胡連冬

(湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市第七高級中學(xué) 410635)

彈簧振子的運(yùn)動問題涉及運(yùn)動和力的關(guān)系、動量能量觀念；尤其是“彈簧雙振子”運(yùn)動問題，其運(yùn)動情況較為復(fù)雜，物理情景學(xué)生難以想象，即使剛?cè)肼毜慕處熋鎸Α皬椈呻p振子”運(yùn)動問題也感到束手無策，因此“彈簧雙振子”運(yùn)動問題往往成為歷年中學(xué)物理競賽的題型之一.

一、彈簧振子的定義

如圖1所示，把輕彈簧的一端固定，另一端連接小球或滑塊，當(dāng)輕彈簧發(fā)生形變后，小球或滑塊就在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動，這種現(xiàn)象叫簡諧振動，其中彈簧和小球或滑塊組成的系統(tǒng)稱為彈簧振子.如圖2中在輕彈簧的兩端各連接一個小球，當(dāng)彈簧發(fā)生形變后，該系統(tǒng)中的兩個小球就相對系統(tǒng)的質(zhì)心作簡諧振動，這樣的系統(tǒng)稱為“彈簧雙振子模型”，彈簧振子是一種理想化模型.

二、彈簧振子的運(yùn)動問題

1.彈簧單振子運(yùn)動規(guī)律

2.彈簧雙振子運(yùn)動規(guī)律

(1)彈簧雙振子系統(tǒng)質(zhì)心處于靜止?fàn)顟B(tài)

例1將原長為l0勁度系數(shù)為k的輕彈簧連接A、B兩振子，A、B質(zhì)量分別為m1m2. 將彈簧壓縮為l后鎖定置于光滑水平面上,如圖3所示.當(dāng)彈簧突然解除鎖定后，試分析振子A、B的運(yùn)動情況.

解析壓縮的彈簧解除鎖定后，系統(tǒng)在水平方向上不受外力，且系統(tǒng)的總動量為零，根據(jù)動量守恒定律可知，系統(tǒng)質(zhì)心C的速度為零.

把兩振子之間的輕彈簧等效為兩根原長分別為l10和l20的輕彈簧在質(zhì)心C處串聯(lián)，兩根輕彈簧對應(yīng)的勁度系數(shù)分別為k1和k2. 這兩根輕彈簧的形變量為x1=l10-l1,x2=l20-l2.

整根彈簧的形變量為x=x1+x2,由胡克定律得：

F=k1x1=k2x2=kx

(1)

(2)

結(jié)合質(zhì)心位置分布規(guī)律有：m1x1=m2x2

(3)

(4)

(5)

分別求得兩振子振動的位移和速度：

A、B兩振子的速度—時間圖像如圖5所示(振幅不一定相同，由振子質(zhì)量決定).

(2)彈簧雙振子系統(tǒng)質(zhì)心處于勻速直線運(yùn)動狀態(tài)

例2如圖6所示，振子AB和輕彈簧連接靜止在光滑水平面上，兩振子AB質(zhì)量分別為m1m2，C表示系統(tǒng)的質(zhì)心位置，現(xiàn)給A一個水平向右大小為V0的初速度，試分析AB兩物塊的運(yùn)動情況.

A在質(zhì)心坐標(biāo)系O′X′中相對平衡位置的距離xA相=0.

A相對質(zhì)心C的位置為：

(6)

A相對地面坐標(biāo)系的速度為：

(7)

在t=0時刻，B物塊相對質(zhì)心C振動的初始條件為：

則B相對質(zhì)心C的振動方程為：

同理可得B物塊在任意時刻t相對質(zhì)心坐標(biāo)系o′x′的位置為：

B相對地面參考系ox的位置為：

(8)

B物塊相對地面參考系的速度為：

(9)

由(7)(9)兩式可作出AB物塊在質(zhì)量m1=m2時相對地面的v-t圖像如圖8所示.

(3)彈簧雙振子系統(tǒng)質(zhì)心處于勻變速直線運(yùn)動狀態(tài)

例3勁度系數(shù)為k的輕彈簧，兩端系質(zhì)量為mA和mB的小球A、B，A用細(xì)線懸于天花板上，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài).如圖9所示，此時彈簧長度為l，現(xiàn)將細(xì)線燒斷，并以此時為計(jì)時起點(diǎn)，試分析任意時刻兩小球的運(yùn)動情況(系統(tǒng)距地面足夠高)

A相對平衡位置的速度v0=0.

由彈簧單振子的振動方程可得A球相對質(zhì)心的振動方程分別為：

在任意時刻t,A球在質(zhì)心坐標(biāo)系o′x′中的位置和速度分別為：

以燒斷細(xì)線時A所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)o豎直向下為正方向建立如圖10所示的地面參考坐標(biāo)系ox.則在任意時刻A在ox系中的位置和速度分別為：

同理可得B相對質(zhì)心的振動方程分別為：

任意時刻B相對質(zhì)心坐標(biāo)系o′x′的位置和速度分別為：

因此任意時刻t,B相對地面坐標(biāo)系ox的位置為：

綜上所述，彈簧雙振子具有相似的運(yùn)動規(guī)律，雙振子的運(yùn)動是振子相對系統(tǒng)質(zhì)心的簡諧振動和系統(tǒng)質(zhì)心某種運(yùn)動的合運(yùn)動.