唐 雄

（數(shù)學與統(tǒng)計學院黃淮學院，河南 駐馬店463000）

0 引言

一直以來，有許多從事生物數(shù)學研究的工作是利用數(shù)學建模的手段來探討傳染病的傳播機理和評價不同控制措施的控制效果。經過多年的研究，逐步提出了根據(jù)傳染病傳播機理所建立的SIR等較為復雜的模型。

1 SIR模型及其動力學分析

1.1 模型的建立

SIR模型廣泛地運用于傳染病的傳播動力學的研究上，比如，天花、肝炎等傳染病。為了便于建立相應的數(shù)學模型，做如下假設和符號說明：（1）假定傳染病在整個傳播周期內整個人口的數(shù)量不變，即人口的出生率和死亡率相等；（2）易感者和感染者的接觸采用雙線性發(fā)生率；（3）不考慮因病的死亡；（4）整個人群分為易感者S（t）、感染者I（t）和康復者R（t）。因此可以建立如下具有指數(shù)出生和指數(shù)死亡的SIR模型：

不難推出模型（2）存在如下一個正不變集（S，I）∈D{（S，I）|0≤S≤N，0≤I≤N，0≤S+I≤N}。

由此，可以得到傳染病的基本再生數(shù)為R0=

1.2 對模型（2）的動力學分析

下面將探討模型（2）的動力學行為，并且得到使得傳染病消失的充分條件。

定理1：當R0<1時，無病平衡點E0（N，0）是全局穩(wěn)定的。

定理2：當R0>1時，地方病平衡點E1是全局穩(wěn)定。

由定理1和定理2可知，當比本再生數(shù)R0<1時傳染病可以得到有效地控制。進一步來說，從R0的表達式可以看出，減少接觸率和增大治愈率是控制傳染病的重要的手段。

1.3 具有疫苗接種SIR模型的動力學分析

下面探討免疫疫苗接種對傳染病傳播的影響，建立具有免疫疫苗接種的傳染病傳播模型，模型如下：

其中μ是免疫接種率，可以得到模型（4）的前兩個方程與R無關，對模型（4）的理論分析可以考慮如下約簡模型：

令模型（5）兩個方程右端的等于0，可以得到模型（5）的兩個平衡點分別為：無病平衡點總是存在的，當βNb<（b+γ）（b+μ）時存在地方病平衡點因此，在免疫疫苗接種的情況下，可以得到模型（4）的有效再生數(shù)為：

（6）式表明免疫疫苗接種是有利于控制傳染病的傳播的。于是可以得到如下定理：

定理3：當Rμ<1時，無病平衡點是全局穩(wěn)定的。

定理4：當Rμ>1時，地方病平衡點E3是全局穩(wěn)定的。

2 數(shù)值模擬及靈敏度分析

本節(jié)將通過數(shù)值模擬的方法，印證前面的理論分析。最后通過靈敏度分析來探討哪些因素更容易控制傳染病的傳播。

2.1 數(shù)值模擬

從上面的相關討論可知基本再生數(shù)R0與參數(shù)β，b和γ有關。在疫苗免疫接種的情況下，有效再生數(shù)Rμ是在疫苗免疫接種情況下傳染病是否消失的閾值，有效再生數(shù)Rμ不但與參數(shù)β，b和γ有關，而且與疫苗免疫接種率μ有關。下面運用數(shù)值模擬來驗證理論分析結果?？紤]將一個具有100萬人口的城市作為研究對象，即N=105。

（1）取b=4×10-3，β=2×10-6，λ=0.1，這時基本再生數(shù)R0=1.9231>1，由定理（2）可知，地方病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的。通過數(shù)值模擬可以看出，感染者數(shù)量隨著時間的推移最終穩(wěn)定到一個固定的值，形成一個穩(wěn)定的地方病平衡點。

（2）取b=4×10-5，β=8×10-7，λ=0.1，這時基本再生數(shù)R0=0.769 2<1，從定理（1）可知，無病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的。通過數(shù)值模擬可以看出，感染者數(shù)量隨著時間的推移最終趨于0，這也意味著傳染病最終消失。

（3）取b=4×10-3，β=2×10-6，λ=0.1，這是基本再生數(shù)R0=1.923 1>1。從可以看出當μ*>（R0-1）b=0.0037時，Rμ<1。取μ=0.005，有Rμ=0.854 7<1，由定理3可知，無病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的。通過數(shù)值模擬可以看出當疫苗接種率大于閾值μ*時，傳染病得到控制，并最終消失。

（4）取b=4×10-3，β=2×10-6，λ=0.1，這時基本再生數(shù)R0=1.923 1>1。取μ=0.002，此時Rμ=1.282 1>1，由定理4可知，地方病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的。

經過數(shù)值模擬可以發(fā)現(xiàn)感染者數(shù)量隨著時間的推移最終趨于一個固定的值，這也意味著當疫苗接種率小于閾值μ*時，傳染病并不能得到有效地控制。

2.2 靈敏度分析

下面通過對Rμ的靈敏度分析的方法探討哪些因素更容易控制傳染病的傳播。固定N=105，μ=0.002和λ=0.1。由模擬后的結果可以看出Rμ隨著有效接觸率β的增加Rμ顯著增加，這表明為了能夠有效地控制傳染病的傳播，必須減少有效接觸率。

固定N=105，b=4×10-3和β=2×10-6，由模擬后的結果可以看出Rμ隨著疫苗接種率μ的增加而減少，說明提高疫苗的免疫接種率，可以達到群體免疫的效果。

3 結語

本文研究了SIR模型的動力學行為，探討了平衡點的全局穩(wěn)定性，得到使得傳染病消除的條件。再則，研究了免疫疫苗接種對傳染病傳播的影響，得到了使得傳染病消除的最低疫苗接種率，如果疫苗接種率高于該閾值傳染病將最終消除。對于醫(yī)護工作者來說要做好患者的隔離和護理，極大地提高患者的治愈率，減少患者與外界的接觸是阻止疾病傳播的重要手段。從數(shù)學的角度給出了傳染病治療的理論依據(jù)，印證了人類以往對付傳染病時的手段和方法都是正確和有效的。