李 陽

（福建師范大學(xué) 協(xié)和學(xué)院，福州350117）

0 引言

雙線性系統(tǒng)是形式上最簡單且最接近線性系統(tǒng)的一類非線性系統(tǒng)。工程、社會經(jīng)濟(jì)、生態(tài)、生物等過程中的很多對象都可以利用雙線性系統(tǒng)進(jìn)行描述，這就使得雙線性系統(tǒng)的研究變得很重要。關(guān)于雙線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析及控制問題已取得不少研究成果[1-4]。其中常見的為利用線性矩陣不等式及李雅普諾夫方程得到控制系統(tǒng)二次穩(wěn)定的條件[5-6]，但大多計算量較大。為此，文獻(xiàn)[7]提出一種控制器設(shè)計方式，但所選取的李雅普諾夫矩陣為固定陣，導(dǎo)致保守性高，求解過程可能出現(xiàn)無解情況，且此問題在后續(xù)研究中一直沒有得到有效解決。本文在此基礎(chǔ)上，提出一種改進(jìn)型的李雅普諾夫矩陣的設(shè)計方法，增大求解自由度。利用凸優(yōu)化技術(shù)，結(jié)合一種矩陣變換方式，將非線性矩陣不等式轉(zhuǎn)換成線性矩陣不等式，使得只需利用Matlab的LMI工具箱進(jìn)行求解線性矩陣不等式，就可以獲得保守性低的尋優(yōu)參數(shù)。

1 問題描述與準(zhǔn)備

考慮一類離散雙線性系統(tǒng)為：

其中，x（k）∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)，z（k）∈Rp為系統(tǒng)評價輸出，u（k）∈R為控制向量，w（k）∈Rr為外部擾動信號，且w（k）∈l2[0，∞），系統(tǒng)矩陣A，B，C，N，D1，D2，為具有合適維數(shù)的已知常數(shù)矩陣。

對于離散雙線性系統(tǒng)(1)設(shè)計狀態(tài)反饋控制器[8]：

2 主要結(jié)論

因此，V（x（k+1））-V（x（k））<0。由定義1可知系統(tǒng)(4)二次穩(wěn)定的充分條件即為式(9)成立。

注2：若選擇Q1=Q2=P=V1=V2，式(6)即為文獻(xiàn)[7]中給出的二次構(gòu)架的充分條件?？梢钥闯龆ɡ?通過引入新變量，增大了求解的自由度，因此比二次方法具有更低的保守性。但由于式(9)中包含不屬于LMI式，無法利用Matlab LMI Toolbox來求解，因此對式（9）應(yīng)用引理1，并令，可得定理2。

定理2 系統(tǒng)(4)是二次穩(wěn)定的充分條件是存在矩陣Qj>0，及正定對稱陣Vi1，Vi2和矩陣Mi使得：

其中，j<0，即zT（k）z（k）<γ2w（k）Tw（k），證畢。

注3 由于式(17)中包含ViTBK，采用定理2一樣的處理辦法，可得定理4。

定理4 考慮如式(1)所示的雙線性離散系統(tǒng)和如式(2)和式(3)所示的狀態(tài)反饋方程，存在矩陣Qi，Qj>0,及正定對稱陣Vi1，Vi2，和矩陣Mi，使得

3 數(shù)值仿真

為了說明本文方法的有效性，做如下仿真。

考慮如下離散系統(tǒng)：

設(shè)計狀態(tài)反饋控制器，其中控制器參數(shù)ρ已知，利用Matlab LMI Toolbox 對傳統(tǒng)的二次分析法及定理4提出的式（24）進(jìn)行仿真尋優(yōu)比對。表1為根據(jù)兩種方法在不同的ρ下獲得的保證H∞的γmim尋優(yōu)數(shù)值對照表。

表1 γmim尋優(yōu)數(shù)值對照表

可以從表1看出，ρ取值超過0.9時，傳統(tǒng)的二次分析法尋優(yōu)無解，而本文提出的方法仍舊有解。因此，所提出的方法具有降低保守性，使得求解的自由度增加的優(yōu)點。

4 結(jié)論

本文提出了一種降低保守性的李雅普諾夫函數(shù)設(shè)計方法，給出系統(tǒng)二次穩(wěn)定的條件，所設(shè)計的控制系統(tǒng)具有更小的H∞性能指標(biāo),數(shù)值仿真結(jié)果驗證了所述方法的有效性。