周 鼎，陳韋賢，邱 偉

(上海宇航系統(tǒng)工程研究所·上?！?01109)

0 引 言

著陸段是運(yùn)載火箭子級(jí)垂直返回的最后階段，也是回收過(guò)程中技術(shù)難度較大的部分。子級(jí)在動(dòng)力學(xué)特性和飛行環(huán)境高動(dòng)態(tài)變化、強(qiáng)擾動(dòng)和大參數(shù)不確定的情況下，需要以有限的控制能力實(shí)現(xiàn)大范圍減速，并且滿(mǎn)足復(fù)雜的位姿狀態(tài)約束及狹窄的終端硬約束，這對(duì)制導(dǎo)和控制提出了很高的要求。經(jīng)典的離線(xiàn)標(biāo)稱(chēng)軌跡設(shè)計(jì)結(jié)合跟蹤制導(dǎo)律的方法呈現(xiàn)出在適應(yīng)性方面的不足，而廣泛應(yīng)用于月面和行星著陸的多項(xiàng)式制導(dǎo)又無(wú)法處理推力大小及與方向相關(guān)的約束，因此，利用當(dāng)前更新的飛行狀態(tài)開(kāi)展在線(xiàn)軌跡規(guī)劃進(jìn)而實(shí)施跟蹤制導(dǎo)的方法已成為現(xiàn)在的研究重點(diǎn)之一。

隨著硬件平臺(tái)計(jì)算能力的不斷提升，利用迭代優(yōu)化的計(jì)算制導(dǎo)已成為近年來(lái)有希望突破瓶頸的技術(shù)途徑，其中快速發(fā)展的研究熱點(diǎn)是基于凸優(yōu)化的在線(xiàn)軌跡規(guī)劃方法。加州理工大學(xué)JPL實(shí)驗(yàn)室和Acikmese教授團(tuán)隊(duì)基于火星動(dòng)力學(xué)下降任務(wù)在凸優(yōu)化理論推廣及工程化方面取得了無(wú)損凸化、定制化內(nèi)點(diǎn)法、G-FOLD制導(dǎo)算法飛行試驗(yàn)、時(shí)間最優(yōu)連續(xù)凸化等一系列重要成果。與火星著陸不同，運(yùn)載火箭子級(jí)在地球上的返回過(guò)程中，受大氣環(huán)境的影響比較顯著，氣動(dòng)力雖然相對(duì)于推力(控制力)而言并非“主導(dǎo)力”，但其存在較大的模型偏差及不確定性，這要求制導(dǎo)方法對(duì)氣動(dòng)力系數(shù)偏差具備較強(qiáng)的魯棒性?，F(xiàn)有研究的主要關(guān)注點(diǎn)多集中于如何改善軌跡優(yōu)化性能，針對(duì)獲得優(yōu)化軌跡后如何形成較好的閉環(huán)制導(dǎo)的相關(guān)研究還比較少。因此在軌跡在線(xiàn)規(guī)劃的基礎(chǔ)上，子級(jí)還需要具備足夠的控制能力來(lái)補(bǔ)償氣動(dòng)力的偏差。在這樣的需求牽引下，本文通過(guò)在線(xiàn)滾動(dòng)規(guī)劃進(jìn)行子級(jí)著陸的閉環(huán)制導(dǎo)，并提出了視加速度補(bǔ)償和推力逐級(jí)釋放的兩種策略對(duì)制導(dǎo)方法進(jìn)行調(diào)整。

1 著陸段在線(xiàn)軌跡規(guī)劃

本節(jié)給出了著陸段在線(xiàn)軌跡規(guī)劃涉及的問(wèn)題模型、規(guī)劃算法及定制化求解器。

1.1 軌跡優(yōu)化問(wèn)題描述

依據(jù)參考文獻(xiàn)[3]中的坐標(biāo)系定義，在著陸點(diǎn)坐標(biāo)系下建立運(yùn)載火箭子級(jí)著陸段的動(dòng)力學(xué)模型。在建模時(shí)僅考慮氣動(dòng)阻力，依靠發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行制動(dòng)和控制；此外，考慮著陸段的飛行距離較短，在這一過(guò)程中可將引力場(chǎng)近似為平行引力場(chǎng)。相應(yīng)的軌跡優(yōu)化問(wèn)題(問(wèn)題1)可描述為：

(1)目標(biāo)函數(shù)

(1)

其中，

m

為子級(jí)質(zhì)量，

t

為終端時(shí)間，為發(fā)動(dòng)機(jī)推力矢量；此處選取剩余質(zhì)量最大為指標(biāo)是為了使著陸過(guò)程的推進(jìn)劑消耗最小化，從發(fā)射主任務(wù)的角度看這種方式可以將更多的運(yùn)載能力用于提升載荷質(zhì)量。

(2)動(dòng)力學(xué)約束

(2)

(3)

(4)

(5)

(3)狀態(tài)約束

m

≤

m

(

t

)

(6)

(7)

(4)控制約束

(8)

(9)

(5)邊值條件

(10)

(11)

1.2 問(wèn)題離散與凸化

上述著陸段軌跡優(yōu)化的問(wèn)題1是一個(gè)非線(xiàn)性、非凸的連續(xù)最優(yōu)控制問(wèn)題，在利用凸優(yōu)化方法進(jìn)行求解前，需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行離散化和凸化處理。本文采用一階保持離散，并對(duì)推力進(jìn)行無(wú)損凸化處理。動(dòng)力學(xué)相關(guān)離散公式參見(jiàn)文獻(xiàn)[13]。這里給出控制約束的離散凸化

(12)

T

≤

Γ

[

k

]≤

T

(13)

(14)

其中，

N

為離散節(jié)點(diǎn)數(shù)，

Γ

為推力松弛變量。

1.3 序列迭代

此時(shí)的動(dòng)力學(xué)中仍然存在非凸的氣動(dòng)阻力項(xiàng)[

k

]，考慮采用序列線(xiàn)性化進(jìn)行迭代凸化近似。為保證連續(xù)兩次迭代之間的狀態(tài)量滿(mǎn)足線(xiàn)性化的小偏量假設(shè)，引入信賴(lài)域變量進(jìn)行約束，即

(15)

|Δ

t

-Δ

t

(-1)|≤

η

Δ

(16)

其中，

k

∈[0,

N

-1]，

η

為推力信賴(lài)域，Δ

t

為離散區(qū)間時(shí)長(zhǎng)，

η

Δ為相應(yīng)的信賴(lài)域，上角標(biāo)(

i

-1)表示前一次迭代的解，

i

=1,2,…。

此外，為減緩人為線(xiàn)性化帶來(lái)的問(wèn)題不可行風(fēng)險(xiǎn)，引入松弛加速度變量作為虛擬控制，相關(guān)約束如下

(17)

其中，為松弛加速度，

κ

R為相應(yīng)的邊界。

在序列迭代的過(guò)程中主要涉及兩個(gè)問(wèn)題模型：初始參考軌跡生成模型和迭代求解模型。

(1)初始參考軌跡生成

該模型用于生成初始參考軌跡以啟動(dòng)算法，需要給出初始參考質(zhì)量和速度大小的序列

μ

[

k

]和

s

[

k

]，相應(yīng)的阻力和加速度可以離散凸化表示為

(18)

(19)

初始參考軌跡優(yōu)化記為問(wèn)題2-I，其目標(biāo)函數(shù)為

(20)

其中，R=[

κ

R[0],

κ

R[1],…,

κ

R[

N

-1]]，

ω

R為虛擬控制罰因子。

(2)迭代求解

序列迭代問(wèn)題(問(wèn)題2-II)與初始化問(wèn)題(問(wèn)題2-I)相比增加了信賴(lài)域變量及離散時(shí)間變量，含非凸氣動(dòng)阻力的加速度等式約束采用如下離散凸化形式

[

k

]+

m

(-1)[

k

][

k

]-

m

(-1)[

k

][

k

]

(21)

相應(yīng)地，問(wèn)題(問(wèn)題2-II)的目標(biāo)函數(shù)為

(22)

其中，=[

η

[0],

η

[1],…,

η

[

N

-1]]，

ω

和

ω

Δ為信賴(lài)域罰因子。

1.4 定制化內(nèi)點(diǎn)法求解器

無(wú)論是初始參考軌跡生成(問(wèn)題2-I)還是迭代求解(問(wèn)題2-II)，相應(yīng)的凸化問(wèn)題都可以表示為標(biāo)準(zhǔn)的二階錐規(guī)劃(Second-Order Cone Programming，SOCP)問(wèn)題，即

(23)

考慮在線(xiàn)規(guī)劃的任務(wù)需求，本節(jié)針對(duì)上述SOCP問(wèn)題定制求解器，給出求解所用的原-對(duì)偶路徑跟隨內(nèi)點(diǎn)算法的實(shí)現(xiàn)流程如下。內(nèi)點(diǎn)算法相關(guān)理論細(xì)節(jié)參見(jiàn)文獻(xiàn)[11]。其中，SOCP問(wèn)題的最優(yōu)性條件稱(chēng)為KKT(Karush-Kuhn-Tucker)條件，相應(yīng)的KKT矩陣為

圖1 二階錐規(guī)劃問(wèn)題求解定制化內(nèi)點(diǎn)算法流程Fig.1 Customized interior point method flowchart for solving second-order cone programming

2 著陸段制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2.1 基于滾動(dòng)時(shí)域在線(xiàn)規(guī)劃的閉環(huán)制導(dǎo)

本節(jié)基于滾動(dòng)時(shí)域控制的思想，利用SOCP問(wèn)題在線(xiàn)求解的快速性和良好的收斂性，設(shè)計(jì)子級(jí)著陸段的閉環(huán)制導(dǎo)算法。算法以較高頻的頻率利用當(dāng)前的導(dǎo)航信息構(gòu)建軌跡優(yōu)化問(wèn)題，并通過(guò)序列凸化進(jìn)行迭代求解，將優(yōu)化解以前饋指令的形式作用于火箭子級(jí)；同時(shí)，考慮模型偏差和不確定性，對(duì)推力進(jìn)行逐級(jí)調(diào)整和視加速度補(bǔ)償。

2.2 推力逐級(jí)釋放

采用上述滾動(dòng)時(shí)域的閉環(huán)制導(dǎo)策略，整個(gè)著陸過(guò)程中需要進(jìn)行多次在線(xiàn)軌跡規(guī)劃。在著陸段前期給出的指令一般為最小推力，經(jīng)過(guò)一定的制導(dǎo)更新周期后，指令均為最大推力，這符合燃料最省動(dòng)力下降的Bang-Bang控制規(guī)律；然而，在干擾及偏差存在的情況下，前期采取的小推力可能會(huì)增大后期的控制負(fù)擔(dān)，導(dǎo)致即使在后期施加最大推力也難以實(shí)現(xiàn)著陸要求的終端控制精度。為此，本文提出了一種逐級(jí)釋放推力能力的策略。

對(duì)整個(gè)著陸段進(jìn)行分段，每個(gè)子階段的最大推力是固定的，但隨著飛行時(shí)間增加，最大推力逐級(jí)增大，最后一段的最大推力與子級(jí)實(shí)際可允許的最大推力相等。在前期制導(dǎo)中，由于最大推力減小，調(diào)節(jié)范圍變小，使得產(chǎn)生的推力指令傾向于采用最大控制能力，避免前期生成的指令過(guò)于保守；后期制導(dǎo)系統(tǒng)可用的控制能力余量也足夠，而最大推力也按照分段逐級(jí)增大，保證了后期具有足夠的控制能力。圖2給出了一種推力逐級(jí)釋放的示例。

圖2 推力逐級(jí)釋放示意圖Fig.2 Illustration for thrust level-wise release

子階段劃分的原則為：在著陸段前期飛行中，由干擾引起的誤差是一個(gè)逐步積累的過(guò)程，即使前期制導(dǎo)精度很高，仍會(huì)有部分誤差傳遞至后期飛行中，所以前期飛行精度對(duì)整個(gè)著陸段終端精度的影響不大，故可將飛行前期階段單獨(dú)處理。當(dāng)飛行到中間靠后階段時(shí)，此時(shí)的誤差便能直接影響終端著陸精度，因此這個(gè)階段的制導(dǎo)精度保持在一個(gè)較高水平。當(dāng)能力不足時(shí),必須逐級(jí)調(diào)整最大推力系數(shù)，直到制導(dǎo)方法的能力能夠應(yīng)對(duì)消除狀態(tài)誤差。當(dāng)火箭接近著陸點(diǎn)時(shí)，其狀態(tài)誤差對(duì)著陸點(diǎn)精度的影響最大，需要完全放開(kāi)火箭的控制能力，利用制導(dǎo)系統(tǒng)保證著陸點(diǎn)精度達(dá)到要求。如圖2所示，在推力逐級(jí)釋放策略中，每一段的最大推力系數(shù)是根據(jù)算法及閉環(huán)仿真中的調(diào)試測(cè)試經(jīng)驗(yàn)確定的，一般可按約5%的推力逐級(jí)進(jìn)行調(diào)節(jié)。

2.3 視加速度補(bǔ)償

在每個(gè)制導(dǎo)更新周期內(nèi)，為保證干擾及偏差下的飛行精度，需要跟蹤在線(xiàn)生成的軌跡。本文考慮將可以直接測(cè)量的視加速度作為特征量進(jìn)行軌跡跟蹤。具體步驟如下：

(1)計(jì)算當(dāng)前周期視加速度預(yù)測(cè)值

(24)

(2)計(jì)算補(bǔ)償后的視加速度

(25)

(3)獲取當(dāng)前周期實(shí)測(cè)的視加速度

(4)計(jì)算下一周期的視加速度補(bǔ)償量

(26)

3 算例仿真與對(duì)比分析

本節(jié)以某運(yùn)載火箭子級(jí)垂直著陸任務(wù)為背景，針對(duì)提出的制導(dǎo)算法及補(bǔ)償策略進(jìn)行了算例仿真與對(duì)比分析。

3.1 推力逐級(jí)釋放效果

考慮初始質(zhì)量、大氣密度及氣動(dòng)阻力偏差，分別按無(wú)推力逐級(jí)釋放和有推力逐級(jí)釋放給出著陸段在線(xiàn)滾動(dòng)規(guī)劃在每個(gè)制導(dǎo)周期(周期為2s)內(nèi)的規(guī)劃成功/失敗情況。其中，規(guī)劃成功的標(biāo)志是序列凸化迭代在有限的次數(shù)內(nèi)收斂，本文設(shè)置的序列凸化迭代次數(shù)上界為10次。此外，根據(jù)仿真結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分析，在主頻為1.4GHz的環(huán)境下，在線(xiàn)規(guī)劃所需的時(shí)間小于300ms，滿(mǎn)足實(shí)時(shí)性需求。

在規(guī)劃失敗的情況下采用最近一次規(guī)劃成功的結(jié)果進(jìn)行推力插值，在制導(dǎo)周期內(nèi)采用軌跡跟蹤視加速度補(bǔ)償。由表1可以看出，在第12個(gè)或13個(gè)制導(dǎo)周期后，規(guī)劃均失敗，說(shuō)明此時(shí)子級(jí)的控制能力在物理上已無(wú)法滿(mǎn)足著陸要求，這主要是由于前期規(guī)劃過(guò)于保守而致使后期制導(dǎo)負(fù)擔(dān)過(guò)大。

表1 無(wú)推力逐級(jí)釋放的著陸段滾動(dòng)規(guī)劃情況Tab.1 Receding horizon planning for landing without thrust level-wise release

表2給出了引入推力逐級(jí)釋放后的滾動(dòng)規(guī)劃情況。

表2 考慮推力逐級(jí)釋放的著陸段滾動(dòng)規(guī)劃情況Tab.2 Receding horizon planning for landing with thrust level-wise release

對(duì)比表1和表2可以看出，在引入推力逐級(jí)釋放策略后，基本只需要進(jìn)行一次推力上界的調(diào)整就可以使得滾動(dòng)規(guī)劃后續(xù)持續(xù)成功，表明該策略的加入對(duì)于提高在線(xiàn)規(guī)劃成功率有比較好的效果，顯著改善了制導(dǎo)的魯棒性。

3.2 視加速度補(bǔ)償效果

本節(jié)考慮著陸段初始質(zhì)量偏差，對(duì)比分析視加速度補(bǔ)償對(duì)滾動(dòng)時(shí)域制導(dǎo)的影響。表3給出了相應(yīng)的在線(xiàn)規(guī)劃結(jié)果，在過(guò)程中加入了推力逐級(jí)釋放策略。

表3 視加速度補(bǔ)償對(duì)滾動(dòng)規(guī)劃的影響Tab.3 Effect of apparent acceleration compensation on receding horizon planning

可以看出，在未進(jìn)行補(bǔ)償?shù)那闆r下，在第7個(gè)周期和第8個(gè)周期已經(jīng)進(jìn)行了推力釋放的情況下，從第9個(gè)周期開(kāi)始軌跡規(guī)劃就出現(xiàn)了失敗，遞歸可行性被破壞；而引入視加速度補(bǔ)償后，滾動(dòng)規(guī)劃的遞歸可行性得以保持，且只在第11個(gè)周期進(jìn)行了一次推力釋放。結(jié)果表明，視加速度補(bǔ)償可有效提高滾動(dòng)規(guī)劃的成功率。

4 結(jié) 論

本文以運(yùn)載火箭子級(jí)垂直返回任務(wù)為背景，主要研究了著陸段滾動(dòng)規(guī)劃在線(xiàn)制導(dǎo)的補(bǔ)償策略?？紤]由于著陸段前期優(yōu)化推力過(guò)于保守而致使后期制導(dǎo)負(fù)擔(dān)增加的問(wèn)題，提出了在制導(dǎo)過(guò)程中對(duì)推力上界進(jìn)行逐級(jí)釋放的策略；進(jìn)一步考慮干擾和誤差的影響，在滾動(dòng)規(guī)劃前饋指令基礎(chǔ)上引入視加速度，對(duì)推力指令進(jìn)行補(bǔ)償以提升在線(xiàn)規(guī)劃的成功率。最后，通過(guò)數(shù)值仿真及對(duì)比，驗(yàn)證了推力逐級(jí)釋放和視加速度補(bǔ)償策略對(duì)著陸段滾動(dòng)規(guī)劃在線(xiàn)制導(dǎo)魯棒性的改善效果。

參考文獻(xiàn)(

References

)

[1] 崔乃剛,吳榮,韋常柱,等.垂直起降可重復(fù)使用運(yùn)載器發(fā)展現(xiàn)狀與關(guān)鍵技術(shù)分析 [J].宇航總體技術(shù),2018,2(2):27-42.

CUI N G,WU R,WEI C Z,et al.Development and key technologies of vertical takeoff vertical landing reusable launch vehicle[J].Astronautical Systems Engineering Technology,2018,2(2):27-42(in Chinese).

[2] 韋常柱,琚嘯哲,徐大富,等.垂直起降重復(fù)使用運(yùn)載器返回制導(dǎo)與控制 [J].航空學(xué)報(bào),2019,40(7):322-345.

WEI C Z,JU X Z,XU D F,et al.Guidance and control for return process of vertical takeoff vertical landing reusable launching vehicle [J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,2019,40(7):322-345(in Chinese).

[3] 王勁博.可重復(fù)使用運(yùn)載火箭在線(xiàn)軌跡優(yōu)化與制導(dǎo)方法研究 [D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué),2019.

WANG J B.Research on online trajectory optimization and guidance methods for reusable rocket[D].Harbin:Harbin Institute of Technology,2019(in Chinese).

[4] 吳榮.垂直起降可重復(fù)使用火箭返回制導(dǎo)與控制方法研究 [D].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué),2019.

WU R.Research on guidance and control methods of vertical takeoff vertical landing reusable launch vehicle[D].Harbin:Harbin Institute of Technology,2019(in Chinese).

[5] 宋征宇,王聰.運(yùn)載火箭返回著陸在線(xiàn)軌跡規(guī)劃技術(shù)發(fā)展 [J].宇航總體技術(shù),2019,3(6):1-12.

SONG Z Y,WANG C.Development of online trajectory planning technology for launch vehicle return and landing[J].Astronautical Systems Engineering Technology,2019,3(6):1-12(in Chinese).

[6] ACIKMESE B,PLOEN S.Convex programming approach to powered descent guidance for Mars landing [J].Journal of Guidance Control and Dynamics,2007,30(5):1353-1371.

[7] ACIKMESE B,BLACKMORE L,SCHARF D,et al.Enhancements on the convex programming based powered descent guidance algorithm for Mars landing[C]//AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference and Exhibit.2008:2008-6426.

[8] BLACKMORE L,ACIKMESE B,SCHARF D.Minimum-landing-error powered-descent guidance for Mars landing using convex optimization [J].Journal of Guidance Control and Dynamics,2010,33(4):1161-1175.

[9] ACIKMESE B,BLACKMORE L.Lossless convexification of a class of optimal control problems with non-convex control constraints [J].Automatica,2011,47(2):341-347.

[10] HARRIS M W,ACIKMESE B.Lossless convexification of non-convex optimal control problems for state constrained linear systems [J].Automatica,2014,50(9):2304-2311.

[11] DUERI D,ACIKMESE B,SCHARF D,et al.Customized real-time interior-point methods for onboard powered-descent guidance [J].Journal of Guidance,Control,and Dyna-mics,2016,40(2):197-212.

[12] SCHARF D P,ACIKMESE B,DUERI D,et al.Implementation and experimental demonstration of onboard powered-descent guidance [J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2016,40(2):213-229.

[13] SZMUK M,ACIKMESE B.Successive convexification for 6-DoF Mars rocket powered descent landing with free-final-time[C]//AIAA,Guidance,Navigation,and Control Conference.2018:617-630.

[14] MALYUTA D,REYNOLDS T P,SZMUK M,et al.Discretization performance and accuracy analysis for the powered descent guidance problem [C]//AIAA SciTech Forum.2019:925-944.