數(shù)據(jù),缺點(diǎn)是對于具有“一票否決”式重要的屬性存在,該決策方法不太適合.未來,在P(W)IVHFS的多屬性群決策當(dāng)中基于方案序關(guān)系的研究或決策信息當(dāng)中蘊(yùn)含的代數(shù)結(jié)構(gòu)還需要研究者給予更多關(guān)注與探索.