孔祥強,趙培臣
(菏澤學院數(shù)學與統(tǒng)計學院,山東 菏澤 274015)
分裂四元數(shù)是非交換的結(jié)合代數(shù),且含有零因子、冪零元和冪等元[1-3].文獻[4-5]研究了分裂四元數(shù)及雙曲型交換四元數(shù)的極表示.文獻[6-7]定義了新的非交換環(huán)并給出2階實矩陣的棣莫弗定理.文獻[8-11]研究了對偶四元數(shù)表示矩陣及分裂半四元數(shù)的棣莫弗定理.有關(guān)對偶分裂四元數(shù)的研究已取得部分成果[12-16].本文將對偶分裂四元數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為對其四階表示矩陣的研究,通過引入極表示,給出對偶分裂四元數(shù)表示矩陣的不同形式的棣莫弗定理,同時得到對偶分裂四元數(shù)表示矩陣方程的求根公式.
符號R、D、H、HD分別表示實數(shù)集、對偶數(shù)集、分裂四元數(shù)集、對偶分裂四元數(shù)集,I4表示4階實單位矩陣.
定理1 任一對偶分裂四元數(shù)均可表示為D上的4階矩陣.
由此可定義對偶分裂四元數(shù)集合為D上4階對偶矩陣集合
證明由數(shù)學歸納法,設(shè)對任意的正整數(shù)n,有
故
又
所以
故對任意的整數(shù)n,結(jié)論成立.
則
證明根據(jù)歸納法,設(shè)對任意的正整數(shù)n,有
故
故對任意的整數(shù)n,結(jié)論成立.
且:
(1) 當n為奇數(shù)時,
(2) 當n為偶數(shù)時,
定理4的證明與定理2—3的方法類似,此處不再贅述.
(1) 當n為奇數(shù)時,
(2) 當n為偶數(shù)時,
其中k為整數(shù).
其中k=0,1,2,…,n-1.
當k=0時,第1個根為
當k=1時,第2個根為
依次可求出其余根.
對偶分裂四元數(shù)及其表示矩陣是四元數(shù)領(lǐng)域研究的重要課題.本文從對偶分裂四元數(shù)的極表示出發(fā),分3種情形分別介紹了對偶分裂四元數(shù)表示矩陣的棣莫弗定理,推廣了歐拉公式.當對偶角為實數(shù)角時,得到了表示矩陣方程的求根公式.以本文為基礎(chǔ),可進一步研究對偶分裂四元數(shù)的其他問題.