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        對偶分裂四元數(shù)的表示矩陣的棣莫弗定理

        2021-10-18 00:46:54孔祥強趙培臣
        東北師大學報(自然科學版) 2021年3期
        關(guān)鍵詞:研究

        孔祥強,趙培臣

        (菏澤學院數(shù)學與統(tǒng)計學院,山東 菏澤 274015)

        分裂四元數(shù)是非交換的結(jié)合代數(shù),且含有零因子、冪零元和冪等元[1-3].文獻[4-5]研究了分裂四元數(shù)及雙曲型交換四元數(shù)的極表示.文獻[6-7]定義了新的非交換環(huán)并給出2階實矩陣的棣莫弗定理.文獻[8-11]研究了對偶四元數(shù)表示矩陣及分裂半四元數(shù)的棣莫弗定理.有關(guān)對偶分裂四元數(shù)的研究已取得部分成果[12-16].本文將對偶分裂四元數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為對其四階表示矩陣的研究,通過引入極表示,給出對偶分裂四元數(shù)表示矩陣的不同形式的棣莫弗定理,同時得到對偶分裂四元數(shù)表示矩陣方程的求根公式.

        符號R、D、H、HD分別表示實數(shù)集、對偶數(shù)集、分裂四元數(shù)集、對偶分裂四元數(shù)集,I4表示4階實單位矩陣.

        1 對偶分裂四元數(shù)

        2 對偶分裂四元數(shù)的表示矩陣

        定理1 任一對偶分裂四元數(shù)均可表示為D上的4階矩陣.

        由此可定義對偶分裂四元數(shù)集合為D上4階對偶矩陣集合

        3 對偶分裂四元數(shù)表示矩陣的棣莫弗定理

        3.1 Nq>0,NVq<0時的情形

        證明由數(shù)學歸納法,設(shè)對任意的正整數(shù)n,有

        所以

        故對任意的整數(shù)n,結(jié)論成立.

        3.2 Nq>0,NVq>0時的情形

        證明根據(jù)歸納法,設(shè)對任意的正整數(shù)n,有

        故對任意的整數(shù)n,結(jié)論成立.

        3.3 Nq<0,NVq<0時的情形

        且:

        (1) 當n為奇數(shù)時,

        (2) 當n為偶數(shù)時,

        定理4的證明與定理2—3的方法類似,此處不再贅述.

        (1) 當n為奇數(shù)時,

        (2) 當n為偶數(shù)時,

        4 對偶分裂四元數(shù)表示矩陣的方程的根

        其中k為整數(shù).

        其中k=0,1,2,…,n-1.

        當k=0時,第1個根為

        當k=1時,第2個根為

        依次可求出其余根.

        5 結(jié)語

        對偶分裂四元數(shù)及其表示矩陣是四元數(shù)領(lǐng)域研究的重要課題.本文從對偶分裂四元數(shù)的極表示出發(fā),分3種情形分別介紹了對偶分裂四元數(shù)表示矩陣的棣莫弗定理,推廣了歐拉公式.當對偶角為實數(shù)角時,得到了表示矩陣方程的求根公式.以本文為基礎(chǔ),可進一步研究對偶分裂四元數(shù)的其他問題.

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