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        RLC串聯(lián)電路欠阻尼信號(hào)衰減常數(shù)可視化測(cè)量的評(píng)估與修正

        2021-10-21 02:53:18王子文李浩源張?jiān)姲?/span>國(guó)澤镕
        大學(xué)物理實(shí)驗(yàn) 2021年4期
        關(guān)鍵詞:圖解法包絡(luò)線理論值

        王子文,李浩源,鄧 莉,張?jiān)姲矗R 彬,國(guó)澤镕

        (華東師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院,上海 200241)

        本文利用示波器,采用三種可視化方法測(cè)量RLC串聯(lián)電路欠阻尼信號(hào)的衰減常數(shù),通過(guò)Desmos軟件擬合欠阻尼圖像,并對(duì)測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度進(jìn)行了評(píng)估。采用能量損耗方程式,計(jì)算損耗電阻,并對(duì)理論值進(jìn)行了修正,修正后的理論值與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值吻合度提高。

        1 原 理

        1.1 RLC欠阻尼狀態(tài)

        RLC串聯(lián)電路如圖1所示,電源為方波,當(dāng)Us從高電平降為0,電路開(kāi)始放電,這一過(guò)程中,電阻、電感、電容的總電壓恒為0,列出微分方程為:

        圖1 RLC串聯(lián)電路

        (1)

        (2)

        1.2 包絡(luò)線法測(cè)量時(shí)間常數(shù)

        圖2 包絡(luò)線法測(cè)量τ值

        由圖2可以看到,用包絡(luò)線法測(cè)量τ值的確可以反映真實(shí)的暫態(tài)過(guò)程,但只是近似,需要擬合出包絡(luò)線,增大了操作的難度,引入實(shí)驗(yàn)誤差。

        1.3 圖解法測(cè)量時(shí)間常數(shù)

        tan(ωdt+φ)=ωdτ

        (3)

        (4)

        將(4)帶入到公式(2)中,可得:

        (5)

        其中UCM為振蕩峰值。

        令UCM為振蕩峰值的絕對(duì)值,可得:

        (6)

        取對(duì)數(shù)可得:

        (7)

        根據(jù)式(7)可以看到最大振幅的對(duì)數(shù)與時(shí)間t呈線性關(guān)系,因此,測(cè)量一系列(UCM,t)值,做出lnUCM-t直線,根據(jù)斜率就可以求出τ值。圖解法直接根據(jù)曲線上的點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量,因此是一種精確的測(cè)量方法。

        又由式(6)可知,振動(dòng)的峰值呈指數(shù)衰減。如果類似包絡(luò)線法,作連接振動(dòng)峰值的點(diǎn)的曲線,測(cè)量它從最大振幅降到最大振幅0.368倍處的時(shí)間間隔也可以得到τ。包絡(luò)線法用的是切點(diǎn)不是頂點(diǎn),自然就有實(shí)驗(yàn)誤差,只能作為近似求法。

        1.4 比值法測(cè)量時(shí)間常數(shù)

        根據(jù)式(3)可知達(dá)到振蕩峰值的時(shí)間為:

        (8)

        因此arctan(ωdτ)=kπ+φ,可知達(dá)到振蕩峰值的時(shí)間為:

        (9)

        因此,振蕩的周期為:

        (10)

        根據(jù)這一關(guān)系,得到一種準(zhǔn)確測(cè)量τ值的方法,即比值法。

        設(shè)相隔n個(gè)周期的2個(gè)最大正峰值為UCM1和UCM(n+1),將它們相除,根據(jù)(6)式可得:

        (11)

        因此,測(cè)量?jī)蓚€(gè)最大正峰值和它們之間的振蕩周期數(shù)也可以算出τ值,比值法也是一種精確測(cè)量的方法。

        2 實(shí)驗(yàn)測(cè)量

        2.1 包絡(luò)線法

        圖3 欠阻尼波形圖

        實(shí)驗(yàn)測(cè)得電容電壓從初始振幅下降到初始振幅0.368倍的時(shí)間為ΔT=τ測(cè)=400 μs,測(cè)量值與理論值的相對(duì)誤差P=14.5%。

        2.2 圖解法

        保持狀態(tài)不變進(jìn)行圖解法測(cè)量,結(jié)果如表1和圖4所示:

        表1 用圖解法測(cè)量τ值

        由圖4可知,lnUCM=-0.002 66t+3.425 14,斜率k=-0.002 66,因此可知τ測(cè)=375.9μs,測(cè)量值與理論值的相對(duì)誤差P=19.7%。

        2.3 比值法

        根據(jù)圖4,取相隔較遠(yuǎn)且在直線上的兩點(diǎn),UCM1=29.2V,UCM5=3.6V,n=4,Td=200.0μs,代入公式(11),可得τ測(cè)=382.2μs,測(cè)量值與理論值的相對(duì)誤差P=18.4%。

        以上三種方法測(cè)得的τ值與理論值之間的相對(duì)誤差都較大,超過(guò)了10%,且測(cè)量值都小于理論值,故一定還存在某種因素造成該系統(tǒng)誤差。

        3 軟件擬合

        將欠阻尼放電過(guò)程電容電壓的表達(dá)式即式子(2)和相關(guān)參數(shù)輸入到Desmos軟件中,得到的圖像如圖5所示:

        圖5 軟件擬合欠阻尼放電過(guò)程

        讀取圖中數(shù)據(jù),用圖解法處理,結(jié)果如表2和圖6所示。由圖6可知,

        lnUCM=-2136.7t+3.376,

        斜率k=-2136.7,因此可知τ測(cè)=468.0μs,測(cè)量值與理論值的相對(duì)誤差P=0.02%。

        表2 軟件擬合法數(shù)據(jù)

        圖6 軟件擬合法lnUCM-t圖

        取表2中的第2組和第8組數(shù)據(jù),用比值法計(jì)算,得到τ測(cè)=467.7μs,測(cè)量值與理論值的相對(duì)誤差P=0.09%。

        在Desmos軟件中只能精確讀取曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo),而使用包絡(luò)法常常需要精確讀取曲線外的點(diǎn),故測(cè)量誤差很大,因此包絡(luò)線法不適用于Desmos軟件擬合。

        使用圖解法和比值法在軟件擬合測(cè)量時(shí)間常數(shù)時(shí)誤差都非常小,小于千分之一,說(shuō)明這兩種方法的確能夠精準(zhǔn)測(cè)量時(shí)間常數(shù)。

        為什么軟件擬合時(shí)的誤差幾乎為零而實(shí)際實(shí)驗(yàn)中誤差卻超過(guò)了10%呢?這是因?yàn)檐浖M合相當(dāng)于實(shí)驗(yàn)時(shí)使用的儀器都是理想的,而實(shí)際上儀器中會(huì)有各種損耗,這些損耗可以看成損耗電阻,它們使得電路中總電阻偏大,從而導(dǎo)致時(shí)間常數(shù)減小。

        4 修正理論值

        4.1 計(jì)算損耗電阻

        電路損耗主要來(lái)源于電感和電容,因此把電路中總的損耗電阻記為RLC。下面用能量損耗方程式計(jì)算出損耗電阻RLC并修正τ值。

        由(2)式可得電路中的電流為:

        (12)

        (13)

        因此可得:

        (14)

        將RLC代入,可得:

        (15)

        就可以得到修正后的理論值。

        4.2 測(cè)量RLC并修正理論值

        將各方法測(cè)得的時(shí)間常數(shù)帶入式子(14)和式子(15),就可求出電路的損耗電阻和修正的理論值,如表3所示:

        表3 三種方法測(cè)得到的RLC與修正的理論值

        由表3可知,每種方法的實(shí)驗(yàn)測(cè)量值與修正理論值符合得都很好,相對(duì)誤差在1%以內(nèi),且圖解法和比值法的誤差相對(duì)于包絡(luò)法更小,測(cè)量更加精確。

        5 總 結(jié)

        采用包絡(luò)法、圖解法、比值法三種可視化方法測(cè)量RLC串聯(lián)電路欠阻尼信號(hào)的衰減常數(shù),對(duì)三種方法的測(cè)量準(zhǔn)確性進(jìn)行了評(píng)估,發(fā)現(xiàn)包絡(luò)線法近似測(cè)量、還是圖解法、比值法精確測(cè)量,測(cè)得的時(shí)間常數(shù)都與理論值存在超過(guò)10%的較大偏差。說(shuō)明圖解法和比結(jié)合Desmos軟件擬合欠阻尼圖像進(jìn)行模擬,測(cè)得的時(shí)間常數(shù),測(cè)量值與理論值相差小于0.1%,提高了測(cè)量的準(zhǔn)確度。采用能量損耗方程式,計(jì)算損耗電阻,并對(duì)理論值進(jìn)行進(jìn)一步修正,理論值與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值相對(duì)誤差小于1%,說(shuō)明了該修正方法的有效性。修正后的理論值與精確測(cè)量的時(shí)間常數(shù)符合得很好。本研究也為測(cè)量損耗電阻提供了一個(gè)新的實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法。

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