張 穎，王維波，許 瑩，李文清，張敬芳，李澤朋

(1.中國民航大學(xué) 理學(xué)院，天津 300300；2.中國民航大學(xué) 基礎(chǔ)實驗中心，天津 300300)

楊氏模量是表征固體材料性質(zhì)的重要物理量，描述的是固體材料抵抗形變的能力，是工程技術(shù)中選擇材料的依據(jù)之一[1]。在理工類大學(xué)物理教學(xué)實驗中，固體材料楊氏模量的測量是必做實驗之一。測量楊氏模量有多種方法，如拉伸法測楊氏模量、彎曲法等[2-7]。精確地測量材料在應(yīng)力作用下產(chǎn)生的微小形變是楊氏模量測量中的關(guān)鍵。彎曲法結(jié)合霍爾位置傳感器測量楊氏模量可將材料在應(yīng)力作用下的微小位移轉(zhuǎn)換成電信號并進(jìn)行數(shù)字顯示輸出，改善了傳統(tǒng)測量方法，提高了測量精度并被廣泛應(yīng)用[8]。針對實驗中存在的磁場梯度線性范圍小導(dǎo)致的測量誤差大的問題，本文在原有測量儀基礎(chǔ)上改變梯度磁場發(fā)生器，磁場梯度大范圍均勻并可調(diào)節(jié)，可顯著提高測量精度，并且可實現(xiàn)較大微位移的測量。

1 彎曲法結(jié)合霍爾位置傳感器測固體楊氏模量的基本原理[1，2]

1.1 彎曲法測楊氏模量

固體材料在彈性變形階段，其正應(yīng)力和應(yīng)變之間成正比例關(guān)系，比值稱為楊氏模量。楊氏模量用來描述材料抵抗形變的能力，其值越大意味著材料發(fā)生形變所需的應(yīng)力越大。楊氏模量的測量在材料的力學(xué)分析里有重要的意義。

如圖1所示，將長度為L，橫截面為矩形的均勻橫梁置于相距為d的兩個刀口上，在橫梁中心位置懸掛質(zhì)量為m的砝碼，橫梁會發(fā)生彎曲，下垂距離為ΔZ，此過程中梁中心下垂距離和負(fù)載質(zhì)量間關(guān)系為：

圖1 彎曲法示意圖

(1)

式中，d為兩刀口間距離，m為砝碼質(zhì)量，g為重力加速度，a為橫梁厚度，b為橫梁寬度，ΔZ為橫梁中心下垂距離，E為楊氏模量。從式(1)得楊氏模量的表達(dá)式為

(2)

從式(2)中可以看出，若能獲得等式右邊各物理量數(shù)值，就可計算出E的值。式中a、b、d可分別由千分尺、游標(biāo)卡尺、直尺測量，難點在于微位移ΔZ的測量。

1.2 霍爾位置傳感器原理

霍爾位置傳感器是以霍爾效應(yīng)為基本工作原理，實現(xiàn)位移、磁場等物理量測量的器件。其用于測量楊氏模量的裝置示意圖如圖2所示，將霍爾元件置于磁感應(yīng)強度為B的磁場中，在垂直于B的方向通以電流I，在垂直于電流和磁場的方向上會產(chǎn)生霍爾電勢差UH，UH的大小為

圖2 楊氏模量測量儀

UH=K·I·B

(3)

其中，K為霍爾元件的霍爾靈敏度。保持電流I不變，把霍爾元件置于一個均勻梯度變化的磁場中，并沿著梯度方向移動ΔZ，輸出的霍爾電勢差(霍爾電壓)變化量為ΔUH，ΔUH的大小為

(4)

兩塊N極相對平行放置的磁鐵間隙間可在2 mm區(qū)域里產(chǎn)生具有良好線性關(guān)系的均勻梯度變化的磁場。將霍爾元件置于均勻梯度變化區(qū)域，并沿著梯度場梯度變化方向微移動，輸出的霍爾電勢差將發(fā)生相應(yīng)的變化，霍爾電勢差輸出值可直接通過電壓表讀出?；魻栐恢迷诰鶆蛱荻葏^(qū)域變化時，霍爾電勢差和位移之間呈線性關(guān)系變化，從而根據(jù)電壓表讀數(shù)即可實現(xiàn)霍爾元件微位移的測量?；魻栐c套在待測橫梁上的銅刀口相連構(gòu)成銅杠桿，根據(jù)杠桿原理霍爾元件位移與橫梁位移呈正比。因此，霍爾電勢差和橫梁位移之間呈線性關(guān)系變化。定標(biāo)出此線性關(guān)系的比例系數(shù)，即可通過橫梁不同應(yīng)力作用下霍爾電勢差改變實現(xiàn)橫梁微位移的測量。

2 實驗儀器分析

彎曲法結(jié)合霍爾位置傳感器測量楊氏模量實驗中，常選取黃銅和鑄鐵作為待測橫梁，測量裝置選用兩塊N極相對的磁鐵產(chǎn)生的均勻梯度磁場作為霍爾位置傳感器工作磁場。在梯度磁場均勻范圍內(nèi)，位移量和輸出霍爾電壓呈線性關(guān)系。由于梯度磁場均勻范圍較小(小于2 mm)，要求實驗中霍爾元件必須在限定的±2 mm內(nèi)移動，若操作不當(dāng)，霍爾元件進(jìn)入磁場非線性區(qū)，會導(dǎo)致實驗數(shù)據(jù)的不準(zhǔn)確測量，導(dǎo)致實驗誤差偏大。所測量楊氏模量值相對誤差往往高于10%，甚至?xí)哌_(dá)40%[9]。此外，梯度磁場均勻范圍較小，可測量的材料應(yīng)變范圍有限，無法實現(xiàn)較大微位移的測量。在霍爾位置傳感器電壓測量量程范圍內(nèi)，均勻梯度場線性范圍越大，位移測量范圍越大。若可實現(xiàn)大范圍(大于2 mm)均勻梯度場的構(gòu)建，可實現(xiàn)大范圍位移的測量，也可減小實驗操作難度。針對民航類學(xué)生而言，還可增加常用航空材料楊氏模量測量的內(nèi)容，如鋁合金等。

3 實驗儀器改進(jìn)

梯度可調(diào)均勻梯度磁場構(gòu)建有兩種方法，一種用通電螺線管實現(xiàn)[10]，一種用磁線圈實現(xiàn)[11，12]。通過分析，通電螺線管可實現(xiàn)均勻梯度磁場的構(gòu)建，但與霍爾位置傳感器結(jié)合，裝置裝調(diào)較為煩瑣，故選用反亥姆赫茲線圈實現(xiàn)梯度磁場的構(gòu)建。

圖3 反亥姆赫茲線圈示意圖

(5)

式中，μ0為真空磁導(dǎo)率；w為線圈匝數(shù)。

根據(jù)上式可知，均勻梯度磁場梯度跟磁線圈匝數(shù)、半徑及電流相關(guān)，可根據(jù)實驗磁場需求，對磁線圈匝數(shù)、半徑、電流進(jìn)行合理設(shè)計。此外，在磁線圈匝數(shù)和半徑一定的情況下，可通過調(diào)節(jié)電流大小實現(xiàn)磁感應(yīng)強度梯度的控制，可進(jìn)行不同磁場梯度下多組實驗數(shù)據(jù)的測量，提高實驗測量的準(zhǔn)確性。

以此實驗中所用95A型集成霍爾位置傳感器為例，其靈敏度k=31.3±1.5 V/T。考慮電壓表測量精度及器件裝調(diào)問題，加工了可產(chǎn)生均勻梯度磁場的反亥姆赫茲線圈。其中：線圈等效半徑為r=35 mm，單個線圈匝數(shù)為500，電流強度I可在0.5～1 A調(diào)節(jié)，可實現(xiàn)最大梯度值為3 Gs/mm磁場的構(gòu)建。并將此梯度磁場發(fā)生器置換圖2中的磁鐵，改進(jìn)后的楊氏模量測試儀如圖4和圖5所示。

圖4 改進(jìn)的楊氏模量測量儀示意圖

圖5 改進(jìn)的楊氏模量測量儀實物圖

4 實驗效果

4.1 均勻梯度磁場構(gòu)建情況

利用反亥姆赫茲線圈實現(xiàn)了均勻梯度磁場的構(gòu)建，并且通過控制所加直流電流值大小可實現(xiàn)磁場梯度的調(diào)控。測量了所加直流電流值分別為0.5A和1A情況下，線圈軸線方向磁感應(yīng)強度變化。圖6和圖7分別為電流為0.5 A和1 A時，磁線圈軸線方向上的磁感應(yīng)強度變化情況，并對測量數(shù)據(jù)用Origin進(jìn)行線性擬合。

圖6 磁感應(yīng)強度變化曲線(I=0.5A)

圖7 磁感應(yīng)強度變化曲線(I=1A)

所通直流電流為0.5A時，磁線圈軸線方向磁場梯度為1.55 Gs/mm，相關(guān)系數(shù)達(dá)0.999 86；所通直流電流為1 A時，磁線圈軸線方向磁場梯度為3.01 Gs/mm，相關(guān)系數(shù)達(dá)0.999 83。磁線圈在-15～15 mm范圍內(nèi)，B和h之間線性關(guān)系良好。

4.2 黃銅、鑄鐵楊氏模量測量

根據(jù)現(xiàn)大學(xué)物理楊氏模量測量實驗要求，采用改進(jìn)裝置對黃銅和鑄鐵的楊氏模量進(jìn)行測量。并通過改變所通直流電流大小改變梯度磁場梯度值，實現(xiàn)不同梯度場下多組數(shù)據(jù)的測量。

4.2.1 直流電流為0.5 A

利用黃銅橫梁對霍爾位置傳感器靈敏度進(jìn)行定標(biāo)，測量數(shù)據(jù)如表1所示，利用Origin對數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合得到如圖8所示結(jié)果，霍爾位置傳感器靈敏度為27.51 mV/mm，相關(guān)系數(shù)R2=0.997 3，U和Z之間呈現(xiàn)良好的線性關(guān)系。用逐差法對表1中數(shù)據(jù)計算黃銅樣品在m=60 g，g=9.8 m/s2的作用下產(chǎn)生的位移ΔZ=0.787 mm，將此值帶入式(2)可得

圖8 U～Z變化曲線(I=0.5A)

=10.33×1010N/m2

表1 霍爾位置傳感器定標(biāo)(I=0.5 A)d=23.00 cm b=22.00 mm a=1.000 mm

對照該黃銅材料特性的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)，E0黃銅=10.55×1010N/m2，百分誤差為2.1%，測量效果較好。

在此基礎(chǔ)上測量可鍛鑄鐵的楊氏模量，測量結(jié)果如表2所示。

表2 鑄鐵試樣不同力作用下霍爾電壓

利用分組逐差法計算得ΔU=20.6mV，根據(jù)定標(biāo)的霍爾位置傳感器靈敏度，可求得ΔZ=0.036 4ΔU=0.036 4×20.6=0.750mm。所以，計算得到的鑄鐵的楊氏模量為

對照該鑄鐵材料特性的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)E0鑄鐵=18.15×1010N/m2，百分誤差為0.4%，測量效果很好。

4.2.2 直流電流為1A

利用黃銅對霍爾位置傳感器靈敏度進(jìn)行定標(biāo)，測量數(shù)據(jù)如表3所示，利用Origin對數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合得到如圖9所示結(jié)果，霍爾位置傳感器靈敏度為42.37mV/mm，相關(guān)系數(shù)R2=0.999 7。

表3 霍爾位置傳感器定標(biāo)(I=1 A)d=23.00 cm b=22.00 mm a=1.000 mm

圖9 U～Z變化曲線(I=1A)

用逐差法對表3中數(shù)據(jù)計算黃銅樣品在m=60g，g=9.8m/s2的作用下產(chǎn)生的位移ΔZ=0.788mm，將此值帶入式(4)可得

=10.32×1010N/m2

對照該黃銅材料特性的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)E0黃銅=10.55×1010N/m2，百分誤差為2.2%，測量效果很好。

在此基礎(chǔ)上測量可鍛鑄鐵的楊氏模量，測量結(jié)果如表4所示。

表4 鑄鐵試樣不同力作用下霍爾電壓d=23.00 cm b=22.00 mm a=1.000 mm

利用分組逐差法計算得ΔU=31.8mV，根據(jù)定標(biāo)得到的霍爾位置傳感器靈敏度，可求得ΔZ=0.023 6ΔU=0.023 6×31.8=0.751mm。所以，計算得到鑄鐵的楊氏模量為

=18.04×1010N/m2

對照該鑄鐵材料特性的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)E0鑄鐵=18.15×1010N/m2，百分誤差為0.6%，測量效果很好。

4.3 鋁合金板楊氏模量測量情況

利用改進(jìn)裝置測量較易形變鋁合金橫梁的楊氏模量。在所通直流電流為1A的情況下，測量不同應(yīng)力下的霍爾電壓值，如表5所示。

表5 鋁合金樣品不同作用力下霍爾電壓d=23.00 cm b=24.00 mm a=1.000 mm

利用分組逐差法計算得ΔU=45.3mV，根據(jù)定標(biāo)的霍爾位置傳感器靈敏度，可求得ΔZ=0.023 6ΔU=0.023 6×45.3=1.069mm。所以，計算得到的鋁合金的楊氏模量為

=6.97×1010N/m2

對照該鋁合金材料特性的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)E0鋁合金=7.2×1010N/m2，百分誤差為3.2%，測量效果很好。

5 結(jié) 語

在霍爾位置傳感器彎曲法測楊氏模量實驗儀基礎(chǔ)上，改變了梯度磁場發(fā)生器，采用反亥姆赫茲線圈實現(xiàn)均勻梯度磁場的構(gòu)建，構(gòu)建的磁場梯度大范圍均勻并可調(diào)節(jié)。實驗結(jié)果表明改進(jìn)后的裝置可顯著提高測量精度，并且可實現(xiàn)較大微位移的測量。針對民航類學(xué)生而言，還可增加常用航空材料如鋁合金楊氏模量測量的內(nèi)容，宏觀體會不同材料楊氏模量與形變難易程度的關(guān)系，加深學(xué)生對楊氏模量物理意義的理解。