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        淺談數(shù)學(xué)中的變形小技巧

        2021-10-20 08:43:25王玉潔
        天府?dāng)?shù)學(xué) 2021年2期

        王玉潔

        摘 要:數(shù)學(xué)是一門(mén)靈活性極強(qiáng)的學(xué)科,同種類形的題目以形形色色的面貌出現(xiàn)在我們的面前,確實(shí)讓人眼花繚亂,若不靜下心來(lái)研究難免頭暈?zāi)X脹。但只要細(xì)細(xì)究其根本,不難發(fā)現(xiàn)他們本是同出一脈。因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中變形思想極為重要。

        關(guān)鍵詞:變形方法;轉(zhuǎn)化思想;整體思想問(wèn)題

        在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,解題的過(guò)程中能讓學(xué)習(xí)變得更加精彩,通過(guò)數(shù)學(xué)解題,可以使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)和進(jìn)一步生活所必需的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。近年來(lái),在初等數(shù)學(xué)的考試題目越來(lái) 越靈活,特別是在中考選拔性考試中,不僅注重學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握,而且越來(lái)越重視學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活應(yīng)用,在解題時(shí)對(duì)有些題目采取正確的解題技巧 ,做出適當(dāng)?shù)淖冃?,可以使解題過(guò)程充滿趣味同時(shí)提高解題效率。

        一、方程的變形

        1、,求代數(shù)式的值

        解:因?yàn)?

        所以(a2+2ab+b2)+(a2b2+2ab+1)=0

        即(a+b)2+(ab+1)2=0;所以(a+b)2=0;ab=-1

        =ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=-10=0

        二、根與系數(shù)關(guān)系變形

        1、a、b為方程x+5x+3=0的兩根,求+b的值。

        解析:因?yàn)閍+b=-5, ab=3,所以a<0,b<0,

        原式=a+b=a+b=--

        =-b=-=-【(-5)2-2×3】

        =-19

        2、已知p2+2p-5=0,5q2 -2pq-1=0,求p2+的值。

        解析:方程形式不一樣,應(yīng)想方設(shè)法化為相同的形式,化為x2+2x-5=0的形式。把方程5q2 -2pq-1=0兩邊除以- q2變?yōu)?-5=0.

        解:把方程5q2 -2pq-1=0兩邊除以- q2變?yōu)?-5=0.

        所以p和是方程x2+2x-5=0的兩根。

        所以=(p+)2-=(-2)2-2×(-5)=14

        三、拆分法

        一個(gè)假分?jǐn)?shù)可以化為帶分?jǐn)?shù)的形式,反之一個(gè)分式分母的次數(shù)高于分子時(shí),可以把分?jǐn)?shù)化為整數(shù)部分和分式部分的和,這種方法叫拆分法。拆分法常針對(duì)解決較復(fù)雜的分式計(jì)算。

        例,1、計(jì)算:—-

        解:原式=(x2? +1+)-(x2-3)_(4-)

        =x2+1+-x2+3 -4+ = +=

        對(duì)形如的方式可逆用公式=-將分式拆項(xiàng),某些分式運(yùn)算中巧用拆項(xiàng)法正負(fù)抵消一部分,可使計(jì)算簡(jiǎn)便。

        2、計(jì)算??? +? +.....

        解:原式=-+-......+-

        =-=

        對(duì)于比例形式,可設(shè)每份為k,通過(guò)代換把多個(gè)字母復(fù)雜分式變?yōu)橹缓衚簡(jiǎn)單分式,從而簡(jiǎn)化計(jì)算。

        3、若,求分式的值.

        解:設(shè)

        四、整體思想

        1、若X2+4x-4=0求3(x-2)2-6(x+1)(x-1)的值。

        分析:這個(gè)題若通過(guò)求方程的解再代入求值,解是無(wú)理數(shù),代入后計(jì)算量大,這可謂山路十八彎,把學(xué)生給繞糊涂了,正確率也會(huì)大打折扣。先可化簡(jiǎn)代數(shù)式3(x-2)2-6(x+1)(x-1),可發(fā)現(xiàn)結(jié)果有部分可化為X2+4x的倍數(shù),采用整體代入法,大大簡(jiǎn)化計(jì)算,提高正確率。

        解:原式=3x2-12x+12-6x2+6=-3x2-12x+18=-3(x2+4x)+18

        因?yàn)閄2+4x-4=0,所以X2+4x=4

        2、已知:,求的值.

        分析:x、y的值無(wú)法求得,不能采用代入法計(jì)算代數(shù)式的值,兩個(gè)因式只含未知項(xiàng),可采用整體換元法,達(dá)到降低未知項(xiàng)的次數(shù)的目的,從而求得代數(shù)式的值。

        解:設(shè)x2+y2=a,原方程可化為a(a-1)=6

        a2-a-6=0,即(a-3)(a+2)=6

        a-3=0或a+2=0

        解得a1=3,a2=-2,又因?yàn)閤2+y2≥=0,所以a=3

        即x2+y2=3

        3、若x2n = 7,? 求的值

        分析:都化為x2n形式,再計(jì)算

        解:=9x6n-4x4n=9(x2n)3-4(x2n)2=9×73-4×72=9×343-4×49=3087-196=2891

        五、倒數(shù)法

        有已知條件和待求式子,同時(shí)取倒數(shù)后,再逆用分式加減法則對(duì)分式進(jìn)行拆分,然后將三個(gè)已知式相加,這樣解題非常簡(jiǎn)單快捷。

        1、已知:x+=3,求的值

        分析:方程x+=3,把可化為倒數(shù)形可變形為x+的平方形式,便于計(jì)算。

        解:因?yàn)?(x+)2-1=32-1=8

        所以=

        2、已知三個(gè)數(shù)x、y、z滿足=-2,=,=-的值求的值

        解:先將三個(gè)已知條件中分子化為相同,得到=-2,

        =,=-,取倒數(shù)()

        =-,=,=-

        所以=(++)×? =(-+-)×=-

        =-4

        數(shù)學(xué)是最靈活的學(xué)科,數(shù)學(xué)題目類型千變?nèi)f化,可謂“橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同”。在學(xué)習(xí)研究中,我們要識(shí)的廬山真面目,先追根求源找到其蘊(yùn)含的知識(shí)點(diǎn)本身,通過(guò)轉(zhuǎn)化變形,變成熟知的類型,再解決它,這樣化難為易、化繁就簡(jiǎn),問(wèn)題迎刃而解。

        參考文獻(xiàn):

        [1]郎宏琪. 以"分式方程"為例談初中數(shù)學(xué)學(xué)法指導(dǎo)[J]. 中學(xué)理科園地,2021,17(1):68-69,71.

        [2]魏祥勤. 第2講"方程與不等式"復(fù)習(xí)精講[J]. 中學(xué)生數(shù)理化(中考版),2021(3):7-15,29.

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